原子存在时隐含挥发性的左翼渐近性

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英文标题：
《Left-wing asymptotics of the implied volatility in the presence of atoms》
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作者：
Archil Gulisashvili
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We consider the asymptotic behavior of the implied volatility in stochastic asset price models with atoms. In such models, the asset price distribution has a singular component at zero. Examples of models with atoms include the constant elasticity of variance model, jump-to-default models, and stochastic models described by processes stopped at the first hitting time of zero. For models with atoms, the behavior of the implied volatility at large strikes is similar to that in models without atoms. On the other hand, the behavior of the implied volatility at small strikes is influenced significantly by the atom at zero. S. De Marco, C. Hillairet, and A. Jacquier found an asymptotic formula for the implied volatility at small strikes with two terms and also provided an incomplete description of the third term. In the present paper, we obtain a new asymptotic formula for the left wing of the implied volatility, which is qualitatively different from the De Marco-Hillairet-Jacquier formula. The new formula contains three explicit terms and an error estimate. We show how to derive the De Marco-Hillairet-Jacquier formula from our formula, and compare the performance of the two formulas in the case of the CEV model. The resulting graphs show that the new formula provides a notably better approximation to the smile in the CEV model than the De Marco-Hillairet-Jacquier formula.
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中文摘要：
我们考虑了原子随机资产价格模型中隐含波动率的渐近行为。在这样的模型中，资产价格分布在零处有一个奇异分量。原子模型的例子包括恒定弹性方差模型、跳转到默认模型，以及在第一次达到零时停止的过程所描述的随机模型。对于有原子的模型，隐含波动率在大冲击下的行为与没有原子的模型相似。另一方面，小冲击下隐含波动率的行为受到零原子的显著影响。S.De Marco、C.Hillairet和A.Jacquier发现了两项小规模冲击下隐含波动率的渐近公式，并提供了第三项的不完整描述。在本文中，我们得到了隐含波动率左翼的一个新的渐近公式，它与De Marco Hillairet-Jacquier公式在性质上不同。新公式包含三个显式项和一个误差估计。我们展示了如何从我们的公式推导出De Marco Hillairet-Jacquier公式，并在CEV模型的情况下比较了这两个公式的性能。结果图显示，新公式比De Marco Hillairet-Jacquier公式更接近CEV模型中的微笑。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Left-wing_asymptotics_of_the_implied_volatility_in_the_presence_of_atoms.pdf (271.9 KB)

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关键词：Quantitative distribution Description performance QUANTITATIV

存在原子体系GULISASHVILIABSTRACT时隐含挥发性的左翼渐近性。我们考虑了原子随机资产价格模型中隐含效用的渐近行为。在这样的模型中，资产价格分布有一个奇异分量为零。原子模型的例子包括恒定弹性方差模型、跳转到默认模型，以及在第一次命中时间为零时停止的过程所描述的随机模型。对于有原子的模型，大冲击下隐含波动率的行为与无原子的模型相似。另一方面，零时的原子会显著影响小罢工时隐含波动率的行为。S.De Marco、C.Hillairet和A.Jacquier发现了两项小冲击下隐含波动率的渐近公式，并且还提供了第三项的不完整描述。在本文中，我们得到了隐含波动率左翼的一个新的渐近公式，它与De Marco Hillairet-Jacquier公式在性质上不同。新公式包含三个显式项和一个误差估计。我们展示了如何从我们的公式推导出De Marco Hillairet-Jacquier公式，并在CEV模型的情况下比较了这两个公式的性能。由此产生的图表显示，新公式比德马尔科·希莱雷特·贾奎尔公式更接近CEV模型中的微笑。1.引言在过去十年中，发现了几个重要的无模型公式，描述了极端冲击下隐含波动率的渐近行为。这里我们只提到R.Lee的动量公式（见[15]）、s.Benaim和P.Friz的尾翼公式（见[2,3]，也见[4]）、作者建立的误差估计的渐近公式（见[13,14]）以及K。

