全非线性HJB方程的数值算法

现在，我们想分析一下嗯，ZR和~YR，~ZR. 不幸的是，尽管方案（2.12）很简单，但由于yri本身并不是一个投影，因此该分析非常困难，因为它结合了使用随机变量II计算的回归系数和另一个随机变量a的回归函数值。这使得分析无法利用标准工具来处理最小二乘回归。为了进行比较，考虑以下替代方案：^YRN=g（[XN]X）i^ZRi，a=h^λZi，a^YRi+1W我W.pZi（Xi，Ii）Ii，z，a∈ Ai^YRi=ess supa∈啊^λYi，a^YRi+1+f[Xi]X，Ii，^YRi+1，^ZRi，a我.pYi（Xi，a）iy（2.13），其中，与方程（2.11）不同，回归系数^λYi，aare的计算如下：^λYi，a（U）：=arg infλ∈Rbyehλ.pYi（Xi，a）- Uai（2.14）PYi，a（U）：=λYi，a（U）。pYi（Xi，a）2.2预测2回归模式∈ L（英尺，P）和a∈ Ai，其中ua对应于条件随机变量u |{Ii=a}。PZi，a（U）的定义方式类似。请注意，P.i，Ii（U）=P.i（U）和tha tP。i、 a（Ua）=P.i，a（U）。在这种新方案中，在计算最优策略时，估计的回归系数会随着策略a发生长期变化。因此，与方案（2.12）相比，方案（2.13）的经验版本的实施更为复杂，因为对于同一时间步，可能需要涉及多个不同于Ii（用于模拟正向过程）的随机变量的许多表达式。

然而，与预期相比，这些修改大大减轻了预测影响的分析嗯，ZR如本小节剩余部分所示。首先，方案（2.13）可以写成如下：^YRN=g（[XN]X）i^ZRi，a=hPZi，a^YRi+1W我Wii，z^YRi，a=hPYi，a^YRi+1+f[Xi]X，Ii，^YRi+1，^ZRi，a我iy^YRi=无忧∈A^YRi，A（2.15）然后，我们回顾一下投影算子P.i，A引理2.3的一些有用性质。对于任何固定的∈ Ai:PI，a（U）=PI，a（Ei，a[U]），U∈ L（Fti，P）（2.16）EhP.i，a（U）- PI，a（V）我≤ 呃（Ua）- Va）我，U、 V在L（英尺，P）内。（2.17）证据。证据可在[6]中找到。现在，我们评估嗯，ZR和^YR，^ZR.提议2.2。[投影错误]以下界限成立：E伊里-^YRi, iE兹里-^ZRi≤eC（T）-ti）N-1Xk=inEh|派克|*i+C凯|PZk|*其中C:=2Lf（|π|+q）+q，和|派克|*（分别为。|PZk|*), K≥ i、 线性约束BSDE的解决方案是：Yk=ess supa∈AEk，啊YRk- 派克YRki、 （re sp.ess supa）∈AEk，啊ZRk- PZkZRki） Yj=ess supa∈AEj，a[Yj+1]，j=k- 1.然而，同样的上限也适用于E苏帕女士∈A.YRi，一个-^YRi，a和iE苏帕女士∈A.ZRi，一个-^ZRi，a.证据修理∈ 人工智能。定义YRi=YRi-^YRi，YRi，a=YRi，a-^YRi，a，ZRi=ZRi-^ZRiandZRi，a=ZRi，a-^ZRi，a，wher e，如等式（2.14）所示，YRi，a（resp.ZRi，a）代表条件变量YRi |{Ii=a}（resp。