全非线性HJB方程的数值算法

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英文标题：
《A numerical algorithm for fully nonlinear HJB equations: an approach by
  control randomization》
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作者：
Idris Kharroubi (CREST, CEREMADE), Nicolas Langren\\\'e (LPMA), Huy\\^en
  Pham (CREST, LPMA)
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We propose a probabilistic numerical algorithm to solve Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) with nonnegative jumps, a class of BSDEs introduced in [9] for representing fully nonlinear HJB equations. In particular, this allows us to numerically solve stochastic control problems with controlled volatility, possibly degenerate. Our backward scheme, based on least-squares regressions, takes advantage of high-dimensional properties of Monte-Carlo methods, and also provides a parametric estimate in feedback form for the optimal control. A partial analysis of the error of the scheme is provided, as well as numerical tests on the problem of superreplication of option with uncertain volatilities and/or correlations, including a detailed comparison with the numerical results from the alternative scheme proposed in [7].
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中文摘要：
我们提出了一种概率数值算法来求解具有非负跳的倒向随机微分方程（BSDE），这是[9]中介绍的一类BSDE，用于表示完全非线性的HJB方程。特别是，这使我们能够数值求解具有受控波动性（可能退化）的随机控制问题。我们基于最小二乘回归的反向方案利用了蒙特卡罗方法的高维特性，并以反馈形式为最优控制提供了参数估计。本文对方案的误差进行了部分分析，并对波动率和/或相关性不确定的期权的超复制问题进行了数值试验，包括与[7]中提出的替代方案的数值结果进行了详细比较。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_numerical_algorithm_for_fully_nonlinear_HJB_equations:_an_approach_by_control_.pdf (432.54 KB)

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关键词：HJB 非线性 Applications Quantitative Differential

全非线性HJB方程的数值算法：控制随机化方法Idris Kharroubi*Ceremake，CNRS UMR 7534，巴黎多芬大学和克雷斯特大学，哈鲁比Ceremake。多芬。法国巴黎大学概率与模型实验室和法国数学教育基金会。巴黎迪德罗大学。巴黎迪德罗大学（Universit of Paris Didero）和克雷斯特·恩萨法姆（CREST ENSAEpham）数学学院（math）。巴黎迪德罗大学。2013年11月19日摘要我们提出了一种概率数值算法来求解具有非负跳的倒向随机微分方程（BSDE），这是[9]中介绍的一类BSDE，用于表示完全非线性HJB方程。特别是，这使我们能够数值求解具有受控波动性的随机控制问题，可能是退化的。我们的后向方案基于最小二乘回归，利用了蒙特卡罗方法的高维特性，并以反馈形式为最优控制提供了参数估计。对该方案的误差进行了部分分析，并对波动率和/或相关性不确定的期权的超复制问题进行了数值试验，包括与[7]中提出的替代方案的数值结果进行了详细比较。关键词：倒向随机微分方程，控制随机化，HJB方程，不确定波动率，经验回归，蒙特卡罗。理学硕士分类：60H10、65Cxx、93E20。*作者的研究得益于法国ANR研究基金LIQUIRISK（ANR-11JS01-0007）的支持。1引言1引言考虑以下一般汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程：五、t+supa∈A.b（x，a）。Dxv+trσσ（x，a））Dxv+ Fx、 a，v，σ（x，a）。Dxv= 0，（t，x）∈ [0，T）×Rd（1.1）v（T，x）=g（x），x∈ 其中RDA是Rq的有界子集。

众所周知，HJB方程（1.1）是以下随机控制问题的动态规划方程：v（t，x）=supα∈AEt，x“^Ttf（xαs，αs）ds+g（xαT）#（1.2）dXαs=b（xαs，αs）ds+σ（xαs，αs）dwsMover，在[9]中证明，该HJB方程允许通过具有非正跳的BSDE的概率表示。我们回顾一下这种构造。在R+×a上引入泊松随机测度ua（dt，da），其有限强度测度λa（da）dt与标记的点过程（τi，ζi）相关i、 独立于W，考虑纯跳跃过程（It）t，用A表示，定义如下：It=ζi，τi≤ t<τi+1，并解释为对照过程sα的随机化。接下来，考虑不受控制的前向体制切换扩散过程dxs=b（Xs，Is）ds+σ（Xs，Is）dWs。观察配对过程（X，I）是马尔可夫过程。现在，考虑以下带跳跃的BSDE w.r.t.布朗泊松滤波F=FW，uA=（Ft）0≤T≤T.Yt=g（XT）+^Ttf（Xs，Is，Ys，Zs）ds-^TtZsdWs-^Tt^AUs（a）~ua（ds，da）（1.3），其中|ua是ua的补偿度量。最后，我们将BSDE（1.3）的跳跃分量限制为非正，即Ut（a）≤ 0，dP dt λ（da）a.e.我们用a>0表示Rq的比较集a的上界，即| a |≤“A代表所有A”∈ A、 我们假设如下：1。函数b和σ是Lipschitz：存在Lb，σ>0 s.T.| b（x，a）- b（x，a）|+σ（x，a）- σ（x，a）|≤ Lb，σ|十、- x |+| a- a|,对于所有的x，x∈ Rd，a，a∈ A.2。