高和R.李（见[10]）。我们请感兴趣的读者阅读作者的书[12]，以了解更多信息。作者感谢Antoine Jacquier和Stefano De Marco阅读了这篇文章并发表了宝贵的评论。作者还感谢Antoine Jacquierf提供了本文最后一节中包含的图表。2 ARCHIL Gulisashvilith目前的作品受到S.De Marco、C.Hillairet和A.Jacquier的论文[8]的启发。[8]的作者在sset价格分布有一个原子为零的情况下，获得了关于小冲击下隐含波动率渐近行为的有趣结果（见[8]中的定理3.7）。此类模型的特殊示例包括方差的恒定弹性模型、跳转到默认模型，以及由在第一次命中时间为零时停止的过程描述的随机模型（更多信息可在[8]中找到）。不难看出，在有原子和无原子的模型中，隐含波动率的右翼行为是相似的。因此，在[12]的第9章中讨论的在最大利率下隐含波动率的一般无模型渐近公式可用于含原子的随机资产价格模型。然而，在有原子和无原子的模型中，隐含波动率的左翼行为在性质上是不同的。这一事实在[8]中得到了注意和探讨。[8]表明，推论9中的一般公式。[12]中的31描述了隐含效用在看跌定价函数方面的左翼行为，适用于带有原子的资产价格模型（见下面的公式（9））。

对于此类模型，上述公式仅提供隐含波动率渐近展开的前导项和误差估计。[8]的作者发现了一个更精确的渐近公式，描述了原子模型中隐含波动率的左翼行为（见下面的公式（11））。请注意，在[12]的第9.9节中，未考虑零原子对隐含波动率的左翼渐近性的影响。这一遗漏导致了对CEV模型中小冲击时隐含波动率的渐近行为的错误描述（见定理11中的公式（11.22））。[12]中的5。上述公式（11.22）只考虑了资产价格分布的绝对连续部分，而忽略了零原子的影响。在本文中，我们建立了原子模型中小冲击下隐含波动率的新的渐近公式（见下面的公式（17）、（19）和（20））。这些公式包含隐含波动率的渐近展开和误差估计的三个显式表达式。注意，在[8]中发现的渐近公式包含两项，并且只提供了关于第三项的不完整信息。此外，新公式与De Marco Hillairet-Jacquer公式之间存在质的差异。在新公式中，我们使用了与走向相关的函数的反函数，而[8]中使用了累积标准正态分布函数的反函数。

本文第5节显示了原子3存在时隐含波动率的数值左翼渐近性，公式（20）比De MarcoHillairet-Jacquier公式更接近恒定方差弹性模型中隐含波动率的左翼。我们的下一个目标是介绍几个已知的对象，这些对象将在本文的其余部分中使用，然后阐述我们的ma in结果。资产价格将由过滤概率空间上定义的非负鞅建模(Ohm, F、 {Ft}，P）。过程X的初始条件用X表示，并且假设X是一个正数。还假设利率等于零。在序列中，符号C和P代表与价格过程X相关的赎回和卖出定价函数。这些函数定义如下：C（T，K）=E（XT）-（K）+P（T，K）=E（K）- XT）+.在前面的公式中，K是履约价格，T是价格。隐含波动率ICis为函数，满足以下条件：CBS（T，K，IC（T，K））=C（T，K）。（1） （1）左侧的表达式是Black-Scholes模型中的看涨期权定价函数，具有波动性参数eq ua lto IC（T，K）。函数cbs由cbs（T，K，σ）=xN（d（T，K，σ））定义-KN（d（T，K，σ）），（2），其中N是标准正态累积分布函数，即函数N（x）=√2πZx-∞E-伊迪。函数和din（2）由比亚迪（T，K，σ）=对数x定义-对数K+σTσ√Tandd（T，K，σ）=对数x-日志K-σTσ√T.备注1。在整个过程中，假设所有T>0和K的C（T，K）>0≥ x、 此外，我们假设所有T>0和K<x的P（T，K）>0。

