基于拟凹的风险和模糊规避投资组合优化

因此，引理1对[32,33]中的相应证明进行了微小的修改。为完整起见，详情见附录。我们注意到，辅助问题也可能被视为P下的效用最大化，对应于随机效用函数＠U（x）=ZTU（x），并参考其他[18]以获得替代参数。对于uZ（x）<∞,见第7.4.2页关于最优投资策略存在性的证明的讨论。该证明首先建立了目标函数的上半连续性和准凹性。然后，通过使用Komlos类型的参数来证明o优化的存在。定理1的证明。对于G（·，t）是c凸的情况，我们参考[47]中的引理4.7。请注意，X上的优化∈ X（X）可以被集合C（X）上的优化所取代：={g∈ L+（英尺）：g≤ XT，X∈ 随机变量的X（X）}。也就是说，u（x）=supg∈C（x）infQ∈QGQ、 情商UG. （22）由于假设（13），uQ（x）<∞, Q∈ Q、 （参见[48]中的引理3.5），引理1适用。因此，{U+（f）}，f∈ C（x）是Q-UI，Q∈ 结合Fatou引理对负U部分的应用-（f） ，这就产生了g→ 等式[U（g）]，g∈ C（x）对于Q是上半连续的∈ Q.因为G（Z，·）也是上半连续的，u.s.c.泛函的极限点是againu。s、 因此，映射→ V（g）：=infQ∈QGQ、 等式[U（g）], G∈ C（x），（23）也是上半连续的。此外，作为g→ E[ZU（f）]是凹的，G（Z，·）是拟线性的，而拟凹泛函的点态也是拟凹的，因此G→ V（g）是拟凹。

更准确地说，半连续性和准凹性可以用下面的方法来论证。自从t→ G（q，t）是非递减且右连续的，根据[11]中的命题B.2，G（q，t）成立≥ m当且仅当t≥ G(-1，l）（q，m），其中左逆由G给出(-1，l）（q，m）=inf{n∈ R:G（q，m）≥ n} 。因此，以下结论成立：ng∈ C（x）：Gq、 胡（g），齐≥ mo=ng∈ C（x）：总部，U（g）i≥ G(-1，l）（q，m）o.（24）这个水平集自g以来是闭的和凸的→ 总部，U（g）i，g∈ C（x），q∈ Q、 根据上面的描述，是凹面和半连续的。然后，反过来，设置∈ C（x）：V（g）≥ mo=∩Q∈Qng∈ C（x）：Gq、 胡（g），齐≥ mo是封闭的，凸的，因此，g→ V（g）是上半连续的拟凹。优化器的存在现在遵循一个标准的Komlos类型参数。实际上，设（gn）是C（x）中的一个序列，使得V（gn）u（x）。自从每一次≥ 0，Komlos引理给出gn∈conv（gn，gn+1，…）将P-a.s.收敛到某个g.因为C（x）是凸的，~gn∈ C（x）。此外，根据[32]中的命题3.1，C（x）在陆上收敛时是封闭的，因此，g∈ C（x）。其次，由于g的拟凹性→ V（g）表示V（~gn）=VXk≥nλkgk≥ infk≥nV（gk）=V（gn）。自V（~gn）≤ 因此，它遵循limn→∞V（~gn）=u（x）；也就是说，gni是一个优化序列。然后，g的上半连续性→ V（g）产生V（g）≥ 林尚→∞V（~gn）=u（x），这是证明的结论。4.3对偶结果的证明对于定理2的证明，请注意，由于G（Z，·）是非递减的，它紧跟在u（x）之后≤ infQ∈QGQ、 uQ（x）≤ infQ∈QGQ、 vQ（y）+xy= v（y；x），表示所有y>0。（25）通过分别使用Sion的极小极大定理和引理1，证明了不等式实际上是等式。定理2的证明。

