具有长程相关性的连接函数和时间序列

人们应该能够从动力学的角度来描述风险，而不是——或者除了——关注给定视界上不利事件的幅度和概率。从这个意义上说，如果一个资产的不良事件复发率分布如此之大，且其“不良”性质不可共享，则可以说该资产比另一个资产“风险更大”。这相当于用“何时”来描述这种无用性除了通常的“频率”之外，预计还会发生冲击还有“多大？”。研究连续时间过程中的许多点依赖关系将是有趣的，其中-0.50.0 0.5q1 0.80.6 0.6 0.8 1ρ=0ρ=0.05ρ=0.1ρ=0.2ρ=0.3E[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） 图6。对于ρ（`）的不同值，高斯对（X，X`）的条件预期短缺。q=0.5isp2/πρ（`）时的值。n点copula是通过一个计数过程来实现的。要计数的事件既可以由一个超过阈值的潜在连续过程触发，也可以更直接地建模为一个自激点过程，如霍克斯过程。典型的财务应用程序可以在限额订单簿中的交易时间中找到。感谢F.Abergel、D.Challet和G.Tilak的讨论和评论。R.C.感谢巴黎资本基金管理公司的财务支持。附录A：简单copulas和Sklar定理Sklar定理[46]指出，任何多元分布F[[1，n]]（x，…，xn）都可以用单变量边际分布函数Fi（xi）（i=1，…，n）和[0，1]上的“copula”函数C（u，…，un）来表示，通过定义，它表征了变量之间的依赖结构。在实践中，通过为每个变量i设置ui=Fi（xi）来实现群体的构建。

（3） 对于二元分布，可以直接推广（n点copula的对角线见等式（9））。例如，高斯对角copula isCn（p）=ΦρΦ-1（p），Φ-1（p）（A1）在哪里-1是一元逆CDF，Φρ表示具有（n×n）协方差矩阵ρ的多元CDF，即具有对称项ρtt=ρ（|T）的Toeplitz- t |），t，t=1，n、 （A2）白噪声（WN）乘积copula Cn（p）=pn在消失相关ρ（`）=δ`0的极限下恢复，其他示例包括指数相关马尔可夫高斯噪声、对数相关多重分形高斯噪声和幂律相关（因此无标度）分数高斯噪声。图8显示了Cn（p+=0.7）与n在不同的Hurstindices H=0.5、0.7、0.9时的对比。由于数值限制，此处无法显示大n的渐近行为，但小n特性更适合描述短时条件动力学。[1] S.Kotz和S.Nadarajah，《极值分布》（帝国理工学院出版社，伦敦，2000年）。[2] P.Embrechts、C.Kl–uppelberg和T.Mikosch，《极端事件建模：用于保险和金融》（Springer Verlag，柏林，1997）。[3] A.查克拉博蒂、I.穆尼·托克、M.帕特里亚卡和F。阿伯格尔，《定量金融》第11991页（2011年）。[4] M.Politi，N.Millot和A.Chakraborti，Physica A：统计力学及其应用391147（2012）。[5] P.Bak、K.Christensen、L.Danon和T.Scanlon，《物理评论快报》88178501（2002）。[6] A.Bunde，J.F.Eichner，S.Havlin和J.W.Kantelhardt，《物理学A：统计力学及其应用》330，1（2003）。[7] A.Corral，《物理评论快报》928501（2004年）。[8] G.Molchan，《纯粹与应用地球物理学》1621135（2005）。[9] 例如，阿尔特曼和H.坎茨，《物理评论》E 71056106（2005）。[10] A.萨切夫和D。

