原子存在时隐含挥发性的左翼渐近性

（25）中的不等式将允许WU估计大罢工的隐含波动率IGF，并且他可以描述隐含波动率IC的左翼行为。假设函数是一个实际函数，其增长速度比log K慢。函数将在以后选择。普泰（K）=√√Tqlog K+~n（K）。然后我们得到了（K，eI（K））=~n（K）√扑通一声K+K（K）和D（K，eI（K））=-2原木K- ~n（K）√扑通一声K+K（K）。因此，CBS（K，eI（K））=Nd（K，eI（K））-千牛d（K，eI（K））= N K（K）√砰砰的一声K+K！-千牛-2原木K- ~n（K）√砰砰的一声，K+а（K）！=A（K）-B（K）。我们的下一个目标是估计（26）年的最后一个学期。我们将使用以下已知的不等式：√2π十、-x（x+1）E-十、≤√2πZ∞xe-伊迪≤√2πxe-x、 （27）存在原子时隐含波动率的左翼渐近性11（27）中的估计来自于[1]，7.1.13中的更强不等式。考虑到（27），我们看到b（K）=KN-2原木K- ~n（K）√砰砰的一声K+K！≤√πplog K+~n（K）2 log K+~n（K）exp-~n（K）4（对数K+~n（K））（28）和B（K）≥√πplog K+~n（K）2 log K+~n（K）exp-~n（K）4（对数K+~n（K））-√π（对数K+K）（2对数K+K）[（2对数K+K）+2对数K+K]exp-~n（K）4（对数K+~n（K））. （29）让我们接下来假设函数φ具有以下形式：φ（K）=Φ（K）plog K，（30），其中Φ是thatlimK→∞Φ（K）=γ。（31）在（31）中，γ是实数。那么我们有0≤扑通一声-扑通一声K+а（K）2原木K+а（K）≤扑通一声“1+Φ（K）扑通一声-s1+Φ（K）砰的一声#≤3Φ（K）16（logk），（32）表示所有K>K。它来自（28）和（32）中的第一个不等式thatB（K）≤√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通), （33）对于所有K>K。请注意(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通)→ 经验-γ作为K→ ∞.12 ARCHIL GULISASHVILITo得到了较低的B（K）估计值，我们观察到√π（对数K+K）（2对数K+K）[（2对数K+K）+2对数K+K]exp-~n（K）4（对数K+~n（K））≤√π（对数K+ν（K））（对数K）=√π1+Φ（K）√日志K（日志K）≤√π“（对数K）+3Φ（K）2（对数K）+3Φ（K）8（对数K）#，K>K。

（34）在（34）的证明中，我们使用了不等式（1+h）≤ 1+h+h，0<h<h。由（29）、（30）、（32）和（34）得出b（K）≥√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通)-“3Φ（K）+4√π（对数K）+3Φ（K）√π（对数K）+3Φ（K）√π（logk）#，对于所有K>K。因此，条件（31）意味着对于每个ε>0，存在一个足够大的数Kε>0，使得对于每个K>Kε，B（K）≥√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通)-3γ+ 4 + ε√π（对数K）。接下来，考虑到（26）、（33）和前面的不等式，我们看到下面的陈述成立。引理14。对于每个ε>0和所有K>Kε，Z（K）≤ 哥伦比亚广播公司（K，eI（K））≤ Z（K）+3γ+4+ε√π（logk），存在原子时隐含波动率的左翼渐近性，其中z（K）=NΦ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K-√πplog Kexp(-Φ（K）对数K对数K+Φ（K）扑通). （35）引理14提供了函数CBS（K，eI（K））的估计值，它比函数CBS（K，eI（K））小一级√记录K。接下来，让我们选择函数Φ，使函数Z满足Z（K）=G（K），根据（35）中的公式，用Φ代替Φ。由（35）可知Φ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K=（英国）-1（G（K））。（36）现在，使用（36）我们看到，为了求Φ（K）的值，我们应该解以下二次方程：plog KΦ（K）-2h（英国）-1（G（K））iΦ（K）-2plog Kh（英国）-1（G（K））i=0。（37）解（37）并考虑（36），我们得到Φ（K）=H（K）plog K，（38），其中他的定义为（23）。接下来，我们将检查（38）定义的函数Φ是否可接受，也就是说，条件（31）适用于Φ。回想一下Z（K）=G（K），因此（6）给出了slimk→∞Z（K）=mT。它源于函数Z的定义（见（35））thatlimK→∞NΦ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K= 苏斯利姆山→∞Φ（K）扑通一声√qlog K+Φ（K）plog K=N-1（公吨）。（39）14 ARCHIL GULISASHVILIIt不难看出Φ是一个有界函数。实际上，（39）意味着|Φ（K）| plog K√qlog K+Φ（K）plog K<M，其中M为正常数。