第一部分）当G（Z，·）是凹的且U:R+→ R+let分别为ε>0和ε=0。根据（12），u（x）<∞, x>0。因此，对于每个g∈ C（x），infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）≤ 苏普格∈C（x）infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）≤ u（x+ε）<∞.因此，infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）= infZ∈~QGZ、 EZU（ε+g）, （26）式中，Q是Q中的一组度量，其中GZ、 E[ZU（ε+g）]≤ u（x+ε）+1。自E[ZU（ε+g）]≥U（ε）∧0代表Z∈ Q、 它适用于每个Z∈~Q表示G（Z，t）≤ t的c:=U（ε）∧0和c:=u（x+ε）+1。因此，Qt（c）可以代替（26）中的Q。因为这适用于每个g∈ C（x），因此它是SUPG∈C（x）infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）= 苏普格∈C（x）infZ∈Qt（c）GZ、 EZU（ε+g）. （27）接下来，由于假设2，U（ε+·）从m以下有界，Qt（c）是UI，应用Fatou引理得到Z→ E[ZU（ε+g）]，g∈ C（x），关于a的下半连续。s、 Qt（c）上的收敛性。作为Qt，Tis UI，这相当于下半连续性，并在L中收敛。因为泛函是凸的，这反过来意味着弱下半连续性。因为G是下半连续和拟凸的组合，所以它遵循Z→ GZ、 EZU（ε+g）, G∈ C（x），（28）是弱下半连续拟凸。此外，如上所述，它认为→ GZ、 EZU（ε+g）, Z∈ Q、 （29）是准凹的。回想一下，C（x）是凸的。此外，G（λZ+（1- λ） \'Z，t）≤ max{G（Z，t），G（\'Z，t）}≤ c、 对于Z，\'Z∈ Qt（c）。因此，Qt（c）也是凸的。由于假设2，后一个集合也是弱紧的。考虑到（28）和（29）中定义的映射的性质，我们可以分别应用Sion的极小极大定理（参见[49]）。这就产生了，长官∈C（x）infZ∈Qt（c）GZ、 EZU（ε+g）= infZ∈Qt（c）supg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）.

（30）注意infz∈Qsupg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）≤ infZ∈Qt（c）supg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）≤ u（x+ε），其中第一个不等式是微不足道的，第二个等式来自（30）和（27）。因此，通过使用与上述相同的参数，（30）右侧的集合Qt（c）可以代替集合Q∈C（x）infZ∈QGZ、 EZU（ε+g）= infZ∈Qsupg∈C（x）GZ、 EZU（ε+g）. （31）当U:R+→ R+，这就完成了第一部分的证明）。对于G（Z，·）是凹的情况，一个直接的参数产生u（x）凹。根据（12）的说法，它也是有限的。因此，它是连续的，因为凹函数在其为有限集的集合内部是连续的（参见[45]中的定理10.1]）。另一方面，由于（31）中左手侧的表达式明显小于u（x+ε），因此它表示u（x+ε）≥ infZ∈Qsupg∈C（x）GZ、 E祖（g）≥ 苏普格∈C（x）infZ∈QGZ、 E祖（g）= u（x）。（32）由于u（x）是（上半）连续的，因此结果随后是ε0。接下来，根据假设1，Qf6=. 由于G在定义1的意义上具有渐近最大值，这意味着（15）中右侧的集合Q可以被集合QF代替。问∈ Qf，L emma 1适用。因此，使用第i部分），G（Z，·）不递减的事实，以及引理1中给出的uZ（x）和vZ（y）之间的对偶关系，yieldsu（x）=infZ∈QfGZ、 uZ（x）= infZ∈QfGZ、 infy>0（vZ（y）+xy）= infy>0infZ∈QfGZ、 vZ（y）+xy.鉴于v（y；x）的定义，因此只剩下显示tinfZ∈QfGZ、 vZ（y）+xy= infZ∈QGZ、 vZ（y）+xy=: v（y；x）。（33）不平等”≥” 以下是Qf Q.在不丧失一般性的情况下，假设v（y；x）<∞ 和le t/Q:={Z∈ 问：vZ（y）<∞)}. 显然，（33）右侧的设定值Q可以被Q替换。另一方面，vZ（y）<∞ 意味着uZ（x）<∞.