函数f和g是Lipschitz连续的：存在Lg，Lf>0 s.T.| g（x）- g（x）|≤ Lg | x- x | | f（x，a，y，z）- f（x，a，y，z）|≤ Lf（|x）- x |+| a- a |+| y- y |+| z- z |），对于所有x，x∈ Rd，a，a∈ A.2回归模式在这些条件下，我们考虑以下约束BSDE的最小解（Y，Z，U，K）：Yt=g（XT）+^Ttf（Xs，Is，Ys，Zs）ds-^TtZsdWs（1.4）+KT- Kt-^Tt^AUs（a）~ua（ds，da），0≤ T≤ T，a.s.受约束T（a）≤ 0，dP dt λ（da）a.e.开Ohm ×[0，T]×A（1.5）通过（Xt，It）的马尔可夫过程，存在一个确定性函数y=y（T，x，A），使得（1.4）-（1.5）的最小解为y=y（T，Xt，It），0≤ T≤ T定理1.1。[9] y=y（t，x，a）不依赖于a:y=y（t，x），是HJB方程（1.1）的粘度解：Yt+supa∈A.b（x，a）。Dxy（t，x）+trσσ（x，a）Dxv（t，x）+ Fx、 a，y，σ（x，a）Dxy= 0（t，x）∈ x（x，T）=∈rNow，本文的目的是提供一个数值格式来计算约束B SDE（1.4）-（1.5）解的近似值。根据定理1.1，这将提供一般HJB方程（1.1）的近似解，该方程包括方程（1.2）中描述的随机控制问题，即基础扩散的漂移和波动都可以控制的问题，包括退化扩散系数。以下是后续章节的概要。首先，第2节描述了我们的方案。我们从[8]中提出的问题的时间离散化开始，该问题给出了一个反向方案，该方案涉及模拟正向区域切换过程（X，I），因此利用了蒙特卡罗方法的高维特性。

实现可实施方案的最后一步是近似该方案产生的条件期望。这里我们使用经验最小二乘回归，因为这种方法以最优控制的反馈形式提供参数估计。本文对这种近似的影响进行了部分分析，并强调了进行全面分析的剩余障碍。然后，第三节对各种例子进行了数值试验。利用我们方案的可能性的主要应用是在不确定波动性和（多维索赔）相关性下对未定权益进行定价和分类的问题。本节最重要的部分专门讨论这个特定的应用。据我们所知，唯一能处理连续控制和受控波动性的HJB方程的MonteCarlo格式在[7]中有描述，其中它们利用了BSDE的另一种推广，即二阶BSDE。因此，我们将我们方案的性能与他们论文中提供的结果进行了比较。最后，第四部分对全文进行总结。2回归模式定义了区间[0，t]的确定性时间网格π：={0=t<…<tN=t}，网格|π|：=max0≤我我在这里i:=ti+1- ti。用Ei[.]表示：E[.| Fti]=E[.| Xi，Ii]。构造的SDE（1.4）-（1.5）的离散化可写为：YN=g（XN）iZi=Ei易建联+1W我Yi=Ei[Yi+1+f（Xi，Ii，Yi+1，Zi）i] Yi=ess supa∈AEi，a[Yi]（2.1）2.1本地化2回归模式，其中Ei，a[.]：=E[.| Xi，Ii，Ii=a]=E[.|Xi，Ii=a]。首先，根据（Xi，Ii）1的马尔可夫性质≤我≤N、 存在确定性函数Yi和Zi，使得（Yi，Zi）=（Yi（Xi，Ii），Zi（Xi，Ii））。

