函数伊藤演算、路径依赖与希腊语计算

现在，为了应用定理4.9证明中的相同论点，有必要证明Lf=0：x~f（Ys）=（T- （s）xσ（Ys-)σ（Ys）-)z（Y）-)xf（Ys）+（T）- s） z（Y）xxf（Ys）（4.20+xf（Ys）η（Ys）+f（Ys）z（Ys）-)σ（Ys）-),t~f（Ys）=-z（Y）xf（Ys）+（T）- s） z（Y）txf（Ys）+tf（Ys）η（Ys）。（4.21）现在让我们计算混合导数。对于这一点，我们必须假设-= 这意味着-= Ys，见方程式（B.1）。特别是，以下计算在连续进行时有效。txf（Ys）=-xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）xf（Ys）+（T）- （s）txσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）xf（Ys）- （T）- （s）xσ（Ys）σ（Ys）tσ（Ys）z（Ys）xf（Ys）+（T）- （s）xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）txf（Ys）- z（Y）xxf（Ys）+- s） z（Y）txxf（Ys）+txf（Ys）η（Ys）+tf（Ys）z（Ys）σ（Ys），- 2F（Ys）z（Ys）tσ（Yt）σ（Yt），xtf（Ys）=-xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）xf（Ys）- z（Y）xxf（Ys）+（T）- （s）xσ（Ys）σ（Ys）z（Ys）txf（Ys）+（T- s） z（Y）xtxf（Ys）+xtf（Ys）η（Ys）+tf（Ys）z（Ys）σ（Ys）。最后，因为lf（Ys）=0=L(xf（Ys），对于连续路径Ys，假设4.16为真，对于连续路径Ys，我们发现Lf（Ys）=0。因此，f满足假设4.7和4.8，然后根据定理4.9(x~f（Xs）zs）s∈[0，T]是鞅。因此（T- s） zsx~f（Xs）+~f（Xs）Zsztσ（Xt）dwt=E~g（XT）ZTztσ（XT）dwtXs.通过等式（4.20），我们发现x~f（Xs）=（T- s） zsxσ（Xs）σ（Xs）xf（Xs）+（T- s） zsxxf（Xs）+xf（Xs）Zsztσ（Xt）dwt+f（Xs）zsσ（Xs）。最后，从上面的方程可以很容易地得出结果。推论4.18。在s=0时，xxf（X）=E[g（XT）ξ]，其中ξ=ξ0，T=π-xσ（x）σ（x）π-Tσ（X），因为π=ηT/T。备注4.19。在Black-Scholes模型中，我们发现了与[13]中相同的结果：xxf（X）=Eg（XT）XσTwTσT- wT-σ.然而，在[13]中，伽马仅在Black–Scholes模型下推导，且对于形式为g（XT）=φ（XT）的合约的路径无关衍生品。4.3.4在本节中，我们仅限于时间齐次局部波动模型，即σ（Yt）=σ（Yt）。

与[6]一致，我们将f（Xt）的织女星定义为f（Xt）相对于v=σ的弗里谢特导数。使用[6，第4节，示例1]中给出的结果，我们知道f（Xt）在u方向上的织女星由h给出vf，ui=limε→0Ev+εu[g（XT）]- Ev[g（XT）]ε=ZTZRu（t，x）m（t，x）dxdt，（4.22），其中m（t，x）=Ev[xxf（Xt）|Xt=x]pv（t，x）。这里，Evis是局部波动模型（4.1）下的期望值，v=σ，pv（t，x）是xtunder v的密度。定理4.20。根据定理4.17的假设，织女星vf，ui=Evg（XT）ZTu（t，XT）ξt，Tdt.式中ξt，由等式（4.19）给出。此外，m（t，x）=Ev[g（XT）ξt，t |XT=x]pv（t，x）。（4.23）证据。方程式（4.22）可以改写为：vf，ui=ZTEv[u（t，xt）xxf（Xt）]dt。假设满足定理4.17的条件，则xxf（Xt）=Ev[g（Xt）ξt，t | Xt]，因此以下是正确的：vf，ui=ZTEv[u（t，xt）Ev[g（xt）ξt，t | xt]]dt=ZTEv[u（t，xt）g（xt）ξt，t]dt=Evg（XT）ZTu（t，XT）ξt，Tdt.（4.24）现在请注意[xxf（Xt）|Xt]=Ev[Ev[g（Xt）ξt，t | Xt]|Xt]=Ev[g（Xt）ξt，t | Xt]，这意味着（4.23）。备注4.21。上一个定理中给出的结果允许我们更有效地计算局部挥发模型中路径依赖导数的Vega，即我们避免计算价格泛函的泛函二阶导数，xxf。方程（4.23）中的期望值应理解为：过程从（0，x）开始，直到时间T为止都是模拟的，但条件是xt=x（这是一个点值条件）。为此，需要模拟扩散桥，即在（0，x）处开始并在（t，xt）处通过的条件下的扩散。这种类型的条件期望不会出现在Delta和Gamma的情况下，因为它们的计算中涉及的条件期望是以完整路径Xt为条件的。备注4.22。

