函数伊藤演算、路径依赖与希腊语计算

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Functional Ito Calculus, Path-dependence and the Computation of Greeks》
---
作者：
Samy Jazaerli and Yuri F. Saporito
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  Dupire\'s functional It\\^o calculus provides an alternative approach to the classical Malliavin calculus for the computation of sensitivities, also called Greeks, of path-dependent derivatives prices. In this paper, we introduce a measure of path-dependence of functionals within the functional It\\^o calculus framework. Namely, we consider the Lie bracket of the space and time functional derivatives, which we use to classify functionals accordingly to their degree of path-dependence. We then revisit the problem of efficient numerical computation of Greeks for path-dependent derivatives using integration by parts techniques. Special attention is paid to path-dependent functionals with zero Lie bracket, called locally weakly path-dependent functionals in our classification. Hence, we derive the weighted-expectation formulas for their Greeks. In the more general case of fully path-dependent functionals, we show that, equipped with the functional It\\^o calculus, we are able to analyze the effect of the Lie bracket on the computation of Greeks. Moreover, we are also able to consider the more general dynamics of path-dependent volatility. These were not achieved using Malliavin calculus.
---
中文摘要：
Dupire的函数It^o演算为计算路径相关衍生品价格的敏感性（也称为希腊人）提供了经典Malliavin演算的替代方法。本文在泛函It^o演算框架下，引入了泛函的路径依赖性测度。也就是说，我们考虑空间和时间泛函导数的李括号，我们用它来根据路径依赖程度对泛函进行分类。然后，我们重新讨论了使用分部积分技术对路径相关导数进行有效数值计算的问题。我们特别关注具有零Lie括号的路径依赖泛函，在我们的分类中称为局部弱路径依赖泛函。因此，我们推导了加权期望公式。在更一般的完全路径依赖泛函的情况下，我们证明，通过泛函It^o演算，我们能够分析李括号对计算的影响。此外，我们还可以考虑路径依赖波动性的更一般动力学。这些都不是通过Malliavin演算实现的。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Functional_Ito_Calculus,_Path-dependence_and_the_Computation_of_Greeks.pdf (1.17 MB)

2022-5-5 04:54:19 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：路径依赖 希腊语 Applications Quantitative Differential

函数演算、路径依赖与GreeksSamy Jazaerli的计算*Yuri F.Saporito+2018年6月20日AbstractDupire的函数It^o演算提供了经典Malliavin演算的另一种方法，用于计算路径相关衍生产品价格的敏感性，也称为梯度。在本文中，我们在泛函It框架内介绍了泛函的路径依赖性度量。也就是说，我们考虑空间和时间泛函导数的李括号，我们用它来根据路径依赖程度对泛函进行分类。然后，我们重新讨论了使用分部积分技术对路径相关导数进行有效数值计算的问题。我们特别关注具有零Lie括号的路径依赖泛函，在我们的分类中称为局部弱路径依赖泛函。因此，我们推导了希腊人的加权期望公式。在完全路径依赖泛函的更一般情况下，我们证明，通过泛函演算，我们能够分析李括号对计算的影响。此外，我们还可以考虑更一般的路径依赖性动态。这些都不是通过Malliavin演算实现的。1简介杜皮尔的开创性论文[6]中介绍的函数It^o演算理论，将It^o的随机演算扩展到了给定系统当前历史的函数*法国帕莱索埃科尔理工学院数学材料贴花中心（CMAP）。jazaerli@polytechnique.edu+埃斯科拉·德·马特马蒂卡·阿皮卡达（EMAp）、法尔加斯基金会（FGV）、巴西里约热内卢、尤里。saporito@fgv.br.process，从而为研究路径依赖提供了一个很好的工具。

扩展这一理论及其应用的进一步工作可以在部分列表[4,3,2,7,8,9,25]中找到。我们直观地理解了一个函数的路径依赖性，它是当潜在路径的历史发生变化时，函数变化的度量。在这里，我们提出了一个由空间和时间泛函导数的李括号给出的路径依赖性度量。大致上，这是路径依赖性的瞬时度量，因为我们只考虑当前时间的路径扰动。然后我们根据这个度量对泛函进行分类。此外，我们还分析了我们所说的局部弱路径依赖泛函与路径依赖波动率模型中希腊人的蒙特卡罗计算之间的关系，参见[13]。Malliavin演算被成功地应用于推导这些蒙特卡罗程序，以计算局部波动模型中的路径依赖导数，例如[13,12,22,15,14,23]。然而，这里提出的理论允许我们将这些蒙特卡罗方法扩展到更广泛的路径依赖导数，前提是路径依赖性不太严重。这将在第3节中予以明确。我们还将看到，函数It可用于推导[13]中所示的相同加权期望公式。此外，与Malliavin演算方法不同，我们还能够为更严重路径依赖的泛函的增量提供一个公式，这里称为强路径依赖。在目前的形式中，这个公式加强了对不同路径依赖情况下权重的理解，尽管它在计算上不如对局部弱路径依赖泛函导出的公式那么吸引人。然而，它显示了谎言括号对衍生合同的增量的影响。