因此，Yi和zin可以被视为BSDE（1.4）-（1.5）（Yi，Zi）=（Yi（Xi），Zi（Xi））离散时间近似的中间量，这不依赖于Ii。在形式上，跳跃约束（1.5）表示yi（Xi，a）- 易（Xi）=Ut（a）≤ 0 a.s.，这意味着最小解满足Yi=Yi（Xi）=ess supa∈Ayi（Xi，A）=ess supa∈AEi，a[Yi]。此外，如果需要，还可以从该计划中提取资金。事实上，这意味着*= 阿吉斯苏帕∈AEi，a[Yi]，即Yi=Ei，a*[Yi]，然后Zi=Zi（Xi）=Zi（Xi，a*).最后，请注意数值格式（2.1）是明确的，因为我们选择将Yi定义为Yi+1的函数，而不是Yi的函数。[8]详细研究了离散格式（2.1）的解向约束BSDE（1.4）-（1.5）解的收敛性。在本文中，我们从离散版本（2.1）开始，并从中导出一个可实现的方案。实际上，离散方案（2.1）通常不容易实现，因为它涉及无法显式计算的条件预期。因此，在实践中有必要近似这些条件期望。这里我们遵循经验回归法（[10,3,6,18,1]）。在我们的上下文中，由于易于实现，这种选择的强大优势在于，与其他标准方法不同，它为最优控制提供了一个参数反馈估计α（t，Xt）。这个想法是用经验回归代替（2.1）中的条件预期。本节致力于分析这种替换产生的错误。2.1本地化第一步是对离散BSDE（2.1）进行本地化，也就是说，对其进行压缩，使其能够容纳一个独立的BSDE。s、 确定性界限。介绍RX∈ Rd+和Rw∈ R+并定义以下对Xiand的截断Wi:[Xi]X:=-RX∨十一∧ RX={-R1，X∨ X1，我∧ R1，X。

, -Rd，X∨Xd，我∧Rd，X}(2.2)[Wi]w:=-Rwp我∨ Wi∧Rwpi=n-Rwp我∨W1，我∧ Rwp我-Rwp公司我∨Wq，我∧ Rwp木卫一（2.3）定义R={RX，Rw}并使用截断（2.2）和（2.3）定义离散BSDE（2.1）的本地化版本。YRN=g（[XN]X）iZRi=EiYRi+1W我WYRi=EiYRi+1+f[Xi]X，Ii，YRi+1，ZRi我YRi=ess supa∈AEi，a伊里（2.4）首先，我们检查这个本地化的BSDE是否允许a.s.边界。引理2.1。[几乎确定界限]对于每个R={RX，Rw}∈ [0, ∞)d×[0，∞] 每1≤ 我≤ N、 以下统一界限适用于a.s.：伊里,伊里≤ Cy=Cy（RX）：=eCTsCg（RX）+eC |π| LfCf（RX）兹里,兹里≤ Cz=Cy（RX）：=√Q√C:=3Lf（q+|π|）+q，Cg（RX）：=max-RX≤十、≤RX | g（x）|和Cf（RX）：=Lf|RX|+“A+f（0，0，0，0）2.1本地化2回归模式预防。首先，由于g是连续的，因此存在Cg=Cg（RX）>0，因此对于所有-RX≤ 十、≤ RX，| g（x）|≤ Cg（RX）。因此YRN= g（[XN]X）≤ Cg（RX）（2.5）下一步，iZRi=EiYRi+1[Wi]w= 工程安装YRi+1- 工程安装YRi+1[Wi]w因此，使用Cauchy-Schwarz不等式并除以我：我兹里≤ Q唉YRi+1我- 工程安装YRi+1现在，我们来看一下杨氏不等式（a+b）≤ (1 + γi） a+1 +γ我bγ>0时：伊里≤ (1 + γi） 艾未未YRi+1+1 +γ我iEiF[Xi]X，Ii，YRi+1，ZRi注意F[Xi]X，Ii，YRi+1，ZRi≤F[Xi]X，Ii，YRi+1，ZRi- f（0,0,0,0）+ |f（0,0,0,0）|≤ 如果|[Xi]X |+| Ii|+YRi+1+兹里+ |f（0,0,0,0）|≤ Cf（RX）+LfYRi+1+兹里其中Cf（RX）：=Lf|RX|+“A+ |f（0,0,0,0）|。因此伊里≤ (1 + γi） 艾未未YRi+1+ 3.i+γ我Cf（RX）+LfEihYRi+1i+LfEi兹里≤i+γ工程安装YRi+1γ - 3 qLf+ 唉YRi+1i3Lf(我- q） +3Cf（RX）我因此，对于每一个γ≥ 3qLf，可以将涉及Ei的术语组合在一起YRi+1还有YRi+1使用詹森的不平等性：伊里≤ (1 + θ (3, γ) i） 唉YRi+1i+3|π| +γCf（RX）i这里θ（c，γ）：=γ+cLf|π| +γ.