因此，~Q “这会产生不好的品质”≤”.第二部分：LetH（Z，h）：=G（Z，E[ZV（h/Z）]+xy。根据[48]中的引理3.7，（Z，h）→ E[ZV（h/Z）]是下半连续的。因此，s inc eG是联合下半连续的，因此是（Z，h）→ H（Z，H）。此外，s inc e（z，y）→ zV（y/z）是凸的，G（z，·）是非减的，G是联合拟凸的，因此（z，h）→ H（Z，H）是联合拟凸。实际上，让Zt=tZ+（1- t） Zand ht=th+（1）- t） h.那么，h（Zt，ht）=G（Zt，E[ZtV（ht/Zt）]+xy）≤ G（Zt，tE[ZV（h/Z）]+（1- t） E[ZV（h/Z）]+xy）≤ H（Z，H）∨ H（Z，H）。Let（Zn，hn）∈ Q×D（y）是一个优化序列，这样gZn，E[ZnV（hn/Zn）]+xyn→∞v（y；x）<∞. （34）注意e[ZV（h/Z）]+xy≥ U（x），（35）代表所有Z∈ Q和h∈ D（y）。事实上，由于V是凸x，Jensen不等式的使用零电压（h/Z）= EZV（h/Z11Z>0）≥ 五、E[Zh/Z11Z>0]= 五、E[h11Z>0]≥ V（y），随着V的减小和h∈ D（y），这意味着E[h11Z>0]≤ E[h]≤ y、 G（Z，·）与（34）和（35）的组合是非递减的，这一事实产生了c:=lim s upn→∞GZn，U（x）< ∞我们可以假设Zn∈ {Z∈ Q:G（Z，U（x））≤ ~c+1}。也就是说∈ Qt（c），对于t:=U（x）和c:=c+1。应用两次Komlos L emma，得到一个序列（~Zn，~hn）∈ conv{（Zn，hn），（Zn+1，hn+1），…}它汇聚了P-a.s。对某些人来说（Z，h）。因为Qt（c）和D（y）都是凸的，（~Zn，~hn）∈ Qt（c）×D（y）。此外，由于Qt（c）是一致可积的（因为它是弱紧的），并且根据[32]中的3.1，D（y）是闭的，因此（Z，h）∈ Qt（c）×D（y）。此外，质量指数的使用（~Zn，~hn）=HXk≥nλkZk，Xk≥nλkhk≤ 马克斯≥nH（Zk，hk）=H（Zn，hn）v（y）。因此，（~Zn，~hn）也是一个优化序列。

因此，通过使用下半连续性，它遵循h（Z，h）≤ 林恩芬→∞H（~Zn，~hn）=v（y），证明了（Z，H）达到了最优。接下来，suppo-se（~Z，~h）是另一个最佳对。设ht:=th+（1）- t） 手动Zt:=tZ+（1）- t） ~Z，t∈ [0, 1]. As（Z，h）→ E[ZV（h/Z）]是凸的，并且G联合拟凸，因此它遵循G（Zt，E[ZtV（ht/Zt）]+xy）≤ G（Zt，tE[ZV（h/Z）]+（1- t） E[ZV（h/Z）]+xy）≤ 最大值G（Z，E[ZV（h/Z）]+xy），G（Z，E[ZV（h/Z）]+xy）= v（y），由于（~Z，~h）和（~Z，~h）的最优性，r。因此，（ht，Zt）也是最佳的。我们按照[47]中引理4.3的证明进行。注意，对于t∈ （0,1），{Zt>0}={Z>0}∪ {Z>0}。还要注意的是，根据[47]中的（25），比值ht/Zt不依赖于t。因此，存在一个随机变量YT≥ 0和序列\'Z，\'Z。。。这样：（a）P[`Zn]趋向于支持任何最优Z的最大P-概率；（b） {Z>0} {Z>0} ...;（c） 对于每个n，\'hn:=YT\'Zn∈ D（y）和（\'hn，\'Zn）是最佳的。通过使用Komlos型参数，我们可以假设“znlos”收敛到某个“Z”∈ Q.那么“h:=YT”Z∈ D（y）根据[32]中的命题3.1（参见下文第（40）段）。如上所述，（\'h，\'Z）是等时的，显然是最大的。接下来，我们证明了定理3，它证明了鞍点的存在性以及原始解和对偶解之间的联系。定理3的证明。第一部分）为了验证第一个陈述，仍需证明（15）中右侧的限值已达到。为此，请注意≥ 0，G是低阶半连续拟凸，点态上确界的运算保持了低阶连续性和拟凸性→ 苏普格∈C（x）GZ、 E祖（g）, （36）是下半连续拟凸。接下来，让我们来看看∈ 是这样的结果吗Zn，uZn（x）u（x）。

