具有长程相关性的连接函数和时间序列

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Copulas and time series with long-ranged dependences》
---
作者：
R\\\'emy Chicheportiche, Anirban Chakraborti
---
最新提交年份：
2013
---
英文摘要：
  We review ideas on temporal dependences and recurrences in discrete time series from several areas of natural and social sciences. We revisit existing studies and redefine the relevant observables in the language of copulas (joint laws of the ranks). We propose that copulas provide an appropriate mathematical framework to study non-linear time dependences and related concepts - like aftershocks, Omori law, recurrences, waiting times. We also critically argue using this global approach that previous phenomenological attempts involving only a long-ranged autocorrelation function lacked complexity in that they were essentially mono-scale.
---
中文摘要：
我们回顾了自然科学和社会科学若干领域关于离散时间序列的时间依赖性和重现性的观点。我们回顾了现有的研究，并重新定义了连接词（秩的联合定律）语言中的相关观察值。我们认为连接函数提供了一个合适的数学框架来研究非线性时间依赖性和相关概念，如余震、大森定律、复发、等待时间。我们还批判性地认为，使用这种全局方法，以前只涉及长程自相关函数的现象学尝试缺乏复杂性，因为它们本质上是单尺度的。
---
分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

---
PDF下载：
--> Copulas_and_time_series_with_long-ranged_dependences.pdf (686.55 KB)

2022-5-5 05:26:02 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：时间序列 相关性 Mathematical Quantitative Econophysics

连词与长程依赖时间序列*和Anirban Chakraborti+Chaire definance quantitative，巴黎中央经济学院，92 295 Ch^atenay Malabry，法国（日期：2018年7月16日），我们回顾了自然科学和社会科学领域关于离散时间序列中时间依赖性和复发的观点。我们回顾了现有的研究，并用连接词（秩的联合定律）重新定义了相关的观察值。我们认为连接函数提供了一个合适的数学框架来研究非线性时间依赖性和相关概念，如余震、大森定律、复发、等待时间。我们还批判性地认为，使用这种全局方法，以前只涉及长程自相关函数的现象学尝试缺乏复杂性，因为它们本质上是单尺度的。PACS编号：05.45。Tp，02.50-r、 87.85。关键词：复发间隔，连接性，长期相关性，时间序列。导言彻底了解极端事件的发生和统计在地震活动、金融、天文学、生理学等领域至关重要[1,2]。每当一个解决的问题具有随机性时，对极端事件的分析都会起到关键作用，因为极端事件可能会产生相当强烈或持久的后果，这使得它具有广泛的用途。研究特定领域（如金融）中极端事件的一个理论动机是考虑观察到的股价对数收益率（偏离尾部正态分布）的fattails[3]。

一个更实际的动机是，极端事件，如“市场崩溃”或“冲击”，对投资者构成了巨大的风险，尽管这些事件很罕见，并且没有为可靠的统计分析提供足够的数据[4]。据观察，常见的金融冲击在波动幅度、持续时间和受影响的股票数量方面相对较小。然而，像“黑色星期一”这样的特大型和罕见的金融崩溃，有可能持续数月的重大“余震”。这一观察结果与地震后余震级联的“动态松弛”非常相似。因此，提出一个普遍的科学问题也很有意义：当一个“复杂”系统，如地震断层[5-12]或金融市场[13-17]发生极端事件时，该系统的动力学如何受到影响？极端事件之间重现期的统计是描述观测时间序列的时间尺度特性和估计地震或金融崩溃等危险事件风险的有力工具。在随机过程中估计极端事件的回归时间统计量是概率论中的经典问题之一。早些时候，根据对地震等待时间概率密度函数（PDF）的分析，Bak*雷米。chicheportiche@graduates.centraliens.net+阿尼尔班。chakraborti@ecp.fretal.[5]提出了一个统一的标度定律，将古腾堡-里克特定律、大森定律和分形分布定律结合在一个框架中。

科拉尔[18,19]后来扩展了这种全球方法，他提出了一个通用的标度律，用于给定区域内地震之间的PDF发生时间。这是有用的，因为由于标度特性，可以通过只研究频繁发生的小波动的行为来分析不同阈值的收益间隔统计数据，这些小波动的统计数据和可靠性要比极端大波动的统计数据和可靠性好得多。它还揭示了地震活动的时空组织，正如Saichev和Sornette[10]所建议的那样。在这篇文章中，我们回顾了地震等几个领域（自然科学）和金融市场（社会科学）关于离散时间序列的时间依赖性和重现性的观点。我们回顾了上述现有研究，并用数学语言“copulas”重新定义了相关观察值。我们提出，copulas是一个非常通用和合适的框架，用于研究非线性时间依赖性和相关概念，如余震、大森定律、复发、等待时间。我们的总体目标是研究复发时间的若干性质，以及用对角copula描述的其他观测值（等待时间、星团大小、记录、余震）的统计。我们希望这些研究能阐明该过程的n点性质。我们还批判性地认为，以前的现象学尝试只涉及长范围的关联函数，缺乏复杂性，因为它们本质上是单尺度的。作为研究随机变量之间的相关性（可能是高度非线性的）的工具，“copulas”，即秩的联合分布（见下文的正式定义），长期以来一直被用于精算科学和金融领域，通常从风险管理的角度来描述和建模资产的交叉依赖关系[20–22]。

