订单簿作为一个排队系统：平均深度和

那么，λ（p，t）=αhλ（p）是表示有限阶到达的空间泊松过程的强度。我们记得在这个框架中，对于任何p<∈ [0, ∞), 以p价提交的限制订单数量∈ [p，p]是强度为zppλ（p，t）dp=αZpphλ（p）dp的齐次泊松过程。此外，如果p<p<p<p，则在[p，p]和[p，p]中提交的极限指令数形成两个独立的泊松过程。现在，让L（[0，p]）为随机变量，描述我们新订单的累积大小，直至价格p∈ R+。如前所述，L（[0，p]）是M/M/1+M排队系统的大小，其到达率αZphλ（u）du、服务率u和拒绝率θ。利用第2.1节的结果，我们从方程（8）中得到：E[L（[0，p]）]=Zph（u）du- Fδ、 Zph（u）du, （10） 其中我们定义了h（u）=αhλ（u）θ和：f（x，y）=Γy（1+x）Γy（x）。（11） 从现在起，H（p）=Zph（u）du将是价格p之前的订单的（标准化）到达率，B（p）=E[L（[0，p]）将是价格p之前订单的平均累积率。然后B（p）=dB（p）dp将是订单的平均形状（每价格单位，而不是累积）。方程式（10）的直接微分和一些术语的重新排列符合以下命题。提议1。在具有齐次泊松到达的连续订单簿中，对于强度为u的市场订单，强度为αhλ（p）的限制订单的空间泊松到达，以及参数为θ的未执行限制订单的指数分布寿命，计算所有p的订单簿b的平均形状∈ [0, ∞) by:b（p）=h（p）1.- δ（gδ）o H） （p）1.- δH-1（p）[1- （gδ）o H） （p）], （12） 式中gδ（y）=e-yyδy（δ）。（13） 让我们对我们获得的平均形状给出一些评论。

首先，注意通过等式（4）的识别，观察到π1→k（0）=gδ（ν1）→k） 在离散模型中，gδ（H（p））被解释为订单为空，价格为p的概率。其次，请注意→ 式（12）中的0表示b（p）→ h（p）（参见limδ→0gδ（y）=e-y） 。事实上，如果没有市场订单，那么订单簿的平均形状将等于非恶意价格。第三，作为p→ ∞, 我们有b（p）~ 对于一些常数k，这引出我们的主要评论，我们陈述如下。提议2。订单簿b（p）的形状可以写成：b（p）=h（p）C（p），（14），其中C（p）是以p价提交的限价订单在执行前被取消的概率。这个命题解释了订单流动的守恒定律：订单簿的形状正是将被取消的到达限制订单的分数。到达限价单和订单簿的流量之间的差异正是将要执行的到达限价单的分数。证明很简单。事实上，在1→ 在k排队系统中，单位时间内以k价取消的限价订单的平均数量为θe[Lk]（θe[L1）→k] 是1的增长率吗→ k使用排队系统（词汇表）排队。因此，在单位时间内，价格为k的取消订单与价格为k的限制订单的分数为Ck=θE[Lk]λk。根据方程式（9）和一些简单的计算，价格为k的取消限制订单的分数为：Ck=1-Δνk（gδ（ν1→K-1) - gδ（ν1）→k） ）。（15） 因此，在连续模型中，价格p∈ R+加上平均累积形状B（p），以[p，p+]的价格提交的限额订单中被取消的部分被写入：1-δH（p+）- H（p）（gδ（H（p））- gδ（H（p+）））。