因此√2M<sΦ（K）+Φ（K）plog K，因此函数Φ对于K的大值是有界的。现在，使用（39），我们看到thatlimK→∞Φ（K）=√2N-1（mT），因此γ=√2N-1（mT），其中γ是函数Φ在（31）中出现的常数。它由引理14和等式Z（K）=G（K）得出，即cbs（K，IG（K））≤ CBS（K，eI（K）），其中eI（K）=√√Tqlog K+H（K）、（40）和H（K）由（23）给出。因此，IG（K）≤eI（K），K>K.（41）为了得到较低的IG估计值，我们将进行类似的推理。这里唯一的区别是，我们将方程Z（K）=G（K）替换为方程Z2，ε（K）=eGε（K），其中eGε由（21）定义，ε>0是固定的，而Z2，ε是一个函数，如（35），但用未知函数Φ2，ε代替函数Φ。接下来，我们可以证明Φ2，ε（K）=H2，ε（K）plog K，其中函数H2，ε由（24）给出。此外，函数Φ2，ε对于K和limk的大值是有界的→∞Φ2，ε（K）=√2N-1（公吨）。因此γ=√2N-1（mT），其中γ是函数Φ2ε在（31）中出现的常数。存在原子时隐含波动率的左翼渐近性15 let us seteI2，ε（K）=√√Tqlog K+H2，ε（K），（42），其中H2，ε（K）由（24）给出。由此得出cbs（K，eI2，ε（K））≤ CBS（K，IG（K））和henceeI2，ε（K）≤ IG（K），K>K1，ε。（43）很明显，orem 13中的公式（22）来自（5）、（40）、（41）、（42）和（43）。这就完成了定理13的证明。接下来，我们将估计隐含波动率ICin公式（22）的上下估计值之间的差异。

首先，请注意，由于函数Φ最终有界，公式（36）显示函数k7→ （英国）-1（G（K））也是最终有界的。类似地，函数k7→ （英国）-1（如ε（K））最终有界。根据（23）和（24），函数k7→ |H（K）|和K 7→ |H2，ε（K）|相当于函数Plog K近单位。因此，qlog K+H（K）-qlog K+H2，ε（K）=H（K）- H2，ε（K）plog K+H（K）+plog K+H2，ε（K）=OH（K）- H2，ε（K）plog K！，（44）作为K→ ∞.估计差值H（K）- H2，ε（K），我们观察到函数（UK）-1在区间的每个适当子区间上都有Lipschitz（英国）(-√1）Lipschitz常数在每一个这样的区间上独立于K。现在，不难看出，使用（21）、（23）和（24）thatH（K）- H2，ε（K）=Oplog K[eGε（K）-G（K）]= O日志K作为K→ ∞. 接下来，通过考虑（44），我们得到qlog K+H（K）-qlog K+H2，ε（K）=O（日志K）-（45）作为K→ ∞.16阿奇尔·古利萨什维利瑟雷姆15。以下公式适用于隐含波动率IC（K）作为K→ 0:IC（K）=√√TslogK+HK+ O条件稳定常数-!. （46）在（46）中，其功能由（23）定义。定理15来自定理13和（45）。备注16。注意，公式（46）中的O估计取决于ε。更准确地说，公式（46）应理解为：。在ε>0之前，存在cε>0和Kε>0，使得≤ IC（K）-√√TslogK+HK≤ cε条件稳定常数-对于所有0<K<Kε。定理证明7（续）。扩展函数x7→√1+x接近于零，我们得到√1+x=1+x-x+x+O（x）（47）作为x→ 现在，使用（47）和函数k7→ |H（K）|像对数K一样增长，我们看到qlog K+H（K）=plog Ks1+H（K）log K=plog K+H（K）2（log K）-H（K）8（对数K）+H（K）16（对数K）+O（日志K）-（48）存在ATOMS17as K时隐含波动率的左翼渐近性→ ∞.

