具有长程相关性的连接函数和时间序列

这些精确表达式几乎直接从定义上表明：（i）重现时间的分布仅取决于基本过程的连接，而不取决于平稳规律，尤其是其域或尾部（这是因为我们将阈值相对定义为分位数）；（ii）在复发的统计中，非线性相关性是高度相关的，因此在一般情况下，线性相关性决不能单独解释π（τ）的性质；（iii）重复间隔有一个很长的记忆，这是由（τ+1）-点所涉及的copula所揭示的，因此，只有当潜在的过程Xtis Markovian时，重复本身才是无记忆的。[35]因此，当copula已知时（对于高斯过程，附录中的等式（A1）），重现时间的分布由等式（12）中的精确表达式表征。平均重现时间可直接通过求级数μπ=hτi求和得到=∞Xτ=1τπ（τ）=p+，（14），无论依赖结构如何，它都是普适的。这一结果由科航以类似的方式首次陈述和证明[36]。这是直观的，因为对于给定的阈值，整个时间序列是固定数量的p+T重复序列的序列，其长度τ不一定等于总大小T，因此hτi=πτi/（p+T）=1/p+。注意eq。（14） 假设可能的滞后τ有一个有限的范围，这可以通过具有一个固定的长时间序列来实现，或者更实际地说，当平移不变copula在时间序列的边界处是周期性的时，这是使用数值傅里叶变换方法模拟的艺术数据的典型情况。引入copula可以强调语句的有效性，即使在存在非线性长期依赖的情况下也是如此。

（14） 这意味着平均电流间隔与copula无关。更一般地，也可以通过求τmπ（τ）和τ：hτmi=1来计算m阶矩+∞Pτ=1[|τ+1 | m- 2τm+|τ-1 | m]Cτ（1）-p+，p+。特别是，分布的方差为σπ≡ hτi- π=p+∞Xτ=1Cτ（1）-p+）-1.-p+p+，（15）与平均值相比，它不是通用的，可以与平均无条件等待时间相关，见下文。注意，在独立情况下，方差σπ=（1-由于离散效应，p+/p+不等于平均μπ=1/p+，连续时间泊松过程也是如此。值得注意的是，重现时间分布（13）的主要成分是copula（即序列依赖结构），而不是平稳分布F，Olla[37]已经指出了这一点，但当前的描述强调了这一点。对过程极端统计的敏感性实际上隐藏在inp+中，但更重要的是（可能是多尺度）依赖结构Cτ。条件复发间隔，聚集复发时间的动力学与它们的统计特性一样重要，事实上影响后者的经验确定。[38]现在，无论是从经验证据还是从公式（12）的讨论中，都可以清楚地看出，复发间隔具有长期记忆性。从动态的角度来看，这意味着它们的事件表现出一定的聚集性。自然的问题是：“根据观察到的复发时间，下一次复发的概率分布是什么？”在观察到的复发时间τisP[X（+）τ；τ| X（+）0；τ，X>X（+）]之后立即观察到间隔τ的概率。（16） 同样，将“>”调整为“<”可以将其分解为asCτ-1.τ-1.- Cτ；τ-1.- Cτ-1.τ+Cτ；τCτ-1.- 2Cτ+Cτ+1-π（τ+τ）π（τ），其中（τ+τ）-点概率τ；τ（p）=F[[0；τ+τ]]\\{τ}（F-1（p），F-1（p））出现了。

当然，这个精确的表达式没有实际用途，同样是因为没有希望以有意义的信噪比经验测量极值事件的任何多点概率。我们想强调的是，非线性相关性和多点依赖性是相关的，基于重复间隔的自相关性对聚类进行描述是对现实的一种过于简单的看法。等待时间——下一个事件的条件平均剩余时间，当在一个（正）事件后的τ时间步长为ishw |τi时=∞Xw=1wπ（τ+w）=p+Cτ（1）-p+。（17） 人们通常更关心无条件等待时间，这相当于询问从现在开始的一系列“非事件”的大小，不管之前发生了什么。这些等待时间的分布φ（w）=P[X（+）0；w+1]等于φ（w）=Cw（1）-p+）- Cw+1（1）-p+，（18），其期望值为|φ=hwi=∞Xw=1Cw（1-p+，（19）与公式（17）中所有可能经过的时间内平均Hw |τi得到的结果一致。弗罗梅克。（15） ，我们在重复间隔分布π的方差和平均等待时间之间有以下关系：∑π=μπ2uφ+ 1- μπ（20）π+（τ）hτi+φ+（w）hwi+ψ-（n） hni-R（t）（1）-q） qτ-11-问题（1）-q） qwq1-qq（1）-q） n-1QT表I.引入了不同的概率，阈值定义为F（X（+））=q=1- F（X）(-)), 对于白噪音过程。序列长度序列大小的分布也揭示了过程中的序列依赖性。在“非事件”之后开始的连续负事件序列[39]大小为n的概率为ψ（n）=Cn（p-) - 2 Cn+1（p-) + Cn+2（p-)P-(1 - P-)（21）一个随机序列的平均长度μψ=hni=∞Xn=1nψ（n）=1- P-（22）是普遍的，就像平均复发时间一样。

