基于拟凹的风险和模糊规避投资组合优化

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英文标题：
《Risk- and ambiguity-averse portfolio optimization with quasiconcave
  utility functionals》
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作者：
Sigrid K\\\"allblad
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Motivated by recent axiomatic developments, we study the risk- and ambiguity-averse investment problem where trading takes place over a fixed finite horizon and terminal payoffs are evaluated according to a criterion defined in terms of a quasiconcave utility functional. We extend to the present setting certain existence and duality results established for the so-called variational preferences by Schied (2007). The results are proven by building on existing results for the classical utility maximization problem.
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中文摘要：
受最近公理化发展的启发，我们研究了风险和模糊规避投资问题，其中交易发生在固定的有限范围内，终端收益根据准康凹效用函数定义的标准进行评估。我们将Schied（2007）为所谓的变分偏好建立的某些存在性和对偶结果推广到目前的情况。在经典效用最大化问题已有结果的基础上，对结果进行了验证。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Risk-_and_ambiguity-averse_portfolio_optimization_with_quasiconcave_utility_func.pdf (318.83 KB)

2022-5-5 05:54:23 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization maximization Quantitative

基于拟凹效用函数的风险和模糊规避投资组合优化Sigrid K¨allblad*2018年9月18日摘要受最近公理化发展的推动，我们研究了风险和模糊规避投资问题，其中交易在固定期限内进行，并根据准康凹效用函数定义的标准评估终端报酬。在目前的情况下，Schied（2007）为所谓的变异偏好建立了某些存在性和二元性结果。这些结果在经典效用最大化问题已有结果的基础上得到了验证。1导言选择最佳方式分配投资者资本的最佳投资问题通常被描述为最大化、过度允许的投资策略、最终财富的预期效用的问题。该公式依赖于冯·诺伊曼南德·摩根斯坦[52]和萨维奇[46]开发的公理基础。在连续时间最优投资组合选择中，这项研究追溯到默顿的开创性贡献[38,39]。为了制定预期效用标准，代理人一方面需要通过投资水平和效用函数指定自己的偏好，另一方面需要在提供计算预期的概率度量时指定自己对未来的看法。然而，后者的规格本身可能存在不确定性。这被称为模糊性，或骑士的原始贡献的不确定性[3 1]。通过埃尔斯伯格悖论[12]，这一点变得尤为突出。从决策理论的角度来看，Gilboa和Schmeidler[22]的开创性工作解决了这个问题。他们制定了关于投资者偏好的公理，这些公理应该解释对模糊性和风险的厌恶。

具体而言，在Anscombe-Aumann模型中，冯·诺依曼和摩根斯坦的公理被放松，因为独立公理被确定性公理所取代。这导致了偏好在一致货币效用函数方面的数值表示。后者的稳健表示（对于有界随机变量的情况，参见[9]），然后产生对对象X的偏好的以下表示*CMAP，巴黎理工学院。电子邮件：西格丽德。kallblad@cmap.polytechnique.fr.这项工作是D.菲尔的一部分。论文在牛津大学完成，并得到桑坦德研究生奖学金和西奥福德·曼定量金融研究所的支持。在so me集合内X:X 7-→ infQ∈量化宽松U（X）, （1） 对于so me von Neumann-Morgenstern效用函数U和概率测度集Q。这推动了对规避风险和模糊性的投资者的研究，他们以连续时间市场模式l在固定的单位区域进行交易，并根据c标准（1）评估终端财富。与这种所谓的多重先验偏好相关的投资问题已经得到了很好的研究。随机控制方法已成功应用于特定市场模型和效用函数的选择，并获得了明确的解决方案。具体而言，对于

根据Kramkov和Schachermayer[32,33]中经典效用最大化问题的结果，[44]和[48]中的作者建立了一个对偶公式，并证明了o最优解的存在性（包括消费的情况也见[5,53]）。Gilboa和Schmeidler的轴对称性结果后来在Maccheroni等人[36]中进行了推广，其中进一步阐述了独立性公理。这导致了一个凹形货币效用函数的数值表示。结合将相干效用泛函的表示推广到凹函数，对于F¨ollmer a and Schied[15]和Fritelli and Rosazza Gianin[21]中获得的有界随机变量的情况，它暗示了数值表示X 7-→ infQ∈Q情商U（X）+ γ（Q）, （2） 对于某些函数γ。虽然（1）中设置的多重先验是最坏情况下的方法，但γ的出现使投资者能够根据其可行性对可能的市场模型进行加权。这使得演示直观地具有吸引力。还研究了与这些所谓的变量偏好相关的投资问题。特别注意了当惩罚函数由Q相对于参考模型的相对熵给出时的情况。这些标准早在汉森和萨金特的开创性工作中就被引入了[1,2,3]。对于这种选择，问题最自然地是关于消费效用（或随机差异效用）的，自然工具是BSDE理论。虽然在[50]中开始了一项系统研究，但这些结果在许多文章[4,8,13,27,35]中得到了相当大的扩展。在终端财富效用和一般变分准则的情况下，随机控制方法已成功地应用于对数效用的选择。

