基于拟凹的风险和模糊规避投资组合优化

（11） 请注意，假设（10）和（11）是不相交的，因为它们都不意味着另一个（尽管它们可能都满足相同的Q值）∈ Q） 。还要注意，（10）表示uQ（x）<∞ 对于所有x>0，而且假设1 yieldsu（x）=supg∈X（X）infQ∈QGQ、 情商U（f）≤ infQ∈QGQ、 uQ（x）< ∞, x>0。（12） 首先，我们确定问题1的解的存在性。独特性问题将在下面讨论。定理1。让G∈ G假设1成立，并假设vq（y）<∞, y>0，（13）对于每个Q∈ Q、 或者G（·，t），t∈ R、 是凸的，且（13）对每个Q都成立∈ 量化宽松。然后，存在一个最优终端支付∈ 得到（7）中的上确界的X（X）。我们对上述结果的假设作两个一般性评论。备注1。这个G（·，t），t∈ R、 凸是关联效用泛函凹的必要条件，但不是充分条件。因此，这类偏好包括但不限于可变偏好。然而，与[47]中介绍的方法完全相同的方法可用于确定这种情况的存在性，参见第4.1节中的讨论，因此（13）只适用于Q∈ 质量保证。备注2。假设（13）适用于Q∈ Q暗示（参见下面的引理1）Q=Qf，其中Qf:={Q∈ Q:uQ（x）<∞} .事实上，定理1成立的一个充分条件是Q=qfae+∞（U） <1。事实上，与标准情况（参见[33]中的注释2]）类似，这产生了vQ（y），Q的完整性∈ Q.Yetan另一个有效条件是vQ（y）<∞, Q∈ Qe，每个Q∈ Q、 存在∈ qeq[U（g）]≤ 等式[U（g）]<∞, 尽管如此，g∈ C（x）。（14） 实际上，（14）意味着uQ（y）≤ uQ（y）<∞, 最后一个不等式来自于假设。因此，下面引理1关于Q的共轭关系成立。

这就产生了vQ（y）=supx>0uQ（y）- xy≤ supx>0uQ（y）- xy= vQ（y）<∞.因此，vQ（y）<∞ 尽管如此，Q∈ Q和定理1的假设成立。我们强调，假设vQ（y）<∞, Q∈ Q、 这很自然。首先，在一些额外的假设下，确定了内模和上模（7）可以互换的可能性很低（参见定理2）。实际上，在不影响间接效用u（x）的情况下，s et Q可以由集合Qf代替。更重要的是，这个假设意味着辅助投资问题本身对于每个单独的度量Q都是可解的∈ Q（参见下面的引理1）。如上所述，辅助问题不是一个标准问题。然而，这可能被理解为每个模型的套利条件（参见[28]，其中表明，当且仅当市场满足无套利条件时，经典效用最大化问题才允许解决方案）。因此，假设与歧义厌恶论的解释有关。一方面，标准（5）是根据偏好的公理产生的；这是通过拟康凹效用泛函的ro bus t表示实现的。这种动机本身并不意味着测量Q∈ Q满足任何与市场相关的条件。然而，在文献中，通常也会通过这样一个事实来激发模糊厌恶c标准，即它们实际上相当于根据其合理性对不同的可能市场模型的预期进行Q加权。虽然变分情况下的权重由惩罚函数γ确定，但函数G允许在拟凹情况下更灵活。考虑到后一种解释，很自然地假设每个市场模型都是Q∈ Q、 它本身构成了一种理性的市场模式，不包括套利。这正是（13）所能保证的。