之前的第一项限制保证了IC（K）适用于所有K≥ x、 而在第二个限制条件下，所有K<1的波动率IC（K）都存在（更多细节见[12]4第9.1节）。ARCHIL GULISASHVILIRemark 2。到期日T>0将在整篇论文中确定。为了简化表示法，我们将在函数C和类似函数中抑制符号T。备注3。在证明本文所得结果时，我们通常假定x=1。很容易理解为什么这个假设不限制基因的稳定性。事实上，让我们定义一个newstochastic流程byeX=x-1X，分别表示相应的callpricing函数和隐含波动率byeC和iec。那么，不难看出C（K）=xeC十、-1K. 此外，同样的公式适用于Black Sholes调用定价函数，即ndthereforeIC（K）=IeC十、-1K. （3） 由于processeX hasex=1是其初始条件，公式（3）允许我们在x=1限制下的隐含可用性的渐近公式和一般情况下的类似公式之间导航。设T>0，x=1，设置mT=P（XT=0）。如果每T>0，我们就有mT=0，那么函数G由G（T，K）=KP定义T、 K-1.（4） 是一个通话定价函数（见[12]）。函数G在隐含波动率的左翼和右翼渐近之间起着联系的作用（见[12]）。现在，假设对于某些T>0，0<mT<1。让我们来了解一下这种爱好，并考虑一下罢工价格的C、P和ICas功能。注意，对于带有原子的模型，由（4）给出的函数G不是一个调用定价函数。实际上，函数G不满足条件G（K）→ 0作为K→ ∞. 然而，函数G具有调用定价函数的许多特性。

例如，不难看出，布莱克-斯科尔斯暗示波动率对所有K都存在≥ 1（见备注1），此外，IC（K）=IGK-1.（5） 对于0<K的所有K≤ 1.我们还有g（K）=mT+ψ（K），（6），其中ψ是一个正函数，使得ψ（K）→ 0作为K→ ∞. （7） 存在原子时隐含波动率的左翼渐近性（6）和（7）的证明很简单。根据看跌期权定价函数的定义，g（K）=mT+“Z 1KdeuT（x）- KZ 1KxdeuT（x）#，其中eu是x在开放半直线（0，∞). 因此，ψ（K）=z1kdeuT（x）- KZ 1KxdeuT（x）≤z1kdeuT（x）。（8） 现在很清楚（8）意味着（6）。最后，原子资产价格模型的等式（5）的证明与[12]中的Lemma 9.23的证明相同。备注4。我们用ptandepton表示随机变量XTon[0]的累积分布函数，∞) 和（0，∞), 分别地这些函数由pt（u）=uT（[0，u]）和pt（u）=euT（[0，u]）给出。很明显，pt（K）=mT+ZKdeuT（x），0<K<∞,epT（K）=ZKdeuT（x），0<K<∞.我们已经在推论9中提到了渐近公式。31英寸[12]。这个公式如下：IC（K）=√√T“slogP（K）-slogKP（K）#+OlogKP（K）-log logKP（K）！（9） 作为K→ 0.使用中值定理和公式P（K）=KmT+KψK-1.,对于较小的K值（前面的公式来自（4）和（6）），我们得到（K）=√√TrlogK+O（1）（10）作为K→ 这意味着，在原子存在的情况下，（9）中给出的一般公式仅提供了隐含波动率接近零的渐近展开的前导项。（10）中给出的6 ARCHIL Gulisashvilile项的表达式也可以从Le e的动量公式中预测（见[15]）。事实上，对于带有原子的模型，资产价格分布的所有负序动量都是XTexplode。接下来，我们将对[8]的主要结果进行公式化，使其适应我们的符号。

假设存在ε>0，使得ept（u）=O（uε）为u→ 0.ThenIC（K）=√√TrlogK+N-1（公吨）√T+√2N-1（公吨）√TqlogK+Φ（K）（11）作为K→ 0.在（11）中，符号N-1代表标准正态累积分布函数N的反函数。此外，（11）中的函数Φ满足订单的特殊估计条件稳定常数-作为K→ 0（详见[8]中的定理3.7）。请注意√2N-（11）中的1（mt）qlogK（12）并不是渐近展开式中的第三项，因为（12）中的表达式和函数Φ（K）作为K之间存在相互作用→ 0.在下面的定理7和推论9中，我们提供了三项隐含波动率的渐近公式和O阶误差估计条件稳定常数-作为K→ 0.我们方法的主要新颖之处在于，函数N-1利用信息公式（11），我们得到了一系列与走向相关的反函数（英国）-1，K>1，其中uk（x）=N（x）-√π扑通-x、 x∈ R.（13）很容易看出，对于每K>1，函数UK在区间上严格递增[-√扑通一声，∞) （区别对待！），还有Moreimx→-∞UK（x）=0和limx→∞英国（x）=1。存在原子时隐含波动率的左翼渐近7根据上述推理，逆函数（UK）-1在英国所有人都存在(-√（扑通一声）≤ y<1，（14）在区间[UK]上严格增加(-√plog K），1），并将该间隔映射到该间隔上[-√扑通一声，∞).备注5。请注意（英国）-1（y）为所有y而存在(-√（扑通一声）≤ y<1，（15）因此，（英国）-1（y）代表所有y与≤ y<1。另一方面，如果0<y<，那么我们必须假设条件（14）成立。根据Remark5（英国）-1（mT）是为所有K>1定义的，前提是≤ mT<1。此外，如果0<mT<，则（英国）-1（mT）是根据以下限制定义的：英国(-√（扑通一声）≤ 山。