这适用于随机因素模型以及非马尔可夫模型；分别参见[25,26]和[34]。对于变分偏好也给出了普遍存在性和对偶性结果。具体而言，通过使用与[44,48]中使用的Theone类似的方法，Schied[4 7]将这些结果推广到凹形情况。[22]和[36]中的决策理论结果最近被Cerre ia Vioglio等人[7]的发展进一步扩展。注意到所有模糊厌恶偏好都通过削弱独立性公理（环境中的坐标独立公理）而公理化，在[7]中，作者将这一公理从本质上完全删除，从而达到极端。因此，出现了一种拟凹效用泛函的数值表示。最近的进展也产生了后者的强劲r e表现；除[6,7]外，参见Drapeau和Kupper[11]以及Fritelli和Maggis[19,20]。这激发了viaX 7代表偏好的动机-→ infQ∈QGQ、 情商U（X）, （3） 对于联合拟凸的函数G，其第一个参数是下半连续的，第二个参数是非减右连续的。类似于多重先验和变量情况（参见（1）和（2）），这些进步推动了相关投资问题的研究。本文的目的是发起这样一项研究。具体而言，在一个占主导地位的体系中，我们考虑了一个投资者，该投资者在连续时间市场模型的固定期限内进行交易，根据（3）评估终端财富，并在可接受的交易策略下最大化该数量。虽然投资者的风险规避受标准效用函数的控制，但模糊偏好因此由准凹效用函数决定。据我们所知，这个问题以前从未被研究过。

事实上，尽管[7]中的进步最近推动了投资组合优化领域内拟凸风险度量的使用（见[37]），并且之前已经研究过拟凹效用函数，但与（3）相关的风险和模糊规避效用最大化问题似乎尚未得到解决。我们注意到，这个概念在某种意义上是统一的，即所有模糊性的逆向偏好，尤其是多重先验、熵和变分偏好，都包括在特殊情况下。准康凹偏好的类别还包括与变分偏好不相关的有趣例子。其中，所谓的s mooth偏好公理化[29]，相当于考虑可能分布的分布，而不是最坏的方法。我们的结果推广了[47]中的结果（参见[44,48]），因为我们证明了最优策略的存在性，并建立了拟凹情形的某些对偶结果。正如经典效用最大化理论一样，在双重领域内研究这个问题具有各种优势。最重要的是，在稳健偏好的情况下，对偶问题相当于寻找一个极小值，而原始问题具有一个鞍点。与[47]类似，我们在经典效用最大化问题（参见[32,33]）的现有结果的基础上证明了我们的结果。然而，与凹性相反，效用函数的准凹性要求与[47]中使用的方法略有不同。特别是，我们获得了其中结果的其他证明。本文的组织结构如下。第2节详细介绍了市场模型和投资标准。第3节给出了主要结果，第4节给出了项目和进一步说明。

辅助引理的证明被推迟到附录中。2.市场模型和投资标准我们考虑固定期限T>0和给定的过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P），其中P是所谓的参考度量。我们首先确定投资者的偏好。然后，具体说明了市场模型和投资问题。投资者的风险偏好通过效用函数U：（0，∞) → R、 这是严格增加，严格凹，并满足Inada条件，limx→0U′（x）=∞ 还有limx→∞U′（x）=0。（4） 正如引言中所述，在[7]之后，投资者的模糊厌恶是通过aquasiconcave效用函数确定的。后者是φ：L的映射∞→ [-∞, ∞] 这满足了准连续性和单音调。回想一下，如果一个函数是拟凸函数的负函数，那么它就是拟凹函数；如果一个函数的水平集是凸x，那么它就是拟凸函数。对于一个函数f:x→ R、 这相当于fλx+（1）- λ） y≤ 最大值f（x），f（y）, x、 y∈ 十、因此，拟凹效用函数（拟凸风险测度的负值）满足φλX+（1）- λ） Y）≥ 闵φ（X），φ（Y）, 和φ（X）≥ φ（Y），如果X≥ 然而，它既需要满足现金不变性，也需要满足概率同态性。我们的标准的具体说明依赖于稳健的r表示结果（见[11]中的定理3.2；也见[7]中的定理7]），该结果表明∞, 五十） -上半连续拟凸函数φ（X）允许（鲁棒）表示φ（X）=infQ∈M（P）GQ、 情商十、,对于某些函数G∈ G、 其中，函数集G是下一个规定的，M（P）是σ-加性概率测度的集合，绝对连续，对于任何G∈ G、 用这种方法定义的函数φ是一个上半连续的qua-siconcave效用函数。定义1。