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类似地，对于欧洲指数（CAC，DAX），在`=1时持续出现的积极事件转化为在`=20时尾部出现的强烈逆转；在大多数指数（包括美国和韩国）的中间量表（`=5）上观察到较弱的回归。和H.E.Stanley，Physical Review E 766109（2007年）。[16] N.Sazuka，J.-I.Inoue和E.Scalas，Physica A:统计力学及其应用3882839（2009）。[17] 任志强和周文星，新物理杂志125030（2010）。[18] A.Corral，《物理评论》E 68035102（2003）。[19] \'A.Corral，Physica A：统计力学及其应用340590（2004）。[20] P.Embrechts、F.Lindskog和A.McNeil，《金融中重尾分布手册》8329（2003）。[21]P.Embrechts，A.J.McNeil和D.Straumann，“风险管理中的相关性和依赖性：财产和陷阱”，《风险管理：风险价值及其超越》（剑桥大学出版社，剑桥，2002）第176-223页。[22]Y.Malevergne和D.Sornette，《极端金融风险：从依赖到风险管理》（Springer Verlag，柏林-海德堡-纽约，2006年）。[23]T.Mikosch，极限9,3（2006年）。[24]R.Chichepatiche和J.-P.Bouchaud，《国际理论与应用金融杂志》第15期（2012年）。[25]B.K.Beare，《计量经济学》78395（2010）。[26]R.Ibragimov和G.Lentzas，“Copulas和长记忆”（2008），哈佛经济研究所讨论论文。[27]A.J.巴顿，《金融时间序列手册》，767（2009）。[28]M.Bogun\'a和J.Masoliver，欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复杂系统40347（2004）。[29]R.Chicheportiche，金融学中的非线性依赖，博士论文，`Ecole Centrale Paris（2013）。[30]F.Omori，《科学院学报》7111（1895）。[31]A.M.Petersen、F.Wang、S.Havlin和H.E.Stanley，《物理评论》E 826114（2010）。[32]F.Lillo和R.N。

Mantegna，《物理评论》E 6801619（2003）。[33]B.古腾堡和C.F.里克特，《科学》83183（1936）。[34]我们使用书法C，以使其与上一节中讨论的二元copula明显不同。[35]值得一提的是，在非平稳环境中，-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=1-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=5-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=20（c）CAC-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=1-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） ]l=5-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1meanmedianE[Xl | X0>F-1（q）]E[Xl |X0<F-1(1 - q） [l=20（d）DAXFIG。7.（续）●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●1 2 5 10 200.001 0.005 0.050 0.500Cn（p）p=0.7n●H=0.9H=0.7H=0.5●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●1 2 5 10 201e-10 1e-07 1e-04 1e-01Cn（p）p=0.3n●H=0.9H=0.7H=0.5图。8.分数高斯噪声（FGN）的Copula，具有不同的赫斯特指数，阈值p+=0.7（对数标度）。更新过程也能够产生独立的连续复发[16,47]。[36]M.Kac，《美国数学学会公报》531002（1947）。[37]P.Olla，Physical Review E 76011122（2007）。[38]涉及测试优度的π（τ）分布测试[17]应该被放弃，因为这些测试不是为依赖样本设计的，不能依赖于对空值的拒绝。当存在某些依赖时，GoF测试的扩展见Chichepatiche和Bouchaud[42]。[39]我们考虑“负面”事件的情况，即xt<X的事件(-)因为它只是用对角连接词来表达。

“阳性”事件的镜像情况是完全相同的表达式，但必须在中位数周围反转。对于对称F，这个区别是不相关的。[40]J.F.艾希纳，J.W.坎特哈德，A.邦德，和。《物理评论》E 73016130（2006）。[41]R.G.Andrzejak，K.Lehnertz，F.Mormann，C.Rieke，P.David和C.E.Elger，《物理评论》E64061907（2001）。[42]R.Chichepatiche和J.-P.Bouchaud，统计力学杂志：理论与实验2011，P09003（2011）。[43]J.Perell\'o、J.Masoliver和J.-P.Bouchaud，《应用数学金融》第11期，第27期（2004年）。[44]J.Ludescher，C.Tsallis和A.Bunde，《欧洲物理学通讯》9568002（2011）。[45]R.Chichepatiche和A.Chakraborti，arXiv预印本物理学。数据an/1302.3704（2013年）。[46]A.Sklar，Publ。国家统计学家。巴黎大学8229（1959）。【47】M.S.Santhanam和H.Kantz，《物理评论》E 781113（2008）。

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