将该结果与[13]中给出的结果进行比较，我们注意到Dupire公式（4.22）避免了计算Skorohod积分的必要性。实际上，我们可以证明，当g（XT）=φ（XT）时[13]中的织女星公式可以简化为（4.22）。4.3.5数值示例波动性衍生品是金融合同，其基础资产是波动性或方差的度量，如预定期间的已实现波动性或芝加哥期权交易所市场波动性指数（VIX）。在本例中，我们将考虑连续时间版本的已实现方差期权，更准确地说，是二次方差期权，例如参见[20]。这个例子没有在Malliavin演算设置中处理。我们将考虑形式为g（YT）=φ（YT，QV（YT））的支付函数g，其中QV是表示价格路径的路径二次变化的函数，我们请读者参阅附录B。特别是，我们将研究具有方差欧洲淘汰壁垒的所有选项，即φ（y，QV）=（y）-K） +{QV<H}。这种衍生工具被称为VKO看涨期权；它是外汇市场上一种常见的异国情调衍生品。价格函数f（Yt）=E[g（XT）|Yt]如等式（2.6）所示。我们首先观察到，在局部波动模型下，变量参数的增加表明，我们可以写出f（Yt）=ψ（t，Yt，QV（Yt））。根据这一特征，我们可以用经典的偏微分方程工具证明函数ψ（和函数f的Henceo）的光滑性。因此，f满足假设4。7.为了分析这个导数的路径依赖性，我们想推导f的Lie括号。不幸的是，时间泛函导数xQV不存在于整个∧中。尽管如此，我们仍然可以得出结论，LQV（Yt）=0，对于连续路径Yt，见附录B。

因此，在局部波动模型下，命题3.3对f也适用。因此，f满足假设4.8。更多详细信息，请参见附录B。为了使这个例子在计算delta和Gamma时更有趣，我们假设x遵循一个CEV（恒定方差弹性）模型，即σ（x）=max{σxγ，α}，其中α=0.001是一个下限，以确保σ从下方有界，见备注2.6。在织女星计算的特殊情况下，我们将假设Black-Scholes模型（即，我们取γ=1）。可以考虑更复杂的局部波动模型，比如CEV本身。然而，模拟其扩散桥（见备注4.21）在计算上具有挑战性，因此超出了本文的范围。当γ=1和γ=0.5时，x的二次变化的数量级是不同的。我们在计算织女星时会考虑到这一点。下面，在图4中，我们展示了xf（X）和xxf（X）。使用定理4.9和4.17计算这些量。此外，在图5中，我们使用定理4.9和4.17给出的权重与标准有限差分估计（即。xf（X）=（f（Xh）-f（X）-h） /（2h））和xf（X）=（f（Xh）-2f（X）+f（X-h） /h）。最后，我们展示了第4.3.4节中定义的织女星图。更准确地说，我们绘制了由等式4.23计算的m（x，t）。考虑到表1中给出的参数，我们在表2和图4、5和6中显示了结果。读者应该注意到，Delta和gamma的有限差分估计性能非常差。原因是“淘汰”波动性屏障的不连续性。

如图5所示，此功能为问题增加了显著的噪音。参数值初始值（X）100波动率（σ）0.2CEV参数（γ）0.5/1.0Strike（K）100方差屏障（H）4.0饱和度（T）1.0表1:VKO看涨期权示例的参数。平均标准误差f（X）0.3624 0.0026xf（X）0.2087 0.0022xxf（X）0.0604 0.0018xf（X）（FD）0.3683 0.1884xxf（X）（FD）-28.8123 37.5483表2:VKO看涨期权价格、δ和γ的蒙特卡罗估计。1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·1041050.2020.2040.2060.2080.2100.2120.214德尔塔菲托权重1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·1041050.0570.0580.0590.0600.0610.0620.0630.064GammaFITO权重VKO调用期权希腊人的收敛图4：计算蒙特卡罗方法的收敛图xf（X）和xxf（X）.1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·1041050.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0德尔塔菲托权重有限差分1042·1043·1044·1045·1046·1047·1048·1049·10410520015050050Gammafito权重有限差分收敛图-与有限差分比较图5：收敛图-与有限差分法的比较。时间0。00.20.40.60.81.0现场值406080100140160VEGA-5.0·10-40.05.0·10-41.0·10-31.5·10-32.0·10-32.5·10-3图6:m（x，t）曲线图——VKO看涨期权的织女星。