最后：伊里≤ 苏帕女士∈啊YRi+1i（1+θ（3，γ）i） +3|π| +γCf（RX）i（2.6）使用等式（2.5）和（2.6），通过归纳得出：伊里≤ ΓN-1i（3，γ）Cg（RX）+3|π| +γCf（RX）N-1Xk=iΓki（3，γ）k（2.7）式中Γji（c，γ）：=i（1+θ（c，γ）k） 。最后，请注意c、 γ>0lnΓji（c，γ）=jXk=iln（1+θ（c，γ）（k）≤jXk=iθ（c，γ）k=θ（c，γ）（tj+1）- ti）因此Γji（c，γ）≤ exp（θ（c，γ）（tj+1- ti））（2.8）和n-1Xk=iΓki（c，γ）K≤N-1Xk=ieθ（c，γ）（tj+1）-（ti）K≤ eθ（c，γ）|π|N-1Xk=ieθ（c，γ）（tj）-（ti）K≤ eθ（c，γ）|π| tNtieθ（c，γ）（t）-ti）dt=eθ（c，γ）|π|θ（c，γ）eθ（c，γ）（tN）-（ti）- 1.（2.9）2.1局部化2回归模式最后，将方程（2.7）、（2.8）和（2.9）与c=3和γ结合起来≥ 3qlft获取以下信息。s、 前往YRi：伊里≤ eθ（3，γ）（tN）-ti）Cg（RX）+3|π| +γCf（RX）eθ（3，γ）|π|θ（3，γ）eθ（3，γ）（tN）-（ti）- 1.≤ eθ（3，γ）TCg（RX）+3eθ（3，γ）|π|θ（3，γ）|π| +γCf（RX）特别是，对于c=3和γ=3qLf：伊里≤ eCT（Cg（RX）+eC |π| LfCf（RX））=cyc，其中C:=3Lf（q+|π|）+q。同样的不等式适用于伊里. 对于ZRi，使用Cauchy-Schwarzin等式获得：兹里≤Q嘿YRi+1我≤QIce=：Cz，同样的不等式适用于兹里.引理2.2。对于R>0，定义TR=Eh（N- (-R）∨ N∧ R） 其中N是均值为0、方差为1的高斯随机变量。然后：TR≤rπRe-RProof。开发方形yieldsTR=2RP（N>R）- 4 RE[N1{N>R}]+2EN1{N>R}然后这两个期望可以明确表示为[N1{N>R}]=e-R√2πEN1{N>R}=R√2πe-R+P（N>R）最后，利用密尔比值不等式P（N>R）<Re-R√2π得出结论。然后，我们可以估计BSDE（2.1）和（2.4）之间的界限。提议2.1。以下界限适用：易- 伊里≤ eCT（Lg|XN|*+ CN-1Xk=iK|Xk|*+ 其中C:=3Lf（2q+|π|）+2q|Xk|*, K≥ i、 是以下线性约束BSDE的解：Yk=（Xk）- [Xk]X）Yj=ess supa∈AEj，a[Yj+1]，j=k- 1.我的屋顶。