（37）作为uZn（x）≥ U（x），对于所有的n和G（Z，·）都是增加的，因此c:=lim s upn→∞GZn，U（x）< ∞.因此，w.l.o.g。，我们可以假设∈ Qt（c）与t:=U（x）和c=~c+1。应用KomlosLemma，得到一个序列Zn∈ conv{Zn，Zn+1，…}它将P-a.s.收敛到某个Z.因为qt（c）是凸的，~Zn∈ Qt（c），n=1，2。。。。此外，由于Qt（c）是一致可积的（因为它是弱紧的），因此Z∈ Qt（c）。此外，正如定理2（第三部分）的证明一样，拟凸性意味着zn也是一个优化序列。利用（36）中映射的下半连续性，则得到了Z的最大值。第二部分）Le tg andeZ是原始函数m的鞍点。Let y*> 0，从而为y获得关于toeZ的辅助共轭关系的数值*. 然后，u（x）=GeZ，ueZ（x）= G韦兹（y）*) + xy*.因此，y的最大值为（16）*. 接下来，设（bZ，^g）是与y对应的对偶问题的任何解*. 由于G（Z，·）是不递减的，使用假设和引理1 yieldsu（x）=v（y*; x） =克^Z，v^Z（y）*) + xy*≥ G^Z，u^Z（x）≥ u（x）。（38）因此，我们有等式，这反过来意味着u（x）=G^Z，u^Z（x）≥ G^Z，Eh^ZU（^X）i≥ infZ∈QGZ、 EhZU（^X）i= u（x）。因此，（bQ，bX）是原始问题的鞍点。接下来，对于Y（Y）的定义，它遵循E[XTYT]≤ xy代表X∈ X（X）和Y∈ Y（Y）。因此，它就是这样的^Z，Eh^ZV（^Y/^Z）+^X^Yi- G^Z，Eh^ZU（^X）i= G^Z，Eh^ZV（^Y/^Z）i+Eh^X^Yi- u（x）≤ G^Z，Eh^ZV（^Y/^Z）i+xy- u（x）=v（y）*; 十）- u（x）=0。由于G（Z，·）严格地包含，这意味着tE^QhV（^Y/^Z）+^X^Y/^Zi≤ E^QhU（^X）i.另一方面V（^Y/^Z）+^X^Y/^Z≥ 因此，V（^Y/^Z）+^X^Y/^Z=U（^X）^Q-a.s。

因此，可以得出以下结论：^X=I（^Y/^Z），^Q-a.s.4.4关于辅助问题的进一步评论我们最后对辅助值函数作了进一步的评论。备注4。设^Y（Y）所有正Q-超鞅的集合，使得Y=Y且XY是所有X的aQ-超鞅∈ X（1）。然后，如[47]中引理4.2所示，它认为vq（y）=infY∈^Y（Y）EQV（YT）.事实上，让我们0≤ s≤ T≤ T为了^Y∈^Y（Y）和X∈ X（1），Xs^Ys≥ EQhXt^Yt|Fsi=ZsEhXt^YtZt|Fsi，P-a.s.{Zs>0}。在{Zs=0}上，它认为Zt=0p-a.s.因此，X^Y Z是一个P-超鞅，因而X^Y Z是一个P-超鞅∈ Y（Y）。相反，让Y∈ Y（Y）。然后，每个X的Q-a.s∈ X（1），等式XtYtZt | Fs=ZsEzTxTyTzT>0 | Fs≤ZsEXtYtZs>0 | Fs≤XsYsZsZs>0。因此，对于所有x而言，XY/Z是一个Q-超艺术的ingale∈ X（X）和Y/Z11Z>0∈^Y（Y）。备注5。问<< P、 设XQ（x）财富过程集≤ x和Xt≥ 0，t上的Q-a.s∈ [0，T]和YQ（y）所有正Q-超鞅的集合，使得y=y和XY是所有X的aQ-超鞅∈ XQ（1）。然后，考虑以下两个问题uQ（x）=supX∈XQ（x）EQU（XπT）和)vQ（y）=infY∈YQ（y）EQV（YT）,在哪里 := ∞. 请注意，u（x）是关于Q的标准投资问题，因为它通常是定义的。然而，由于目前尚不清楚Q是否满足NFLVR，因此（先验）尚不清楚u和v是否彼此共轭。还要注意X（X） XQ（x），这反过来意味着YQ（y）^Y（Y）。因此，u（x）≤ ~u（x）和vQ（y）≤ ■vQ（y）。（39）特别是，条件是∞, Q∈ Q、 因此，这是定理成立的充分条件。问~ P、 （39）平等地坚持。问题是是否有模型<< P、 对于这个不平等性很严格的问题，留待将来研究。我们仅限于指出，鉴于市场是连续的，在相当脆弱的条件下，平等实际上可能成立。