如何确保这一条件适用于特定的G选择，这一重要问题仍有待解决。在定理m 1的假设下，不清楚（7）中的内确界和上确界是否可以互换（也不清楚是否达到了内确界）。因此，不需要存在一个辅助问题（参见（8））来产生作为模糊规避标准（5）的模拟投资行为。然而，在一些额外的假设下，情况就是这样；我们将回到这里（见第10页）。接下来，我们将研究风险和模糊规避投资问题的双重版本（5）。具体而言，我们建立了原始问题和对偶问题及其各自解决方案之间的关系。正如变分情形（参见[47]）一样，实际上不需要研究对偶问题来证明原问题解的存在性。事实上，定理1的证明取决于辅助问题（8）的性质，因此，更确切地说，取决于对其对偶问题的研究。然而，它的双重对应物的研究是有趣的，因为它提供了对问题和最优策略的进一步理解。与标准情况类似，对对偶问题的研究比原始问题的研究有许多优点。这尤其适用于歧义厌恶偏好，其中双重pr问题相当于纯整数的搜索，而原始问题m具有鞍点。特别是，大多数文章为效用函数和惩罚函数的特定选择提供了明确的解决方案，尤其关注对偶问题，而不是原始问题。因此，我们有理由相信，对偶公式也有助于获得更明确的结果。研究结果还使我们能够得出关于最优策略的重要结论。

具体而言，关于等价辅助问题的存在性和最优策略的唯一性（参见第3章后的讨论）。我们附加以下假设。假设2。函数G是联合下半连续的，水平集Qt（c）是相对弱紧的，其中Qt（c）：=Q∈ Q:G（Q，t）≤ C, T∈ R、 c≥ 0.此外，U:R+→ R+或G（Q，·），Q∈ Q、 它是凹的。注意，自从Q→ G（Q，t）是弱下半连续的，Qt（c）是弱c闭的，因此，由于Dunford-Pettis定理，相对弱紧性等价于一致可积性。此外，回想一下函数G∈ G、 G-（·，t），t∈ R、 下半连续与G（Q，·），Q∈ Q、 是上半连续的。因此，假设G是联合下半连续的，实际上相当于假设G（Q，·）是连续的。这两个性质都与这样一个事实密切相关，即我们认为（均匀地）拟凹效用泛函不仅从上到下是连续的，因此是弱连续的（与上半连续相反）。我们参考[6,16,19,20]了解更多细节，但请注意，这类拟凹效用泛函在当前上下文中是自然的。实际上，在[7]中，公理（包括一个连续公理）被表述为以弱连续效用泛函为术语的数值表示。虽然这种（自然的）额外的连续性是二元性结果的基础，但正效用函数的限制是技术原因所必需的。放松这一假设的可能性有待于未来的研究。然而，请注意，[44]中的结果仅适用于正效用函数。对G（Q，·）凹的限制产生了[47]中处理的变异情况。

它作为一个特殊案例包含在or DER中，用于比较我们的方法，并将我们的结果与其中的结果联系起来。定理2。让G∈ G使假设1和2成立。然后，i）稳健值函数satiesu（x）：=supX∈X（X）infQ∈QGQ、 情商U（XT）= infQ∈QsupX∈X（X）GQ、 情商U（XT）, （15） 此外，u（x）=infy>0v（y；x），（16），其中v（y；x）是由v（y；x）给出的双值函数：=infQ∈QGQ、 vQ（y）+xy. （17） ii）此外，如果v（y；x）<∞, 然后，对偶问题（17）允许一个解决方案（bQ，bY），它在任何其他解决方案（Q，Y）都等于Q的意义上是最大的<<bQ和YT/Z=bYT/bZ，Q-a.s.虽然上述结果对G（和U）的结构性质施加了比定理1所需的更严格的条件，但此处不要求存在所需类型的完整性假设。这应该与[32,33]中的结果有关，因为共轭关系是在比存在所需条件弱得多的条件下产生的。对于变分情况，原始值函数和对偶值函数（参见（16））之间的关系在[47]中建立，前提是uQ（x）<∞ 对于一些问题∈ Qeandv（y；x）<∞ 意味着vQ（y）<∞ 对于一些问题∈ 量化宽松。（18） 虽然这种假设很自然，但实际上并不需要。然而，对于变分情形，在这个附加假设下，可以证明稍强的结果；参见下面的备注5。下一个结果与原始问题和对偶问题的各自解决方案有关。特别地，结果给出了一个等价辅助问题的存在性，并证明了最优策略的唯一性。定理3。让G∈ 假设假设2和定理1的假设成立。让“X”成为原始问题的解决方案。