此外，函数演算允许我们考虑更一般的路径依赖波动率模型，例如参见[10]、[16]和[17]。我们的主要贡献是引入了一种路径依赖度量，并将这种度量应用于计算路径依赖导数。本文的组织结构如下。在第2节中，我们提供了一些关于函数It演算的背景知识。第3节介绍了路径依赖性的度量，并根据该度量对泛函进行了分类。最后，在第4节中，我们给出了这种路径依赖度量在Greeksin计算中的应用。本文讨论了两个与亚式期权和二次变差合同有关的数值例子。2功能性It微积分入门在本节中，我们将介绍第3节和第4节中必要的功能性It微积分的一些定义和结果。[0，t]中R值cádlág路径的空间将用∧t表示。我们还可以表示时间范围t>0。然后将路径空间定义为∧=[t∈[0，T]λT.关于符号的一个非常重要的注释：如[6]中所述，我们将用大写字母表示∧的元素，并且通常其域的最后时间将被下标，例如Y∈ λt ∧将用Yt表示。注意，对于任何Y∈ ∧，只有一个是这样的∈ ∧t.特定时间Yt的值将用小写字母表示：ys=Yt（s），表示任何s≤ t、 此外，如果路径Ytix固定，则路径Ys，For≤ t、 将表示路径对间隔[0，s]的限制。以下重要路径操作始终在∧中定义。对于Yt∈ ∧与t≤ s≤ T，YTS到时间s的流量扩展≥ t定义为asYt，s-t（u）=yu，如果0≤ U≤ t、 是的，如果不是的话≤ U≤ s、 参见图1。

对于h∈ R、 如图2所示，颠簸路径Yht由Yht（u）定义=yu，如果0≤ u<t，yt+h，如果u=t.b b图1：路径的平坦延伸。BBB图2：颠簸的道路。对于任何Yt，Zs∈ ∧，在不丧失普遍性的情况下，假设≥ t、 我们用∧，d∧（Yt，Zs）=kYt，s定义了以下度量-T- Zsk∞+ |s-t |，wherekYtk∞= 苏普∈[0，t]|于|。泛函是任意函数f:∧-→ 如果它关于度量d∧是连续的，则称之为∧-连续的。此外，对于函数f和路径ytt<t，如果存在以下限制，则f在yti的时间函数导数定义为tf（Yt）=limδt→0+f（Yt，δt）- f（Yt）δt.（2.1）定义为xf（Yt）=limh→0f（Yht）- f（Yt）h，（2.2）当这个极限存在时，对于这个导数，允许t=t。另外，我们说函数f是保有界的，如果对于每个紧集K R、 存在一个常数C，使得| f（Yt）|≤ C、 对于每一个pathyt（[0，t]）={y∈ RYt（s）=对于某些s为y∈ [0，t]} 最后，一个函数f:∧-→ 如果R是∧连续的，保有界的，并且它有∧连续的，保有界的导数，则R称为C1,2tf，xf和xxf。有了明显的定义，我们还使用了符号Ci，j，其中C=C0,0是∧连续函数的空间。在继续之前，请在路径和泛函的上下文中对条件期望进行一些评论。到目前为止，我们还没有考虑任何概率框架。然后，我们在论文中定义了一个概率空间(Ohm,F，P）。弗罗尼≤ [0，t]中的t，表示为∧s，t[s，t]上R值cádlág路的空间。