（16） 通过让，→ 0，我们得到以p价格提交的限价订单的分数C（p）∈ 被取消的R+为：C（p）=1- δg′δ（H（p））=1- δ（gδ）o H） （p）1.-δH（p）（1）- （gδ）o H） （p））, （17）给出了最终结果。订单流量守恒定律解释了订单簿形状与限额订单到达流量之间的关系。对于高价格，需要区分两种情况。一方面，如果限制订单的总到达率是一个有限的正常数α（例如，当nhλ是[0]上的概率密度函数时+∞), 在这种情况下，跛行→+∞H（p）=Z∞λ（u，t）du=α∈ R*+), 然后，订单bo ok b（p）的形状与归一化极限订单FLOW h（p）之间的比例常数为，p→ +∞,C∞定义为：C∞= 无力的→∞C（p）=1- δgδ（α）1.-δα(1 - gδ（α））< 1.（18）在这种情况下，订单簿的形状为p→ +∞ 与限额订单的正常到达率h（p）成正比，但不相等。取消订单的分位数不倾向于1作为p→ +∞, i、 市场订单在高价格下也起作用。另一方面，在跛行的情况下→+∞H（p）=∞,然后，非常高的价格不是由市场订单达成的，订单的尾部行为就像没有市场订单一样：b（p）~ h（p）asp→ +∞. 我们可以在这里指出，对于执行F（p）=1的可能性，存在一个经验模型- 《麦克与法默》（2008）中的C（p）。在该模型中，它被认为是参数s=1.3的学生分布的互补累积分布函数。因此，随着p的增加，它向0递减-s

然而，在我们的模型中，它是指数递减的，并且，鉴于前面的讨论，与订单簿形状上的现有结果相比，它并不必然倾向于0.3。第2节中所述的模式l属于“零智能”马尔可夫订单簿模型：所有订单流都是独立的泊松过程。虽然非常简单，但事实证明它复制了以往经验和数值研究中获得的b阶形状，我们现在将看到。3.1史密斯等人（2003年）中的数值模拟形状史密斯等人（2003年）、图3a和图3b）中提供了订单形状的第一个结果。这些数据是通过对订单簿模型的数值模拟获得的，该模型与第2节中给出的模型非常相似，其中所有订单流是泊松过程：提交的市场订单是速率uSwithsizeσS，提交的限制订单是以相同的大小，以r ateαSper单价，在一个带有刻度大小dpS的网格上，所有订单都是随机删除的，概率δSper单位时间不变。（我们为所有变量编制了索引，以区别于我们自己的符号）。Smith et al.（2003）中的图3a）和3b）是针对“广义”参数S的不同值得出的∝δSσSuS。可以观察到，当Sgets越大，平均帐面越接近价差，价格越高，帐面越薄。使用我们自己的符号，实际上减少到δ，即极限订单的标准化到达率的倒数。利用Smith等人（2003）的假设，即限价订单以恒定速率αSper单价和单位时间到达，我们在我们的模型中得到λ（p，t）=αs，即H（p）=αSp。在图1中，我们用该H绘制了等式（12）和（10）下订单簿的平均形状和累积形状。

结果表明，当δ发生变化时，我们的基本模型Indeedreproduce精确地给出了Smith等人（2003）的图3a）和3b）。因此，我们能够分析地描述那些仅通过数字获得的形状。在我们的基本模型中，这些形状可以通过不同的市场订单结构直接获得：当市场订单的到达率增加（即增加）时，在所有其他条件相同的情况下，价格较低时，订单簿的平均形状较薄。3.2 Bouchaud et al.（2002）中的经验和分析形状，我们现在再给出两个通过命题1的等式（12）获得的有序bo-ok形状的例子。我们先后考虑了两种非标准化的极限订单到达率强度：o与价格呈指数衰减：h（u）=αβe-βu；o幂律随价格递减：h（u）=α（γ）- 1） （1+u）-γ, γ > 1.第一种情况是Gu等人（2008年）在中国股票上观察到的情况。第二种情况是Bouchaud等人（2002）在一项实证研究中提出的，其中γ≈ 1.5- 1.7. 此外，后一篇论文提供了（据我们所知）之前提出的唯一分析公式，将订单流量和限制订单簿的平均形状联系起来：Bouchaud等人（2002年）通过假设价格过程与扩散常数D不同，从零智能模型推导出一个分析公式，0.51.01.52.02.53.00.20.40.60.81.00.51.01.52.02.53.00.51.01.52.0图1：订单的形状（顶部面板）和累积形状（底部面板）使用方程式（12）和（10）计算，其中h（p）=α，α=8和δ=1（实线），δ=2（虚线），δ=6（圆点），δ=16（虚线）。请注意，结果在史密斯等人（2003）中使用的相同无量纲轴上缩放。图2：我们的模型（黑色曲线）中订单簿的形状与Bouchaud等人提出的公式的比较。