尽管简单分析连接函数对多元依赖模型的广泛使用越来越受到批评[23,24]，连接函数仍然是研究多元数据经验性质的有用工具[24]。最近，还研究了单变量时间序列中的序列相关性，发现了另一个应用范围：just asPearson的ρ系数通常用于测量线性交叉相关性和时间相关性，连接函数设计得很好，可以横向或连续地评估非线性依赖关系[25–27]——在后一种情况下，我们将谈论“自连接函数”。我们考虑一个时间序列{Xt}t=1。。。Tof长度T，作为离散随机过程的实现。n次（1）的联合累积分布函数（CDF）≤ t<…<tn<T）的过程是，。。。，tn（x）=P[Xt<Xt，…，Xtn<Xtn]。（1） 我们假设这个过程是平稳的，有一个分布F，和一个平移不变的联合分布F，具有长程依赖性，这是典型的情况。g、 用于地震和金融数据。当Xtat date t的值超过阈值X（±）时，其实现将被称为“事件”：当Xt<X时，称为“负事件”(-), 当Xt>X（+）时为“正事件”。概率p-这种“负面事件”的定义是F（X）(-)),类似地，Xtis高于阈值x（+）的概率是尾部概率p+=1- F（X（+））。如果唯一阈值X（+）=X(-)如果选择了，那么显然p+=1-P-. 当分布为单侧时，这是合适的，通常仅适用于正信号，并且希望区分两种情况：极端事件（高于唯一阈值）和常规事件（低于阈值）。这种情况在图1（b）中示意性地示出。

当分布为双侧时，将X（+）定义为F的第q个分位数和X更方便(-)作为（1）-q） -th分位数，用于给定的nq∈ [1]，所以p+=p-= 1.- q、 这允许研究有符号极端事件中的持续性和逆转效应，同时排除X之间的常规事件中性区(-)和X（+），参见图1（a），当重复出现的阈值定义为上述分位数（相对阈值）时，理论上不需要平稳性，但如前所述，在经验上需要很多平稳性，否则阈值的高度可能每次都会改变。相比之下，当阈值设置为一个数字（一个绝对阈值）时，在经验方面没有问题，但理论讨论只有在稳定的边际条件下才有意义。下一节回顾平稳过程的几个两点和许多点性质，并根据copula讨论相关的依赖度量。在第三节中，这一相当理论化的内容之后是对金融数据的应用。定义P+=1- qp-= 1.- qX(-)X（+）p+=1- qp-= qX(-)= X（+）（a）F（X（+））=1- F（X）(-)) = qp+=1- qp-= 1.- qX(-)X（+）p+=1- qp-= qX(-)= X（+）（b）F（X（+））=F（X(-)) = qFIG。1.事件的两种可能定义：p-和p+是极端概率（分别为负和正），或者只有p+是极端概率和p-= 1.-p+。在附录中回顾了连接函数的一些性质，并处理了具有长程相关性的高斯情况。二、离散时间过程中的依赖关系我们考虑定义（1）中的离散时间t等距（“定期采样”）的情况。A.两点依赖性度量平稳过程中依赖性的典型度量是只涉及一个参数的两点期望：分离时间点的滞后。

例如，线性相关函数ρ（`）=E[XtXt+`]的有用性- E[Xt]E[Xt+`]（2）植根于对高斯过程的分析，因为这些过程完全以协方差为特征，根据伊塞利定理，多线性相关性可简化为两点期望的所有组合。然而，一些非线性依赖关系，如示例[21,22]中的尾部依赖关系，并不是用简单的相关性来表示的，而是涉及整个二元copula：C`（u，v）=Ft，t+`（F）-1（u），F-1（v）），（3）式中（u，v）∈ [0, 1]. C`可以理解为边际秩U=F（Xt），V=F（Xt+`）的分布，并包含关于二元依赖的完整信息，该信息在边际值的递增变换下不变。例如，条件概率（+`）+=P[Xt+`>X（+）| Xt>X（+）]，（4）是“积极”事件持续性的度量，可以用连接词以及所有三个0来表示。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1ρ=0ρ=0.2ρ=0.4ρ=0.6ρ=0.8 p+-= P-+p++=p--（a） 高斯copula0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q1 0.8 0.6 0.6 0.8 1ρ=0ρ=0.2ρ=0.4ρ=0.6ρ=0.8 p+-= P-+p++=p--（b） 学生连接词（ν=5）图2。条件概率p（`）对于ρ（`）的不同值，p（`）±，阈值为p+=p-= 1.- q、 独立连接词以粗体红色显示。conditioningp（`）+=[2p]的其他情况+- 1+C`（1-p+，1-p+）/p+，（5a）p（`）--= C`（p-, P-)/P-, （5b）p（`）-+= [p]-- C`（p-, 1.-p+）/p-, （5c）p（`）+-= [p]-- C`（1）-p+，p-)]/p+（5d），其中p（`）和p（`）定义类似于等式（4），具有明显的不平等符号选择。当X（+）=X时(-)= 0和`=1，这正是Bogun\'a和Masoliver[28]的定义，因此p-= p+=F（0），参见图。1.