现在确定操作员（· ·) : λs，t×λt，t-→ λs，T，路径的串联，通过（Y） Z） （u）=yu，如果是≤ u<t，zu- zt+yt，如果t≤ U≤ T、 它是Y和Z的混合物。给定泛函u和σ，我们考虑由随机微分方程（SDE）dxs=u（Xs）ds+σ（Xs）dws（2.3）和≥ t和Xt=Yt。过程（ws）是∈[0，T]表示一个标准的布朗运动(Ohm,F，P），我们假设SDE（2.3）存在唯一的强解。这种独特的解决方案将用xyts表示，从t到t的路径解决方案将用XYtt表示。例如，我们将读者转发到[28]以获取关于具有函数系数的SDE的结果。备注2.1（强解决方案）。（2.3）的独特强溶液可以通过要求u和σ在C中并满足通常（固定时间）的Lipschitz和线性生长条件来实现：|u（Yt）- u（Zt）|+|σ（Yt）-σ（Zt）|≤ KkYt- Ztk∞,（2.4）|u（Yt）|+|σ（Yt）|≤ K（1+kYtk）∞),（2.5）对于所有Yt，Zt∈ ∧，其中K>0为常数。u和σ的连续性保证了适当的可测量条件，见第2.1节。最后，我们定义了条件期望asE[g（XT）|Yt]=E[g（Yt XYtt，T）]，（2.6）适用于任何Yt∈ Λ. 这条路 XYtt，T∈ λ等于路径Yt到t，并遵循SDE（2.3）从t到t的动力学，初始路径为Yt。此外，如果我们确定由{xs；s；生成的过滤FXT≤ t} ，可以证明[g（XT）|XT（ω）]=E[g（XT）|Fxt]（ω）P-a.s.其中左侧的期望是上面讨论的期望，右侧的期望是通常的条件期望。关于条件期望，一个有趣的问题是在函数It演算框架内研究它的光滑性。这显然取决于函数g的平稳性。更复杂的依赖关系是过程x及其系数。

文献[25]给出了部分答案，作者推导了g上的条件，使得在布朗运动情况下条件期望算子延伸到C1,2。为了完整起见，这里给出了函数公式。可在[6]中找到该页面。定理2.2（泛函公式[6]）。设x为连续半鞅，f为连续半鞅∈ C1,2。那么，无论如何∈ [0，T]，f（Xt）=f（X）+Zttf（Xs）ds+Ztxf（Xs）dxs+Ztxxf（Xs）dhxisP-a.s.2.1零件积分公式在这一节中，我们给出了[4]中关于x、 固定连续平方可积鞅（xt）t∈[0，T]及其生成的过滤（Fxt）T∈[0，T]。我们表示[0，T]中的连续平方可积鞅相对于过滤（Fxt）T的空间∈[0，T]由Mcand we Definehx提供=F∈ CEZTf（Xt）dhxit< +∞,（2.7）Lloc，x=F∈ CZTf（Xt）dhxit<+∞ P- a、 美国。,（2.8）Mx=nf∈ C（f（Xt））t∈[0，T]∈ Mco。（2.9）我们可以考虑f上更一般的可测量性条件来定义spacesabove。然而，函数的∧-连续性和过程X的连续性保证了所需的可测性，以便考虑（X）关于X的随机积分，即（f（Xt））t∈[0，T]将根据（Fxt）T逐步可测量∈[0，T]。现在考虑内积sh f，giHx=EZTf（Xt）g（Xt）dhxit,Hx和Mx中分别为（2.10）hf，giMx=E[f（XT）g（XT）]，（2.11）。因此，（2.10）和（2.11）是适当的内积，有必要对这些空间的元素进行适当的识别，如下所示：~ G<=> dP，Xt（Xt）xit=dhg。因此商空间Hx=Hx/~ 和Mx=Mx/~ 都是希尔伯特空间。备注2.3。注意，既然我们考虑的是f∧-连续，那么我们显然有f∈ Lloc，x.现在定义It操作员Ix:Hx→ MxasIx（f）（t）=Ztf（Xs）dxs，这是一个等距。

实际上，hf，giHx=hIx（f），Ix（g）iMx。（2.12）测试函数是DX={f∈ C1,2∩ Mx；xf∈ Hx}。（2.13）下一个命题描述了算子的分部积分公式xin空间Dx。提案2.4（[4]）。对于任何f∈ dxg和dxg∈ Hx，hxf，giHx=hf，Ix（g）iMx。（2.14）证据。因为E[Ix（g）]=0，目标是计算xf，可以假设f（X）=0，而不丧失一般性。然后，通过泛函公式，定理2.2，Ix(xf）（t）=Ztxf（Xs）dxs=f（Xt）-Zttf（Xs）ds-Ztxxf（Xs）dhxis，因此∈ Mx，通过半鞅分解的唯一性，Zttf（Xs）ds+Ztxxf（Xs）dhxis=0。特里弗雷克斯(xf）（t）=f（Xt），这意味着通过部分公式进行积分：hxf，giHx=hIx(xf），Ix（g）iMx=hf，Ix（g）iMx，用于所有f∈ dxg和dxg∈ Hx，我们使用它的地方是等距（2.12）。更一般地说，如[4]所示，运算符xis closable在Mxandits伴随中是积分。2.2路径依赖型PDE假设在风险中性度量下，股票价格x的动态由路径依赖型波动率模型（例如[10]、[16]和[17]）给出，dxt=rxtdt+σ（Xt）dwt。（2.15）因此，一个期限为T且收益由函数g∧T给出的路径依赖衍生工具的无套利价格-→ R、 这将被称为合同，由f（Yt）=e给出-r（T）-t） E[g（XT）| Yt]，有关该量的确切定义，请参见方程式（2.6）。这种预期是在所选择的风险中性措施下实现的。最后，我们陈述了定价偏微分方程（PDE）的路径依赖性，简称PPDE；例如参见[6,7,8,9,25]。定理2.5（定价PPDE；[6]）。