然后，原始问题允许一个鞍点（\'X，\'Q），并且存在y*> 0，达到（16）中的上限。进一步假设G（Q，·），Q∈ Q、 严格地增加，让（bY，bQ）成为y级对偶问题的任何解决方案*. 然后，（\'X，bQ）是原始问题的鞍点，而且，\'X=I（bYT/bZ），bQ-a.s.（19）上述结果具有特殊的意义，因为它进一步理解了最优策略。LetbQ是对偶（或等价的原始）问题最大解的度量。根据相关文献，我们称之为最不利措施。关系式（19）则意味着最优解bxt在fa ct中是唯一的。因此，如果最不有利测度等价于P，则解为P-a。s、 独一无二。特别是，它可以从双重解决方案中恢复。然而，一般来说，最不利的措施不需要与P等价。然而，通过对适当的主张进行超边缘化，仍然可以从对偶问题的给定解决方案中构造最优策略（参见[47]中的推论2.7]）。鞍点的存在还意味着，在后验概率中，存在一个辅助投资问题（8），该问题产生与原始准则相同的最优行为（尤其是，对于变分准则，这一点始终成立）。具体地说，用最不利度量定义的辅助问题bq允许一个解（参见下面的引理1），该解bq-a.s.与原始问题的解一致。由于最不利的度量是原始问题解决方案的一部分，因此歧义规避问题和辅助问题之间的等价性是后验结果。考虑到辅助问题的存在（目标函数是封闭的），最优策略的BQ-a.s.唯一性是自然的。

在定理1较弱的假设下，不清楚是否存在等价的辅助问题（参见第8页的讨论）。在更一般的假设（假设G（Q，·）严格增加）下，唯一性在多大程度上成立的问题留待将来研究。备注3（时间一致性）。一般来说，问题1不是一个时间一致的投资问题（参见[47]了解变分情况下的反例）。因此，一个自然的问题是，它是什么样的消费。事实上，虽然时间一致性本身很重要，但它也很重要，因为它可以使用随机控制方法。因此，这是将变分偏好的偏微分方程和BSDE的适用结果推广到准康凹情形的先决条件（参见引言中的参考文献）。然而，拟凹效用函数（拟凸风险测度）的时间一致性仍然是一个开放的问题，特别是可行的显式例子很少。事实上，虽然[10]中建立了凸风险度量的暂时一致性的必要和充分条件（另见[3]和[14]），但对于凸情况，此类结果仍然缺乏。在最近的工作中，[19,20]通过研究条件拟凸风险度量启动了这样一个项目。在[43]中，时间一致性问题以及与g-期望的关系也在更一般的非线性预期框架内进行了研究。我们还注意到，在（7）中，投资者的风险偏好是通过标准的连续凹效用函数建模的。虽然这个假设对于静态问题来说非常合理，但值函数u（x）只会满足较弱的性质（关于值函数性质的更精确研究将留待将来研究）。

因此，研究这类时间一致性问题还需要研究U（x）上的弱假设下的风险和模糊规避投资问题（7）。综上所述，虽然时间一致性的问题非常有趣，但它们也带来了具有挑战性的其他问题，这些问题留给了未来的研究。4证明上述定理将[47]中为变分偏好建立的结果（参见[44,48]中的相干情况）推广到了拟凹风险和模糊规避投资标准。因此，我们的证明自然受到了前几篇文章的启发，并且在许多方面与前几篇文章类似。具体来说，这里的想法也是通过利用辅助问题（8）的现有结果来确定风险和模糊规避问题的结果。正如前文所指出的，对于Q~ P、 这就是[32,33]中研究的经典效用最大化问题。问<< P、 这不一定是事实。在[47]中，这是通过使用某些限制参数来处理的。然而，在我们的例子中，G的较弱性质意味着这种方法不适用。因此需要一些不同的论点。在第4.1节中，我们解释了为什么我们不能直接应用[47]中提出的论点，并进一步详细描述了我们使用的方法。这说明了所需假设的差异。在第4.2和4.3条中分别证明了存在性和对偶结果。下面引理1的证明被推迟到附录中。4.1辅助问题及其意义对于[47]中研究的变分情况，Q中的测度的出现是绝对连续的，但不一定等同于P，如下所述。问∈ Q\\Qe，作者让Q∈ qe和定义Qt，t∈ [0,1]，通过Radon-Nikodym导数zt:=（1）- t） 分别是Q+Zcd，Qand+Zcortz。