设G表示函数集G:M（P）×R→ [-∞, ∞] 满足以下条件：i）G（Q，·）是非减且右连续的；ii）G是联合拟凸；iii）G-（·，s）是弱下半连续的，其中-（Q，s）=supt<sG（Q，t），Q∈ M（P）。iv）G有一个渐近最大值，即am（G）：=lims→∞G（Q，s）=lims→∞G（\'Q，s），对于所有Q，\'Q∈ M（P）。特别地，G（Q，·）是准线性的，并且是上半连续的。综上所述，我们认为投资者应评估终端支付的效用，并将其建模为随机变量(Ohm, F、 P），在形式（3）和G的鲁棒效用泛函方面∈ G.对于G对应于相干和凹效用函数的特定情况，该准则分别减少到[44,48]和[47]中研究的多先验和变分偏好。与[22]和[36]中的雄辩结果推动了对后一类问题的研究一样，对更一般的量子事例的研究也依赖于[7]中最近的公理扩展。在不丧失概括性的情况下，我们可以通过写X来精确→ infQ∈QGQ、 情商U（X）, （5） 其中，对于给定的G∈ G、 Q:={Q∈ M（P）：G（Q，t）<∞, 对于某些t>0}。我们强调，当U（X）∈ l对于我们要考虑的支付类型（参见下文），根据G定义的效用函数∈ G仅针对有界随机变量定义。事实上，虽然拟凹风险测度的理论已经扩展到了更一般的空间，但我们并不局限于函数G∈ 这一点是成立的。我们以类似的方式制定了风险规避措施，并对风险规避措施进行了研究∞. 为了确保（5）得到很好的定义，我们让等式[F]：=∞ 如果EQ[F+]=EQ[F-] = ∞.

此外，我们将G（Q，·）的域扩展到扩展实线，因为我们定义了G（Q，-∞) := -∞ 和G（Q，∞) := AM（G）。例1。根据拟凹效用函数定义的偏好示例是所谓的平滑标准：X 7-→ φ(-1)ZM（P）φ等式[U（X）]du（Q）, （6） 其中φ是一个模拟模糊厌恶的增凹函数。也就是说，代理考虑的不是对可能的模型进行限制，而是对它们进行分配。Klibano ff等人[29]（另见[51]）在比[7]中使用的公理更强的公理下对这些标准进行了公理化。因此，（对于有界支付），这些标准构成了准凹偏好的特殊情况。[7]中给出了相关函数G的具体形式，Yieldsfurt直觉给出了标准。接下来，我们详细说明了连续时间市场模型和一组可接受的交易策略。市场模型由Rd值价格过程St定义，该过程被假定为半鞅(Ohm, F、 （英国《金融时报》，第页）。假设价格过程满足NFLVR条件，并考虑参考测度P。对于给定的初始资本x>0，以及可预测的S-可积交易策略πt，相关的财富过程由xπt=x+ZtπsdSs，t给出≥ 0.我们表示一个交易策略，如果Xπt≥ 0，t的P-a.s∈ [0，T]并用X（X）表示相关的财富过程集。因此，我们旨在研究以下投资问题。问题1。对于给定的G∈ G、 我们考虑了风险规避和模糊规避投资问题，即最大化可容许终端支付XπT，X上的泛函（5）∈ X（X）。关联值函数u:R+→ R由u（x）定义：=supX∈X（X）infQ∈QGQ、 情商UXπT.

（7） 我们强调，容许策略集X是根据P定义的，其作用是指定空集，而不是表示最可能的模型。特别是，我们考虑了所有测量Q的环境∈ Q是绝对连续的，对应于参考度量（对于具有相互奇异度量的模糊规避投资组合优化，请参见[41]和其中的参考文献）。还要注意的是，虽然u（x）是非递减的，但它既不凹也不连续（参见备注3）。我们通过定义一个辅助优化问题来结束本节，该问题对于后续分析至关重要。问<< P、 letuQ（x）：=supX∈X（X）等式U（XT）, （8） 其中X（X）如上所述。我们还引入了（对偶）辅助问题vq（y）：=infY∈Y（Y）EZV（YT/Z）, （9） 其中Z=dQdP，V（y）=supx≥0（U（x）- xy）和Y（Y）是所有正P-超鞅的集合，因此Y=Y和xy是所有X的P-超鞅∈ X（1）。在不另行通知的情况下，这些函数也将分别用uZ（x）和uZ（y）表示。虽然（8）和（9）中的目标函数是根据测度Q定义的，但可接受策略集和双重目标是根据参考测度P定义的。因此，尽管它适用于Q~ P、 这些辅助问题分别是标准投资问题及其市场的双重对应方，与计量Q有关，这不一定是Q的情况<< P.特别是，STL不需要满足NFLVR的条件（参见第4.1节的进一步讨论以及下面的备注4和5）。3主要结果在本节中，我们给出了主要结果。第4节给出了证明。以下假设自始至终都是成立的。假设1。存在Q，Q∈ Q su ch thatuQ（x）<∞, 对于一些x>0，（10）和gQ、 uQ（x）< ∞, 对于所有x>0。