轴时间和点值分别为t和x。4.4关于增量的更多信息，我们将推导衍生合约的增量公式，区分定义3.4中给出的每个路径依赖结构。本节的目标有两个：展示[13]中使用Malliavin演算得到的结果如何通过函数It演算实现，然后更好地理解Malliavin演算框架中使用的假设，即合同g的形式为：g（YT）=φ（YT，…，ytn）。（4.25）简言之，这种假设意味着这种形式的合同产生的衍生价格是离散监控的函数，见定义3.4。这些泛函的主要特征是，它们表现出局部弱路径依赖性，但对于有限的时间集{t，…，tn}，见命题3.6.4.4.1离散监控泛函。在本节中，我们考虑对第4.3节中描述的方法进行简单修改，以处理[13]中研究的离散监控泛函，见等式（4.25）。定理4.23。假设路径相关衍生工具的无套利价格（用f表示）是一个离散监控函数，且f满足假设4。7.因此，我们发现三角洲的代表性与[13]中的相同：xf（X）=Eg（XT）ZTa（t）ztσ（XT）dwt,（4.26）对于任何a∈ Γ，哪里Γ=A.∈ L[0，T]；Ztia（t）dt=1， i=1，。。。，N.（4.27）证据。为了关注证据的基本论点，我们考虑了只有两个监测日期t<t的案例。这种设置允许我们引入所有的证据元素，而不需要繁重的注释。类似的推理也适用于一般情况。正如我们在等式（4.9）中看到的，d(xf（Xt）zt）=-lf（Xt）ztdt+dmt，（4.28）带（mt）t∈[0，T]是局部鞅。根据著名的局部化参数（见附录C），我们假设x和m是鞅，f是鞅∈ Dx。

在命题3.6中，对于所有t，我们有lf（Xt）=0∈ [0，t）∪ （t，t）。由于t=t时不存在L FD，我们只能在不包含t的区间积分方程（4.28）。固定ε>0，对于t∈ （t，t），我们在区间[t+ε，t]上积分SDE（4.28），得到xf（Xt）zt=xf（Xt+ε）zt+ε+mt- mt+ε。所以，乘以任何a∈ Γ和关于t的积分，从t+ε到t，wehaveZTt+εxf（Xt）zta（t）dt=ZTt+εxf（Xt+ε）zt+εa（t）dt+ZTt+ε（mt）- mt+ε）a（t）dt=xf（Xt+ε）zt+εZTt+εa（t）dt+ZTt+ε（mt）- mt+ε）a（t）dt（4.29）∈ [0，t]，在区间[0，t]上再次积分方程（4.28），我们得到xf（Xt）zt=xf（X）+mt乘以a∈ Γ和关于t的积分从0到t- ε给我们zt-εxf（Xt）zta（t）dt=Zt-εxf（dt）t+Zt-εmta（t）dt=xf（X）Zt-εa（t）dt+Zt-εmta（t）dt（4.30）将两个方程（4.29）和（4.30）相加，取期望值，利用m是鞅的事实，我们得出Zt-ε+ZTt+εxf（Xt）zta（t）dt= xf（X）Zt-εa（t）dt+xf（Xt+ε）zt+εZTt+εa（t）dt+EZt-εmta（t）dt+ EZTt+ε（mt）- mt+ε）a（t）dt= xf（X）Zt-εa（t）dt+xf（Xt+ε）zt+εZTt+εa（t）dt。因此，结果如下：→ 0+应用partsformula的积分，并使用∈ 这意味着srta（t）dt=1和rtta（t）dt=0。备注4.24。与方程（4.3）相比，我们得出结论，定理4.23给出了与[13]相同的权重。备注4.25。考虑一个合同g（YT）=φ（YT，…，ytn），其中0<t<tn≤ T为固定时间和φ：Rn-→ R.在局部波动模型的情况下，前面定理中f是离散监控泛函的假设自动满足，因为人们可以简单地从f（Yt）=E[φ（xt，…，xtn）| Yt]和定义3.4中推导。我们希望在本节结束时观察到，我们能够使用泛函微积分的技术推导出[13]的相同结果，在[13]中使用了Gallavin微积分。