那么，Qt∈ 基福特∈ （0,1）。此外，在适当的完整性假设下→ GQt，uQt（x）和t→ GQt，vQt（y）+xy, （20） 分别是连续的和上半连续的。综合起来，这意味着可以通过依赖辅助问题（参见（8））的结果来确定结果，这些辅助问题仅与P等效。对于后者，[32,33]中的结果反过来可以直接应用。接下来，只需要对度量集qe而不是Q提出某些假设（参见定理1）。这种方法与这样一个事实密切相关，即在假设存在一个惩罚是有限的等价度量的情况下，凹效用函数表示中的一组绝对连续度量可以被等价度量所取代；参考[30]。然而，（20）中的连续性性质依赖于一个事实，即对于变分情形G（·，t）=γ（·）+t，因此，映射是凸的。事实上，这意味着映射→ G（Zt，s），t∈ [0,1]，s∈ R、 （21）也是凸的。如果它是有限的，那么它就是上半连续的。根据Le mma 3.3 in[48]，t→ uZt（x）是连续的，在相当弱的假设下，也是t→ vZt（y）是半连续的。因此，（在适当的完整性假设下，）中要求的连续性属性如下。关键的一点是，对于我们考虑的拟凹函数，函数G（·，t）可能不是凸的。因此，（20）中的连续性属性可能不成立，因此[47]中提出的论点不适用。我们的方法是基于对辅助问题的更深入研究（8）。虽然这不是一个标准问题，但事实上，它只是对eof的一个小修改，因此可以使用[32]中开发的相同方法来解决（参见下面的引理1）。

通过这一观察，我们可以解决风险和模糊性，从而避免投资问题。特别是，我们得到了[47]中建立的一些结果的替代证明。事实上，一旦获得了Q辅助问题的相关性质<< P、 这些证明可以简化。特别是，我们的方法能够在比[47]稍弱的假设下，建立基本函数和双值函数（参见下文（16））之间的关系。然而，对于优化器的存在，需要更强的假设。这些假设是我们考虑的更一般类型标准的结果，在经济上仍然可行；参见上面定理1之后的讨论。接下来，我们将讨论辅助问题的性质。引理1。让U满足Inada条件（参见（4））并假设uZ（x）<∞ 对于某些x>0的情况。然后，在（8）和（9）中分别定义的函数uZ（x）和vZ（y）满足以下条件：i）它认为vZ（y）=supx>0uZ（x）- xyuZ（y）=infy>0vZ（x）+xy,而且，u′Z（0）=∞ 还有v′Z(∞) = 0.ii）在附加假设下，vZ（y）<∞, y>0，它也适用于U\'Z(∞) = 0和v′Z（0）=-∞.此外，集合{ZU+（g）：g∈ C（x）}是P-UI，原始问题允许一个解决方案。问~ P、 上述结果建立在[32,33]中。问<< P、 请注意，虽然辅助问题的目标是根据测量值Q确定的，但策略集仍然是根据参考测量值P以标准方式确定的。这是上述结果也适用于根据测量值Q确定的辅助问题的关键原因<< P（参见备注5）。事实上，[32,33]中的证明利用了NFLVR的假设来处理策略（通过下面（40）中的特征），而不是目标函数。