（16） 注意，给定mT，存在SEK>1，这样（16）适用于allK>eK，而且0<mT≤ G（K）<1。因此，对于所有K>eK，我们可以通过反转函数UK来求解方程UK（x）=G（K）和UK（x）=mt。下一个引理很简单，我们省略了证明。引理6。假设K>1，假设y满足（15）。然后是不平等（英国）-1（y）>0当且仅当大于-√πplog K.接下来的两个陈述是本文的主要结果。定理7。让x>0。下面的渐近公式适用于上述资产价格模型中的隐含波动率IC（K）：IC（K）=√√TlogxK+√TUxK-1.GxK+√√TUxK-1.GxKlogxK-+ OlogxK-（17） 作为K→ 0.8阿奇尔·古利萨什维尔8。设x>0，假设随机变量x等于ept（K）=O条件稳定常数-!（18） 作为K→ 0.ThenIC（K）=√√TlogxK+√TUxK-1.pTKx+√√TUxK-1.pTKxlogxK-+ OlogxK-（19） 作为K→ 0.推论9。设x>0，并假设随机变量满足条件（18）。ThenIC（K）=√√TlogxK+√TUxK-1（公吨）+√√TUxK-1（公吨）logxK-+ OlogxK-（20） 作为K→ 0.不难看出推论9来自定理7、Remark4、公式（6）和（8）以及中值定理。备注10。有趣的是，在公式（17）和（20）中，顺序项（logk）-他缺席了。这是因为在定理7的证明中，当我们结合公式（48）和（49）时，会出现某些取消。备注11。在公式中，只考虑原子的质量分布（参见公式中的公式）。备注12。比较De Marco Hillairet-Jacquier公式（11）和我们的公式（20），我们注意到两个主要区别。

首先，公式（20）包含以下表达式：UxK-1（mT），而不是存在原子9n时隐含波动率的左翼渐近-1（mT）出现在公式（11）中。另一方面，（11）中的函数Φ满足Φ（K）=OlogxK-作为K→ 0，而（20）中的错误项是OlogxK-作为K→ 0.我们将在第2节中证明定理7，而在第3节中，我们将从我们的定理7中推导出德马尔科·希尔莱特·贾奎尔公式。此外，在第3节中，我们给出了差异的估计UxK-1（公吨）-N-小规模罢工1（公吨）。第4节讨论了CE V模型中隐含波动性的左翼行为。最后，在论文的最后一节（第5节），我们比较了两个公式的性能，提供了CEV模型中小冲击时隐含波动率的近似值：本文中的De Marco Hillairet-Jacquier公式和推论9中的公式。2.定理7的证明我们已经提到，在x=1的情况下证明定理是足够的。对于每一个小数值ε>0，seteGε（K）=G（K）+3N-1（mT）+2+ε√π（对数K）。（21）以下断言提供了隐含波动率的双边估计。定理13。设ε>0。然后存在Kε>0，使得√√TslogK+H2，εK≤ IC（K）≤√√TslogK+HK（22）对于所有0<K<Kε。在（22）中，函数Hand H2，ε定义如下：H（K）=H（UK）-1（G（K））i+（英国）-1（G（K））q[（英国）-1（G（K））]+2对数K（23）10阿奇尔·古利萨什维利安DH2，ε（K）=h（英国）-1（例如ε（K））i+（英国）-1（例如ε（K））rh（英国）-1（例如ε（K））i+2 log K.（24）定理的证明13。我们的第一个目标是找到满足以下条件的两个函数：CBS（K，eI（K））≤ G（K）≤ CBS（K，eI（K））（25）表示足够大的K值。