尽管如此，在附加假设（18）下，它适用于变分情形（即当G（Q，t）=γ（Q）+t）v（y；x）=infQ∈QGQ、 ~vQ（y）+xy,因此，定理2也成立，vQ（y）被vQ（y）取代。实际上，v（y；x）=v（y）+xy，其中v（y）=infZ∈量化宽松vZ（y）+γ（Z）= infZ∈量化宽松~vZ（y）+γ（Z）≥ infZ∈Q~vZ（y）+γ（Z）.这里的第一个等式来自[47]中的引理4.4。自vQ（y）≤ ~vQ（y），Q∈ Q、 平等随之而来。附录我们在这里提供引理1的证明。我们强调在[32,33]中的相应证明中，引理后面有微小的修改。具体来说，在[32]中引理3.4和3.5以及[33]中引理1的证明中。为了完整起见，下面将详细介绍。有关其他论点，请参阅第4.1节中的进一步讨论。在准备证明时，请注意假设uQ（x）<∞ 意味着expectationoperator是以标准方式定义的（参见第5页）。它也紧跟在thatuZ（x）=supg之后∈C（x）E[ZU（g）]和vZ（y）=infh∈D（y）E[ZV（h/Z）]，其中随机变量C（x）和D（y）的集合由C（x）定义：={g∈ L+：g≤ XT，P-a.s.，X∈X（X）}和D（y）={h∈ L+：h≤ Z、 P-a.s.，Z∈ Y（Y）}。此外，根据[32]中的命题3.1，它认为∈ C（x）当且仅当E[gh]≤ xy，尽管如此∈ D（y）。（40）引理1的证明。考虑映射Bn×D（y）→ R、 （g，h）→ E[ZU（g）- gh]，其中Bn:={g∈ L+：0≤ G≤ n} 。集合D（y）是凸的，因为L中的单位球∞是弱紧的，Bn也是。此外，虽然上述映射在g中是凹的，但在h中是线性和连续的，这适用于L上的弱*-拓扑。因此，可以应用极小极大定理（参见[2]中的定理2.7.1]），以获得∈Bninfh∈D（y）E[ZU（g）- gh]=infh∈D（y）supg∈BnE[ZU（g）- 生长激素]。（41）接下来，（40）意味着→∞苏普格∈Bninfh∈D（y）E[ZU（g）- gh]=supx>0uZ（x）- xy.

（42）事实上，我们首先看到（40）意味着∈D（y）E[ZU（g）- [生长激素]≥ E[ZU（g）]- xy。在g上取上半身∈ BN和g∈ C（x）∩ B分别在左侧和右侧，然后依次让n→ ∞ 产生最佳质量≥ 在（42）中。接下来，我们fix n并让g∈ Bnandx*:= inf{x>0:g∈ C（x）}。在不失去普遍性的情况下，让x*> 0.那么它认为g∈ C（x）*+ ε） 但是G6∈ C（x）*- ε). 因此，使用（40）可以得出以下结论：∈D（y）E[ZU（g）- gh]<E[ZU（g）]- （十）*- ε） y≤ uZ（x）*+ ε) - （十）*+ ε） y+2εy≤ 2εy+supx>0uZ（x）- xy.让ε0，得到g的结果∈ B和n∈ N、 infh∈D（y）E[ZU（g）- [生长激素]≤ supx>0uZ（x）- xy.这就完成了（42）的证明。接下来，让Vn（y）=sup0≤十、≤NU（x）- xy请注意∈BnE[ZU（g）- gh]=Esupx<0≤n{ZU（x）- xh}= Esup0<x≤n{（ZU（x）- xh）11Z>0}= E[ZJn（h/Z）]，（43）其中使用sup0<x<n{ZU（x）- 在{Z=0}上xh}=0。因此，它认为∈D（y）supg∈BnE[ZU（g）- gh]=infh∈D（y）E[ZJn（h/Z）]=:vnZ（y）。（44）结合（41），（42）和（44），我们很容易看到，为了显示第一个共轭关系（ini），只剩下显示limn→∞vnZ（y）=v（y），y>0。（45）为此，让我们∈ D（y）是这样的序列→∞vnZ（y）=limn→∞E[ZVn（hn/Z）]。根据Komlos引理，存在hn∈ conv（hn，hn+1，…）根据[32]中的命题3.1，将P-a.s.收敛到属于D（y）的某个h，作为后一个集合，在概率收敛下是闭合的。