此外，这里实现的方法启发了一个假设，即衍生品价格需要是一个离散监控函数，才能应用定理4.23。实际上，这类函数的主要特征是，它们在区间（ti，ti+1）中具有局部弱路径依赖性，允许我们在每个区间应用分部积分公式。我们还应该注意到，在进行适当的调整后，对于离散监控的泛函，与OREM 4.17类似的结果也适用，因为它们的Delta也是离散监控的泛函。此外，我们应该注意，对于离散监控泛函，我们也可以推导公式（4.24）的等价物。4.4.2延迟路径相关泛函定理4.23证明中的论证可推广到延迟路径相关泛函。下一个命题正好说明了结果。定义=A.∈ L（[0，T]）；对于t，Zsa（t）dt=1，a（t）=0≥ s.提案4.26。修正满足假设4.7的t-延迟路径依赖函数f，并考虑∈ Γt.因此，xf（X）=Eg（XT）Zta（t）ztσ（XT）dwt.（4.31）证据。如前所述，通过等式（4.14），mt=xf（Xt）zt- xf（X）+ztlf（Xs）zsds。乘以任意a∈ Γt，结合t和期望，我们发现xf（X）=EZTa（t）xf（Xt）ztdt+ EZTa（t）ZtL f（Xs）zsddt= EZta（t）xf（Xt）ztdt.因此，简单应用分部积分公式即可得出结果。备注4.27。在时滞路径依赖导数的情况下，我们发现了权π=Zta（t）ztσ（Xt）dwt。我们应该将这个公式与（4.3）进行比较。备注4.28。在[u，s]中的Lie括号为零的情况下 [0，T]，我们可以利用上面的证明，为时间u的增量找到一个类似的表达式（4.31），xf（Xu）。备注4.29。

显然，一个离散监控的函数也依赖于延迟路径，但考虑∈ Γ代替a∈ Γt.例4.30。考虑以下合同（XT）=xT-T- tZTtxudu+,其中0<t<t。该衍生工具被称为远期起价买入期权，详情见[14]。我们假设x遵循Black-Scholes模型，r=0，dxt=σxtdwt，其中σ>0。因此，我们可以很容易地推断，对于t<t，f（Yt）=E[g（XT）|Yt]只依赖于Yt。因此，f是一个t-延迟路径依赖泛函。应用命题4.26，我们发现xf（X）=Eg（XT）Zta（t）ztσxtdwt.（4.32）然后考虑权重π=Zta（t）ztσxtdwt，并进一步注意，在该模型中，切线过程满足zt=xt/x。因此，π=σxZta（t）dwt~ N0，σxZta（t）dt.你可以证明选择≡ 1/t得出π对Γt的最小方差。然后，π=wttσx。考虑表3中给出的参数，我们得出表4和图7中给出的结果。我们使用得出的权重与有限差分法（即。xf（X）≈ （f（Xh）- f（X）-h） ）/（2h），对于少量h）。

我们可以看到，我们使用方程（4.32）实现了更小的标准误差（和最快的收敛）。参数值xσ0.2t0。2T 1表3：远期起航期权示例的参数。平均标准误差f（X）3.5329 0.0200xf（X）0.03607 0.00258xf（X）（FD）0.04055 0.01409表4：远期启动价冲击亚洲看涨期权价格和增量的蒙特卡罗估计。0.002·1044·1046·1048·104105模拟次数0。10.00.10.20.30.40.50.6前向启动浮动罢工亚洲呼叫选项DeltaDelta权重有限差分图7：计算的蒙特卡罗方法的收敛图xf（X）与有限差分法的比较。5结论和未来研究我们使用Dupire的日常工作[6]中介绍的函数It演算框架，引入了路径依赖性的瞬时测量。该测度定义为时间和空间泛函导数的李括号。然后，我们提出了根据路径依赖程度对泛函进行分类的方法。此外，对于具有不太严重路径依赖结构的泛函，我们研究了Delta、Gamma和Vega的加权期望公式。在强路径依赖函数的情况下，我们能够理解Lie括号对其Delta的影响。文中还给出了该理论的数值例子。我们将进一步研究强路径依赖的情况。特别是，时间泛函导数伴随的一种显式描述t、 此外，另外一个有趣的研究方向是路径相关衍生品的非线性价格及其收益的计算；例如参见[21,7]致谢首先，更重要的是，我们要感谢B。