该属性排除了Bogun\'a和Masoliver[28]的分析，他们声称能够根据平均序列大小区分过程中的依赖关系。记录统计我们通过提到对角点copula Cn也可以理解为Xin a行n个实现的最大值的分布，来总结关于多点非线性依赖关系的这一理论部分最大τ≤n{Xτ}<F-1（p）= PX[[1，n]]<F-1（p）等于Cn（p）。因此，研究短序列中这种“局部”极大值的统计信息（参见[40]）可以提供有关基础过程多点特性的信息。运行最大值的CDF（或记录）为Ct（F（x）），t>1将成为破纪录时间的概率为联合概率r（t）=P{max}X<τ,这与边际法则无关！三、 财务自相关函数说明了上述每日指数收益序列中引入的一些数量。选项卡中总结了所用时间序列的属性。二、股票指数国家自至TS&P-500美国1970年1月2日2011年12月23日10 615KOSPI-200韩国2011年1月3日1990年12月26日5 843CAC-40法国1987年12月23日2011年6 182DAX-30德国1970年1月2日2011年12月23日10 564SMI-20瑞士1988年12月23日5 902表二。所用数据集的描述：国际股票指数日收盘价回报率的时间序列。A.条件概率和2点相关性我们重现了Bogun\'A和Masoliver[28]对价格变化统计的研究，有条件地基于之前的回报符号，并将分析扩展到任何阈值| X（±）|≥ 0和远程滞后。除了表中列出的五种股票指数的时间序列。二、 我们来看看[41]中的脑电图（EEG）数据。我们首先在图上说明。

3条件概率p（`）±（填充符号）和p（`）（空符号）具有可变阈值q=F（X（+））=1- F（X）(-)), 对于`=1。为了研究与独立情况的偏离，可以更方便地减去白噪声的贡献，以获得相应的超额概率。首先，EEG数据，如图3（f）所示，呈现出非常强的对称持续性；另一侧的反转因极端事件（如WN）而关闭，中间值的反转比WN更受抑制。在与财务指数相关的曲线图中，可以立即观察到几个特征：正事件（向上三角形）触发的后续正（填充）事件多于负（空）事件；负事件（向下三角形）触发的后续负（填充）事件多于正（空）事件，但在远尾q&0.9中，负事件后的逆转比持续性更强。这两种影响都主导着WN基准，但后一种影响要强烈得多。对于所有研究的股票指数的收益时间序列来说，这种整体行为是相似的。p±和p±的形状与q不符合分别以虚线和虚线显示的学生copula基准（相关性ρ=0.05和d.o.f.ν=5）。请注意，由于其非平凡的尾部相关性，请参见。[24]Student copula确实产生了与WN有关的更高的持续性，在核心部分产生了更低的反转，在尾部产生了更高的反转。但从经验上看，这种逆转是不对称的，通常在消极事件而不是积极事件的情况下更强，这一特性让人想起杠杆效应，而这一效应不能用纯（对称）学生copula来解释。一些指数表现出更明显的逆转和持续性效应。有趣的是，CAC-40的回报率为0.5≤ Q

0.9接近白噪声（尤其是p（1）±=p（1）±在q=0.5时非常接近于0，显示出一种有效的条件作用，即在正或负回报之后立即出现任何正和负回报），但极端正事件q&0.9表现出非常强的持续性，极端负事件表现出非常强的逆转。Chichepatiche和Bouchaud[42]详细研究了[C]（p，p）的p-和`-依赖性- p] 和[C`（p，1-p）- p（1）-p） ]-与top（`）和p（`）直接相关, 分别——发现股票收益率的自copula可以通过具有对数衰减相关性的对数正态波动率进行高精度建模，与多重分形波动率模型一致。我们在图4中概述了2000-2004年标准普尔500指数所有股票的聚合copula结果。对于不同的q，可以精确地显示基础过程（在[43]中讨论）中存在的每种依赖性如何在p（+）中反映自身：短范围线性反相关解释了中心部分（p≈ 0.5）与WN预测不同，长程振幅聚类是“M”和“W”形状的原因，显示了过度的持续性和抑制的逆转，杠杆效应可以在“M”和“W”的不对称高度观察到。B.重复间隔和多点依赖七迄今为止研究的简单两点自依性度量表明，非线性和多重标度是在试图描述金融时间序列时必须考虑的两个因素；现在我们来研究它们的多点性质。作为一个例子，我们计算了高于阈值X（+）=F的回报的重复次数分布-1(1-p+。无花果