此外，（23）和（47）表示h（K）=h（英国）-1（G（K））i+√普洛克（英国）-1（G（K））s1+[（英国）-1（G（K））]2对数K=√2（英国）-1（G（K））plog K+h（英国）-1（G（K））i+√（英国）-1（G（K））扑通一声K+O（日志K）-（49）作为K→ ∞. 接下来，结合（48）和（49），我们可以看到thatqlog K+H（K）=（log K）+√（英国）-1（克（克））+（英国）-1（G（K））2（对数K）+√（英国）-1（G（K））8原木K-（英国）-1（G（K））4（对数K）-√（英国）-1（G（K））4原木K+√（英国）-1（G（K））8原木K+O（日志K）-= （日志K）+√（英国）-1（G（K））+（英国）-1（G（K））（日志K）-+ O（日志K）-（50）作为K→ ∞. 现在，（17）是（46）和（50）的后续。这就完成了定理的证明。3.推论在本节中，我们将解释如何从我们的公式（17）中推导出由De Marco、Hillairet和Jacquier引起的隐含波动率左翼的渐近公式。注意，公式（17）对微小的变化都非常敏感。这种变化往往会产生O阶错误（日志K）-作为K→ 0.下一个语句本质上是在定理3中得到的结果。[8]中的7.18.阿基尔·古利萨什维利17。让x>0。ThenIC（K）=√√TlogxK+N-1（公吨）√T+√2N-1（公吨）√TlogxK-+ ΦxK. （51）在（51）中，函数Φ满足以下条件：lim supu→∞Φ（u）ψ（u）≤ 1，式中ψ（u）=√√T（对数u）-+√2π√特克斯N-1（公吨）ψ（u）。（52）证据。我们的第一个目标是替换这个表达（英国）-1（G（K））通过表达式N-1（mT），并估计误差。为了简短起见，我们把τ（K）=（UK）-1（G（K））-N-1（公吨）。（53）引理18。让x>0。那么下面的渐近公式是有效的→ 0:IC（K）=√√TlogxK+N-1（公吨）√T+√2N-1（公吨）√TlogxK-+ ηxK+ OlogxK-,式中η（u）=τ（u）√T+√2N-1（mT）τ（u）+τ（u）√T（对数u）-,τ由（53）定义。引理18来自定理7和（53）。下一个引理提供了函数τ的估计。引理19。以下公式适用：林素福→∞τ（K）ψ（K）≤ 1，其中函数ψ由（52）给出。存在原子的隐含波动率的左翼渐近性。

首先假设N-1（公吨）≥ 0.该假设等同于以下假设：≤ mT<1。然后，使用（13），我们可以看到N-1（公吨）≤ x<∞, 我们没有（x）-pπlog Kexp-N-1（公吨）≤ 英国（x）≤ N（x）。因此，对于y∈ [mT，1），N-1（y）≤ （英国）-1（y）≤ N-1y+pπ对数Kexp-N-1（公吨）!（54）安-1（G（K））≤ （英国）-1（G（K））≤ N-1G（K）+pπlog Kexp-N-1（公吨）!.辛森-1（y）′=N′（N）-1（y））=√2πexpN-1（y）,中值定理意味着（英国）-1（G（K））=N-式中，T（K），（G）0≤ T（K）≤√plog Kexp-N-1（公吨）经验N-1G（K）+√πplog Kexp-N-1（公吨）!.接下来，使用（6）和（7），我们看到对于e非常ε>0，存在Kε>0，这样t（K）≤√plog K（1+ε）。（56）此外，（6），（7），中值定理暗示-1（G（K））=N-1（mT）+ρ（K），（57），其中函数ρ为正且满足以下条件：ρ（K）≤√2πψ（K）expN-1（mT）+ε. （58）20 ARCHIL Gulisashvilunet，考虑公式（55）-（58），我们看到引理19在这个条件下成立≤ mT<1。在0<mT<的情况下，它仍然是p-rove引理19。前面的条件表示N-1（mT）<0。修正δ>0，例如N-1（mT+δ）<0。此外，fix K非常大，以至于以下不等式成立：-√扑通一声-1（G（K）），（59）N-1（G（K）+δ）<0，（60）和pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）< δ. （61）接下来，考虑到（59），我们假设-√扑通一声≤ 十、≤ N-1（G（K）+δ）。然后，使用（60），我们得到n（x）-pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）≤ 英国（x）≤ N（x）。此外，N-1（y）≤ （英国）-1（y）≤ N-1y+pπ对数Kexp-N-1（G（K）+δ）!,前提是(-√（扑通一声）≤ Y≤ G（K）+δ-pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）.从（59）和（61）可以看出，数字y=G（K）满足之前的条件。因此，N-1（G（K））≤ （英国）-1（G（K））≤ N-1G（K）+pπlog Kexp-N-1（G（K）+δ）!.