（2002）（红色曲线），三种极限订单到达率，指数（虚线），幂律（虚线）。对于红色曲线，系数D分别为0.30和0.40。它们的平均顺序bo ok，在这里表示为bBP，表示任何p∈ (0, ∞):bBP（p）∝ E-σpZphλ（u）sinh（σu）du+sinh（σp）Z∞phλ（u）e-σudu，（19），其中σ=rD2θ。我们绘制了Bouchaud et al.（2002）之前提到的两种限额指令的标准化到达率的形状。D是我们的模型中唯一不能直接使用的变量。在所有情况下，我们都使用通过数值模拟获得的模型中价格的标准差作为代理。还要注意的是，公式（19）被定义为一个乘法常数，该常数通常（大致）为x，因此我们模型中价格的最大值与公式（19）的最大值近似对应。结果如图2所示，数值如标题所示。结果表明，我们的模型（12）和方程（19）提供了显著相似的订单形状。由于方程式（19）已通过Bouchaud等人（2002年）的经验数据进行了成功测试，图2给出了一个很好的提示，即形状（12）也应提供非常好的经验设置。作为p→ ∞, 这两个公式的形状b（p）随着极限指令h（p）的到达率而减小，这在Bouchaud等人（2002年）中已经观察到，并在第2节中讨论。沙佩斯之间的主要差异出现在s和p之间→ 0

方程（19）规定bBP=0，而结果（12）允许更灵活的行为。为了便于使用，我们使用数值模拟，但也可以使用方程（6）和（7）分析计算模型中价格的标准偏差。b（0）=h（0）1+δ，这个量取决于三种订单流。事实上，BBPDO不直接依赖于市场订单的流动，但只有通过常数D，才可能是这种情况下不同行为的来源。4具有不同大小限制订单的模型我们现在允许在我们的模型中随机大小的限制订单。如第2节所述，westart将基本模型描述为一个排队系统，然后将其扩展到连续价格的情况。让我们回顾一下，我们处理的是单边订单簿模型，即所有限价订单都是ask或DER，所有市场订单都是出价订单的模式lin。设p（t）表示时间t{p（t），t∈ [0 ∈ ∞)} 是离散集合{1，…，K}中有值的连续时间序列，即价格以滴答数表示。就我个人而言∈ 根据参数为λi的泊松过程，{1，…，K}，（ask）限价或限价。这些过程被假定为相互独立的，因此在q和r（包括）之间以价格提交的订单数量是参数为λq的泊松过程→rde定义为λq→r=rXi=qλi。本节的贡献是允许限制订单的随机大小，而不是第2节的基本模型中的单位大小限制订单。我们假设所有极限阶的大小都是独立的随机变量。

我们还假设以给定价格提交的限价订单的大小是相同的分布，但我们允许这种分布随价格而变化。以给定的价格k∈ N*, 让gkn，n∈ N*, 请注意价格为k的限价订单的大小为n的概率。Letgk表示价格为k的限价订单的平均大小，假设为有限。泊松过程的一个众所周知的性质是，价格为i时，大小为n的限制订单的到达率为λigin，因此价格低于或等于tok iskXi=1λigin时，大小为n的限制订单的到达率为λigin。类似地，价格低于或等于k的限价订单大小为n的概率为g1→kn=kXi=1λiλ1→克金。Letg1→k=kXi=1λiλ1→Kgide注：价格高达k的限价订单的平均规模。取消机制不变：账簿中的所有限价订单都可能被取消。然而，请注意，限价单并不是立即取消，而是逐个单位取消（即s hare的份额）。假设在提交限制指令和取消该指令的一部分之间的时间间隔b形成一组相互独立的随机变量，这些随机变量根据参数θ>0的指数分布相同地分布。最后，根据参数u的泊松过程，在随机时间提交（购买）市场订单。所有市场订单均假定为单位规模。与第2节一样，让{L1→k（t），t∈ [0, ∞)} 是表示价格为s1的限价订单数量的随机过程，k在t.L1时刻站在订单簿上→因此，kis是我们模型中订单簿的累积形状。它可以被看作是一个MX/M/1+M排队系统的大小，批量到达λ1→k、 体积分布（g1）→kn）n∈N*, 服务费率u和违约率θ（例如Chaudhry&Templeton（1983年）针对批量到货的排队系统）。