5显示了尾部累积分布1- DAX收益的重复间隔∏（τ），在几个重复间隔p+=1/hτi时——其他指数的分布非常相似。在使用的对数-对数表示法中，指数分布（对应于独立收益）将是凹的并迅速下降，而幂律将线性衰减。经验分布两者都不符合，Ludescher等人[44]提出了形式1的参数分布- π（τ）=[1+b（a-1) τ](2-a） /（a）-1). （23）然而，在X（+）和F处阈值的尾部区域存在重要偏差-1（0.9），即hτi和1/（1）- 0.9）=10：因此，不同阈值的曲线在适当的重新缩放[45]后不可能塌陷到单一曲线上，例如地震数据。π（τ）形式的更基本的确定应该依赖于等式（13）和τ-点连接的特征。与重复间隔的统计类似，必须仔细研究其动力学。我们已经证明，在前一次复发之后，复发间隔的条件分布非常复杂，并且涉及到-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.80.6 0.6 0.8 1SP500（a）SP500-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1KOSPI（b）KOSPI-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1CAC（c）CAC-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1最大（d）DAX-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1SMI（e）SMI-0.4-0.20.0 0.2 0.4 0.6qp++p+-P- -P- +1 0.8 0.6 0.6 0.8 1EEG（f）EEGFIG。3.`=1时的条件极端概率（WN贡献已被减去）。填充符号表示持久性，空符号表示恢复。

向上的三角形以正跳跃为条件，向下的三角形以负跳跃为条件。长期非线性依赖性，因此，对复发时间自相关的简单评估可能不足以深入了解相关机制。四、 讨论。条件性预期短降除了关注条件性事件的频率外，人们还可以尝试描述它们的大小。当然，这不再适用于连接函数（即“计算”联合事件）的框架，而是可以通过预期短缺（或尾部条件预期）的多变量泛化进行量化。对于一个带有cdf的单随机变量，预期短缺是在大事件条件下的平均损失：ES（p-) = E[Xt | Xt<X(-)]=P-采埃孚-1（p-)-∞x dF（x）=p-Zp-F-1（p）dp同样，对于二元分布，定义了前一个收益‘符号’上有条件的平均收益：hXi（`）-= E[Xt | Xt-`< X(-)] （24a）hXi（`）+=E[Xt|Xt-`> X（+）]。（24b）以高斯双变量对（Xt，Xt+`）为例，它的整个`-依赖关系是线性相关系数ρ（`）。图6显示了可通过等式精确计算的条件预期短缺。（24），并与反磨机比成正比：hXi±=±ρ（`）Φ（X（±））p±，其中Φ表示单变量标准正态分布的CDF。这种高斯预测将与一系列股票指数回报率的相同数量的实证评估进行比较。图7显示了Hxi±相对于q的行为（我们还显示了对应于一天（`=1）、一周（`=5）和一个月（`=20）的中值med（X）±）。条件振幅Xi±衡量在给定阈值下事件发生后实现的平均“大小”，而条件概率p±±和p±量化重复发生此类事件的“频率”。

注意无条件的平均值和中值，它们都在零以上，并且彼此不同。在`=1时，极端事件的逆转再次通过q的单调性变化来揭示≈ 0.8开，q>0.9时更强烈，其中-0.010-0.005 0.000 0.005 0.010t=10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.010-0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.81.0u-0.010-0.005 0.000 0.005 0.010t=10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.010-0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.81.0uFIG。4.来源于[42]。对于滞后`=1和`=128，自连接词的对角线（顶部）和反对角线（底部）；乘积copula已被减去。根据股票收益率经验确定的copula以粗体黑色显示，而[42]模型的fit以细红色显示。hXi-与上一个报税表的符号相反；这证实了对上述条件概率的观察。第二天之后，总体情况是，依赖关系趋于消失，经验测量更集中于WN预测。然而，尾部效应强烈存在，与“=1”的典型行为相反的是，每周、每月都会出现极端正跳的逆转。请参见标题，以了解每个滞后时间的每个股票指数的具体讨论。B

结论根据对角连接词的描述，我们报告了复发时间的若干性质和其他观测值（等待时间、集群大小、记录、余震）的统计，并希望这些研究能够通过评估简单变量的统计信息，而不是假定一种先验的依赖结构，来阐明过程的n点性质。平均递推区间的精确普适性在系统中构成了一个自然尺度。只有在没有任何其他特征时间的情况下，才有可能出现此类复发分布的标度关系。与地震震级的时间序列相比，当存在此类传统特征时间时（通常为非线性相关），预计不会出现此类标度。我们还强调，复发本质上是多点对象，与1 5 10 50 100 5001e中的非线性依赖相关-04 1e-03 1e-02 1e-01 1e+001- Π(τ) =1+b（a）- 1) τ-2.-aa-1τ τ  τ  τ  τ  τ  τ  τ  = 2 = 3 = 5 = 10 = 20 = 50 = 1002 5 10 20 50 1000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 τ ab1 5 10 50 100 5001e-04 1e-03 1e-02 1e-01 1e+001- Π(τ) =1+b（a）- 1) τ-2.-aa-1τ τ  τ  τ  τ  τ  τ  τ  = 2 = 3 = 5 = 10 = 20 = 50 = 1002 5 10 20 50 1000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 τ 阿布菲格。5、DAX指数返回。顶部：尾部概率1- 在对数标度中，在几个阈值p+=1/hτi时，重复间隔的∏（τ）。灰色曲线最符合参考文献[44]中的公式（23）。底部：最佳时间序列的估计参数a和b。因此，它们的自相关性并不是其动力学的可靠度量，因为它们的条件发生概率与历史有很大的依赖性。最终，复发可能会被用来以一种新的方式描述风险。