（62）此外，（62）和中值定理暗示，对于K>Kδ，0≤ T（K）≤√plog Kexp{V（K，δ）}，存在原子时隐含波动率的左翼渐近性，其中T（K）由（55）确定，且V（K，δ）=N-1G（K）+√πplog Kexp-N（G（K）+δ）!-N-1（G（K）+δ）。很容易看出这一点→0limK→∞V（K，δ）=0。因此，对于每一个ε>0，都存在Kε>0，使得（56）中的不等式适用于所有K>Kε。现在，在0<mT<的情况下，引理19的证明可以和在≤ mT<1。最后，不难看出推论17来自引理18和引理19。假设x=1，0<K<1。接下来我们将比较数字英国-1（mt）和N-1（mT）分别出现在滚动公式9和De Marco Hillairet-Jacquier公式（51）中。回想一下，如果≤ mT<1，则数字英国-1（mT）定义为所有0<K<1。另一方面，如果0<mT<，则英国-1（mT）在附加限制UK下定义-√rlogK！<mT.很明显，如果<mT<1，那么英国-1（mT）和N-1（mT）是所有0<K<1的正数。如果mT=，那么我们有英国-1（mT）>0和N-1（mT）=0。剩下的案件-√rlogK！<mT<（63）很有趣。在本例中，数字N-1（mT）是负数，而数字的符号英国-1（mT）可以是正的，也可以是负的。我们接下来将澄清之前的声明。引理20。假设条件（63）成立。那么以下是正确的：22阿奇尔·古利萨什维利（1）让数字K<1-√πqlogK<mT<。然后英国-1（mT）>0。（2） 设K<1为-√πqlogK=mT.那么英国-1（mT）=0。（3） 让数字K<1为UK-√rlogK！<mT<-√πqlogK。然后英国-1（mT）<0。备注21。

请注意，在Lemma20第（1）部分中描述的情况下英国-1（mT）和N-1（mT）有相反的符号。艾玛20的证明很简单，我们留给读者作为练习。下一个断言描述了差异的限制行为英国-1（公吨）- N-1（公吨）。定理22。设0<mT<1。特林克→0√罗格英国-1（公吨）- N-1（公吨）= 1.（64）备注23。对于0<mT<，表达式英国-1（mT）存在干扰素-√rlogK！<mT（65）（见公式（15））。请注意，对于每一个0<mT<的固定mT，条件（65）适用于足够小的K值。这一解释表明我们应该理解0<mT<的公式（64）。存在原子时隐含波动率的左翼渐近性23定理的证明22。认为≤ mT<1和setAK=英国-1（mT），A=N-1（mT）、（66）和BK=N-1.mT+qπlogKexp-A.. （67）引理24。对于所有0<K<1，√qlogK+BK≤ AK- A.≤√qlogK+Aexp（黑色）- A） ，其中A、AK和bk由（66）和（67）给出。引理24的证明。利用中值定理，我们可以看到- A=mT-UK（A）U′K（θ），（68），其中A<θ<AK。它源自（68）thaak- A=√qlogK+θexpθ- A.. （69）现在，引理24中的估计值来自（54）和（69）。让我们继续证明定理22。引理24意味着√qlogK+A√qlogK+BK≤ （AK）- A） \"√rlogK+A#≤ 实验（BK）- A） 。（70）自BK以来→ A作为K→ 0，公式（64）遵循（70）。定理证明22的剩余部分类似于引理19的第二部分。让我们假设0<mT<。那么我们有-1（mT）<0。修正δ>0，使n-1（mT+δ）<0，（71）24阿尔奇·古利萨什维利，假设K<1-√rlogK<N-1（mT）（72）和√πqlogKexp-N-1（mT+δ）< δ. （73）让-√罗格≤ 十、≤ N-1（mT+δ）。（74）那么我们没有（x）-√πqlogKexp-N-1（mT+δ）≤ 英国（x）≤ N（x）。（75）因此，N-1（y）≤英国-1（y）≤ N-1.y+qπlogKexp-N-1（mT+δ）,前提是-√rlogK！<y<mT+δ-qπlogKexp-N-1（mT+δ）.由于之前的估计值适用于数字y=mT，因此我们有a<AK<BK，δ。