还要注意p（`）和p（`）直接与所谓的“尾部依赖系数”有关[29]。例如，考虑这对（Xt，Xt+`）的高斯二元copula，它的整个`-依赖性是线性相关系数ρ（`）。图2（a）示出了当p+=p时作为阈值函数的条件概率（5）-= 1.- q、 图2（b）显示了Student copula的类似曲线图（其中，ν=5个自由度）：联合分布的胖尾导致了区域q=1中条件概率的异常行为。当nq=0.5时，对于任何椭圆copula[29]，系数（5）都等于+π弧ρ（`）。余震Somori定律描述了p（+）的依赖性，即主事件后事件发生的平均频率。这是在地震发生的背景下首次提出的[30]，这一时间依赖于幂律：p（+`）+=λ·`-α. （6） 注意，根据该描述，对阈值的任何依赖必须以λ为单位。这些余震的平均累积次数N，直到`为thushN`i+=λ·`1-α1-α、 （7）实际上是λ≡ p+自，何时α→ 0，N`不依赖时间，也就是说，它统计独立事件（白噪声），因此p（`）+必须趋向于无条件概率。为了给这一后来在金融[15,31]中观察到的经验定律提供现象学依据，Lilloand Mantegna[32]将金融市场中的余震波动率建模为衰减尺度σ（`）乘以独立随机振幅r`和CDFφ。

作为序列，p（`）++~ 1.- φ（X（+）/σ（`））和大森定律的幂律行为来自（i）幂律边际φ（r）~ R-γ、 （ii）标度衰减为幂律σ（t）~ T-β、 所以关系式（6）可以用α=βγ来恢复。σ所描述的非平稳性仅在条件意义下引入，可能适用于agingsystems或金融市场，但我们认为，Omori’slaw可以在平稳环境下进行解释，且不一定具有幂律分布振幅。p（+`）+与主震震级的标度编码在前置因子λ中≡ 例如，p+解释了地震的指数分布震级（古腾堡-里克特定律[33]）。p（`）+对p+的线性依赖性应反映在基础copula的对角线上：C`（p，p）=p`-α、 （8）可以通过经验检验的预测。注意，Omori定律是一个只涉及两点概率的度量。在下一小节中，我们将展示多点概率可以反映哪些附加信息。B.多点相关性测量尽管高斯过程的n点预期降低为2点预期的所有组合（2），但其完全相关性结构不可降低为二元分布，除非过程也是马尔科夫分布（即仅在指数相关的特殊情况下）。此外，当过程不是高斯分布时，即使是多重线性关联也是不可约的。在一般情况下，需要整个多元CDF，但我们下面介绍的许多依赖性度量涉及对角n点copula:[34]Cn（p）=Ft+[[1，n]]（F）-1（p），F-1（p）），（9）测量所有n≥ 1个连续变量Xt+1，Xt+nare低于平稳分布的第p个分位数上限（p∈ [0,1]，t+[1,n]]是{t+1，…，t+n}的简写。

显然，C（p）=p，我们通过约定C（p）设定≡ 1.根据经验，n点概率很难测量，因为与此类联合事件相关的噪音很大。然而，存在嵌入许多点属性且更容易测量的可观测值，例如阈值事件序列（簇）的长度，以及我们接下来研究的此类事件的重复时间。重复间隔观察两个事件之间重复间隔τ的概率π（τ）是观察τ序列的条件概率- 1“非事件”以两个事件为边界：π（τ）=P[X（+）0；τ| X>X（+）]，（10）其中X（+）t；τ≡Xt+[[1，τ[<X（+），Xt+τ>X（+）（11） 指定一系列“非事件”，从t开始，在t+τ处以“正事件”结束。（我们关注积极事件，但消极事件的复发可以用替代X研究。）→ -十、 以及用替换X的振幅重复出现的情况→|X |）。经过简单的代数变换，将所有“>”符号转换为“<”，它可以用大众语言写成：π（τ）=Cτ-1(1-p+）- 2cτ（1）-p++Cτ+1（1）-p+，p+。（12） 累积分布∏（τ）=τXn=1π（n）=1-Cτ（1）-p+）- Cτ+1（1-p+，p+（13）更适合用于实验目的，对噪音不太敏感。