定义Xi=Xi-[Xi]X，Yi=Yi-伊瑞，Yi=Yi-伊瑞，Zi=Zi-兹里安Zi=Zi-兹里。首先|YN |=| g（XN）- g（[XN]X）|≤ Lg|XpN | 2.2预测2回归模式我Zi=Ei易建联+1W我- YRi+1W我W= 唉易建联+1Wi+YRi+1{Wi- [Wi]w}iEi(易建联+1- 艾未未[Yi+1]）W我+ EihYRi+1{Wi- [Wi]w}伊恩斯我((子)≤ 第二季度唉(易+1）我- 艾未未[Yi+1]+ 2QCytrWhenYi=Ei易建联+1+f（Xi，Ii，Yi+1，Zi）- F[Xi]X，Ii，YRi+1，ZRi我利用参数γ的Jense-n不等式和Young不等式i、 γ>0:(（易）≤ (1 + γi） 艾未未[Yi+1]+1 +γ我i3LfEih((十一)(Yi+1）+(我≤ 艾未未[Yi+1]i+γγ - 6 qLf+ 唉(易+1）我i+γ3Lf(i+2q）+i+γi3Lfn(Xi）+2qCyTRwoNow，对于任何γ≥ 6qLf，可以将Ei中的术语组合在一起[Yi+1]和Eih(Yi+1）尤辛詹森的不平等：(（易）≤ 唉(Yi+1）i{1+θ（3，γ）i} +3Lf|π| +γ在(Xi）+2qCyTRwowhere，如lemma2。1，θ（c，γ）：=γ+cLf|π| +γ. 因此，对于任何随机变量Θa和Θ′，使用该函数，苏帕女士∈AEi，a[Θ]- 苏帕女士∈AEi，a[Θ′]≤ 苏帕女士∈AEi，啊（Θ- Θ′）我认为：(（易）≤ {1 + θ (3, γ) i} 苏帕女士∈啊(Yi+1）i+3Lf|π| +γ在(Xi）+2qCyTRwoBy感应(（易）≤ LgΓN-1i（3，γ）|XN|*+3Lf|π| +γN-1Xk=ikΓki（3，γ）n|Xk|*+ 2qCyTRwowhere，如L e mma2。1，Γji（c，γ）：=πjk=i（1+θ（c，γ）（k）≤ exp（θ（c，γ）（tj+1- ti））。最后，取γ=6qlft以获得所需的界限。2.2项目在目前的形式下，方案（2.4）不容易实施，因为其条件预期一般无法计算。因此，有必要对这些条件进行近似估计。为了方便和高效，本着[10]和[6]的精神，我们选择通过经验最小二乘回归来近似它们。首先，我们将研究用理论最小二乘回归代替条件期望的影响。我们将看到，结果的模式不容易分析。

因此，我们将研究一个更强大的版本，并指出它们的实际差异。因为这已经是一项艰巨的任务。2预测2标准BSDE的回归模式（参见[10]），鉴于理论回归层面上已经提出的困难，我们将这些回归最终被其经验对应方替代的研究留作进一步研究。因此，对于每一个我∈ {0，…，N- 1} ，consider SYiand SZi=nSZ，1i，SZ，qiothat是L（Fti，P）的非空循环共凸子集，以及相应的投影算子PYiand PZi=nPZ，1i，PZ，qio。使用上述投影算子代替（2.4）中的条件期望，我们得到以下近似方案：~YRN=g（[XN]X）i~ZRi=hPZi~YRi+1W我Wii，z ~YRi=hPYi~YRi+1+f[Xi]X，Ii，~YRi+1，~ZRi我iyYRi=ess supa∈AEi，ahYRii（2.10）其中[.]i、 z:=-iCz∧ . ∨ iCzand[.]y:=-赛∧ . ∨ C是截断运算符，确保a.s.上b为嗯，ZR来自外稃2。1也适用于~YR，~ZR.更具体地说，选择以下子集SYIAN和SZias:SYi=nλ。pYi（Xi，Ii）；λ ∈ RBYioSZ，ki=nλ。pZ，ki（Xi，Ii）；λ ∈ RBZ，kio，k=1，QPYI在哪里=pYi，1，裴，裴, 拜≥ 1和pZ，ki=pZ，ki，1，p、 Z，ki，BZ，ki, BZ，ki≥ 1是从Rd×rqin到R的确定性函数的预定义集。因此，对于L（FT，P）中的任何随机变量U，PYi（U）定义如下：^λYi（U）：=arg infλ∈Rbyehλ.pYi（Xi，Ii）- Ui（2.11）PYi（U）：=λYi（U）。pYi（Xi，Ii）和PZi（U）的定义方式类似。有了这些符号，方案（2.10）可以进一步明确如下：~YRN=g（[XN]X）i~ZRi=h^λZi~YRi+1W我W.pZi（Xi，Ii）Ii，z ~YRi=ess supa∈唉^λYi~YRi+1+f[Xi]X，Ii，~YRi+1，~ZRi我.pYi（Xi，a）iy，（2.12），其中Ai是σ（Xi）-可测量的随机变量集，a中的主值。