过程L1的初始生成器→基斯这样写道：-λ1→kλ1→kg1→kλ1→kg1→kλ1→kg1→kλ1→kg1→Ku + θ -(λ1→k+u+θ）λ1→kg1→kλ1→kg1→kλ1→kg1→K0 u + 2θ -(λ1→k+u+2θ）λ1→kg1→kλ1→kg1→K0 0 u + 3θ -(λ1→k+u+3θ）λ1→kg1→K.（20） 平稳分布π1→k=（π1）→kn）n∈Nof L1→肯斯满足以下方程组：0 = -λ1→kπ1→k+（u+θ）π1→k、 0=-(λ1→k+u+nθ）π1→kn+（u+（n+1）θ）π1→kn+1+nXi=1λ1→kg1→kiπ1→千牛-i、 （n）≥ 1） ，（21）这可以通过引入概率基因评级函数来解决。让∏1→k（z）=Xn∈Nπ1→knznand G1→k（z）=Xn∈N*g1→knzn。我们也来介绍标准化参数sδ=μθ和ν1→k=λ1→kθ。（22）通过将第n行乘以zn并求和，之前的系统得出以下微分方程：ddz∏1→k（z）+δz- ν1→kH1→k（z）Π1→k（z）=δzπ1→k、 （23）我们在哪里设置了H1→k（z）=1- G1→k（z）1- z、 该方程直接求解得到∏1→k（z）=z-δδπ1→keν1→kRzH1→k（u）duZzvδ-1e-ν1→kRvH1→k（u）dudv，（24）和条件∏1→k（1）=1导致π1→k=δZvδ-1eν1→kRvH1→k（u）dudv-1，（25）通过在通解中替换得到：∏1→k（z）=z-δRzvδ-1eν1→kRzvH1→k（u）dudvRvδ-1eν1→kRvH1→k（u）dudv。（26）现在，回到微分方程（23），然后在nz逐渐趋于1时取极限，并使用概率生成函数（limz）的基本性质→1t<1∏1→k（z）=1，limz→1t<1ddz∏1→k（z）=E[L1→k] 还有林茨→1t<1H1→k（z）=g1→k） ，我们得到了以下命题中所述的结果。提议3。

在单价市场订单泊松到达率为u的离散单边订单模型中，单价为λkat价格k和随机大小分布（gkn）n的限制订单泊松到达∈N*在N上*, 参数为θ的未执行限价订单的指数时间，在价格k之前，订单簿的平均累积价格由以下公式给出：E[L1]→k] =ν1→kg1→K- δ +Zvδ-1eν1→kRvH1→k（u）dudv-1.（27）注意，通过将所有限制指令的大小取为1，即通过设置gk=1和gkn=0，n≥ 如预期的那样，等式（27）简化为第2节的等式（8）。现在，我们介绍一种模型，其中极限阶的大小随参数q呈几何分布∈ （0,1）且独立于价格，即对于任何价格k∈ N*, gkn=（1）-q） n-1q。该规范是经验性的，因为已经观察到指数分布可能是极限订单大小分布的连续近似值（参见Chakra borti et al.，2011）。由于分布与价格无关，那么对于任何价格k∈ N*, g1→kn=（1）- q） n-1q。这直接产生H1→k（z）=1- (1 - q） 通过一些c计算，我们得到：E[L1→k] =ν1→kq- δ+δqν1→k1-qF（δ，-ν1→k1-q、 1+δ，1- q） ，（28）其中F是有序y超计量函数（参见Seaborn，1991年，第2章）。现在，按照第2节中提出的想法，我们考虑一个具有连续价格的订单簿，其中根据强度λ（p，t）=αhλ（p）的空间泊松过程提交的限制订单。回想一下，hλ被假定为具有正支撑的实非负函数，表示到货率的空间强度，即价格区间[p，p]内订单簿中提交的限价订单数量是一个具有rateZppαhλ（u）du的均匀泊松过程的函数。