这里A和A由（66）和bk定义，δ=N-1.mT+qπlogKexp-N-1（mT+δ）.接下来，使用（71）和（74），我们得到A<AK<BK，δ<0。它由（69）和不等式A<θ<BK，δ<0得出√qlogK+BK，δexp（BK，δ- （A）≤ AK- A.≤√qlogK+A.存在原子时隐含波动率的左翼渐近性25最后，不难看出，0<mT<的公式（64）可以从之前的估计和等式limk中推导出来→0BK，δ=A。备注25。定理22解释了为什么De MarcoHillairet-Jacquier公式中的误差项比公式（20）中的误差项更差。CEV模型恒定方差弹性模型（CEV模型）由以下随机微分方程描述：dSt=σSρtdWt，其中0<ρ<1，σ>0，S=S。如果≤ ρ<1，则x=0处的边界是自然吸收的，而对于0<ρ<，则采用吸收边界条件。CEV模型由J.C.Cox在[6]中介绍（另见[7]）。关于CEV模型的有用信息，包括下面给出的一些结果，可以在[5]中找到。在金融行业中，CEV过程用于对股票和商品的现货价格进行建模（例如，参见[9,11]及其参考文献）。修正T>0。那么我们有mt=1-Γ2(1 - ρ） ，s2（1）-ρ） 2Tσ（1）- ρ)!. （76）此外，1uTof STI分布的绝对连续部分的密度如下：eDT（x）=cx-2ρexp(-x2（1）-ρ） 2Tσ（1）- ρ） ）我-νs1-ρx1-ρTσ（1）- ρ)!. （77）在（76）中，Γ是由Γ（a，y）=Γ（a）Zyta给出的归一化不完全伽马函数-1e-tdt，a>0，y≥ 0，而在（77）中，参数ν由ν=-2(1-ρ） ，功能-ν是第一类修正贝塞尔函数，常数由c=sTσ（1）给出- ρ） 经验(-s2（1）-ρ） 2Tσ（1）- ρ） 26.ARCHIL Gulisashvilit被称为x→ 0，Iα（x）~Γ(α + 1)十、α对于所有α6=-1.-2, ···.

因此，从（77）可以看出→ 0，美国东部夏令时（x）~■cx1- 2ρ，（78），式中c=sTσ（1）- ρ） [2Tσ（1）-ρ)]2(1-ρ)Γ3.- 2ρ2(1-ρ)经验-2Tσ（1）-ρ). （79）现在，考虑到（78）和（79），我们认为这是K→ 0，ZKdeuT（x）~~c2（1）- ρ） K2（1）-ρ).因此，条件（18）成立。最后，应用推论9，我们得出以下结论。推论26。公式（20）和（77）给出的MTV适用于CEV模型中的隐含可用性。备注27。与推论26类似，除了CEV模型之外，还可以为许多其他模型建立命题，例如跳转到默认模型，以及在第一次击中零时停止的过程所描述的模型。要将推论9应用于原子模型，我们只需要知道Mt的值，并估计资产价格密度接近零的衰减率。[8]中提供了上述一些模型的此类信息。5.数值本节中的图表说明了两个渐近公式的性能，提供了CE V模型中隐含波动率左翼的近似值：De MarcoHillairet-Jacquier公式和本文中建立的公式（20）。图1和图2中的CEV参数值选择如下：s=0。05，T=1.2，β=0.6，a n dσ=0.2。在前面的假设下，质量在零处的值mt大约等于0.0707。存在原子时隐含波动率的左翼渐近性27-30-25-20-15-10-50.900.951.001.051.101.151.20真smileDMHJ近似值2项近似值完整近似值图1。公式（20）和De Marco Hillairet-Jacquier近似（mT=0.0707）中的标准化隐含波动率。-30-25-20-15-10-5.-0.020.000.020.040.060.080.10DMHJ近似2项近似完整近似图2。