如果由函数f表示的带合约g的路径依赖导数的价格属于C1,2，那么对于过程x的任何拓扑支持，tf（Yt）+σ（Yt）xxf（Yt）+rytxf（Yt）- rf（Yt）=0，（2.16），最终条件为f（Yt）=g（Yt）。备注2.6。在[5]的局部波动率模型（σ（Yt）=σ（t，Yt））中，在对σ的温和假设下，Stroock-Varadhan支撑定理表明，x的拓扑支撑是从x开始的连续路径空间，例如参见[26，第2章]。因此，在这些假设下，PPDE（2.16）将适用于任何连续路径。关于表（2.15）中SDE的此类结果的讨论，请参见附录A。3路径依赖本节的目标是分析运算符的交换问题桑德t、 首先，考虑以下示例i（Yt）=Ztyudu。一个简单的计算表明tI（Yt）=ytandxI（Yt）=0，因此x(tI）（Yt）=16=0=t(xI）（Yt）。另一方面，很明显，当应用于形式为f（Yt）=φ（t，Yt）的泛函时，算子会通勤，其中φ是光滑的。因此，我们可以要求操作员通勤函数f，当且仅当f的形式为φ（t，yt）。下面的反例表明这不是事实。ConsiderII（Yt）=ZtZsyududs，（3.1），然后注意tII（Yt）=Ztysds和xII（Yt）=0，这显然意味着x(tII（Yt）=0=t(xII）（Yt）。定义3.1（括号）。运算符的Lie括号（或换向器）坦然X将在以下方面发挥基础性作用，定义为asL f（Yt）=[十、t] f（Yt）=xtf（Yt）- txf（Yt），在哪里xt=十、tand f是这样的，上面所有的导数都存在。我们将通过简单的谎言括号来调用运算符L。下面的引理给出了Lie括号的另一种定义。

为了证明这一点，我们将假设f:limh的技术假设→0f（Yt，δt）h- f（Yt，δt）- f（Yht）+f（Yt）hδt=xf（Yt，δt）- 在δt.（3.2）引理3.2中，xf（Yt）δ呈束状。假设一个函数f存在于定义3.1中，且满足条件（3.2）。然后，函数f的Lie括号由以下极限给出，lf（Yt）=limδt→0+h→0f（（Yt，δt）h）- f（（Yht）t，δt）hδt.证明。首先，请注意，既然lf存在，Txf（Yt）=limδt→0+林→0f（Yt，δt）h- f（Yt，δt）- f（Yht）+f（Yt）hδt，十、tf（Yt）=limh→0limδt→0+f（Yht）t，δt- f（Yt，δt）- f（Yht）+f（Yt）hδt现在，根据条件（3.2），可以使用摩尔关于函数交换极限的著名结果（见[18]），结果如下。这个引理对Lie括号给出了一个非常有趣的解释：它是对函数f的瞬时路径依赖性的测量，也就是说，如果在极限范围内，当前路径的凹凸和弯曲延伸的顺序没有区别，它将为零。在图3中，术语（Yt，δt）用蓝色表示，术语（Yht）t，δt用红色表示。引理3.2还表明，泛函的交换问题不仅仅是在有限维情况下缺乏光滑性。BBB图3：L.命题3.3的几何解释。假设函数f:∧-→ R由f（Xt）=φ（t，f（Xt），。。。，fk（Xt）），式中φ：R+×Rk-→ 对于任何i=1，…，R都有所有一阶和二阶偏导数，以及fiexists的Lie括号，。。。，k、 那么f（Xt）=k∑i=1 φ xi（t，f（Xt），。。。，fk（Xt））L fi（Xt）证明。这很容易通过直接计算实现。