扩散的随机区域及其在风险理论中的应用

这些过程后来被称为AzemaYor过程，相关的通过时间被称为Azema Yor停止时间。它们的应用范围包括解决Skorokhod嵌入问题（Obloj 2004）、有上限的俄罗斯期权定价（Ott 2013）和带提取约束的投资组合优化（El Karoui和Meziou 2006），考虑（1）中定义的初始值V>0的差异V，以及定义与V asMt=（max06u6tVu）相关的运行最大过程∨ s、 （69）从s>v>0开始。对于[0]上定义的任何连续函数g，将Azema Yor停止时间定义为τAY=inf{t>0:Vt6 g（Mt）}，（70），∞) 当x>0时满足0<g（x）<x。在下文中，我们展示了Azema Yor停止时间在扩散风险模型中的另一个应用，其中我们假设存在亏损结转税。Albrecher和Hipp 2007在Levy保险模型框架中将其引入风险理论。其基本思想是，当公司的盈余达到最大值时，立即以一定的固定税率缴纳税款。关于这方面的文献，请参考阿尔布雷谢、雷诺和周2008以及其中的参考资料。我们在一个固定的时间同质扩散环境中铸造我们的模型（李、唐和周，2013年）。假设企业价值由（1）中的差异V建模。现在引入一个依赖于盈余的税率：无论何时，当流程与流动最大Mt的仓促扩散区重合时，企业都会按照γ（Mt）和γ（.）的税率纳税：[v，∞) → [0,1）是一个可测量的函数。税后的价值过程满足度=dVt- γ（Mt）dMt，t>0，（71），U=V=V。对于违约阈值a（在破产理论中通常指定为0），用税收asTU（a）=inf{t>0:Ut=a}，（72）和inf定义违约时间 = ∞ 按照惯例。注意a<v。现在我们要计算E[TU（a）]，它表示预期的破产时间。

引入以下函数γ（x）=x-Zxvγ（z）dz=v+Zxv（1）- γ（z））dz，x>v.（73）注意v<γ（x）6x。我们有以下表示Ut=Vt-那么我们有tu（a）=inf{t>0:Ut=a}=inf{t>0，Vt=g（Mt）}，（74）其中g（x）=x- γ（x）+a=Zxvγ（z）dz+a.（75）我们有一个6g（x）<x- v+a<x，因为γ（.）：[v，∞) → [0，1）。因此，我们可以看到方程（74）代表了Azema Yor停止时间。我们的目标是计算破产的预期时间TU（a）和直到破产的随机区域TU（a）b（Vs）ds。我们首先回顾一个引理。引理7（Pedersen和Peskir 1998的定理4.1）这里s>相对于运行的m最大过程m的初始值。如果g（s）<v6s，则E[τAY]=2S（s）- S（v）S（S）- S（g（S））Zvg（S）S（t）- S（g（S））σ（t）S（t）dt+2S（v）- S（g（S））S（S）- S（g（S））ZSV（s）- S（t）σ（t）S（t）dt+Z∞ss（t）S（t）- S（g（t））Ztg（t）S（r）- S（g（t））σ（r）S（r）dr！经验-Ztss（右）S（右）- S（g（r））博士dt）。（76）对于0<v6g（s），E[τAY]=0。对于含税的扩散风险模型，我们得到了破产时间的期望值和破产前的随机区域。命题6（含税的预期破产时间和破产面积）在（75）（i）中定义了预期的破产时间，其中税收isE[TU（a）]=2Z∞vs（t）S（t）-S（g（t））Ztg（t）S（r）- S（g（t））σ（r）S（r）dr！经验-Ztvs（右）S（右）- S（g（r））博士dt。（77）18 Zhenyu-Cui（ii）直到破产时间的预期随机区域，且税收isE“ZTU（a）b（Vs）ds#=2Z∞vs（t）S（t）- S（g（t））Ztg（t）b（r）（S（r）- S（g（t））σ（r）S（r）dr！经验-Ztvs（右）S（右）- S（g（r））博士dt。（78）对于（i）的证明，注意，U=V意味着我们考虑的情况是，运行最大值开始于过程V的相同初始值，即s=vin（69）。Takings=vin（76），我们得到表达式（77）。对于（ii），根据定理1（i），我们有Vt=XRtb（Vs）ds，P-a.s。

关于{06t<ζ}。定义TUX（a）=inf{t>0，xt6g（MXt）}，然后从定理1（iii）中，我们得到TUX（a）=RTU（a）b（Vs）ds，P-a.s.，以及max06u6TU（a）Vu=max06u6TUX（a）Xu，P-a.s。这与第（i）部分结合完成了证明。6结论和未来研究本文研究了时间均匀扩散和停止时间的随机区域。通过随机时间变化，我们明确地表达了随机区域的拉普拉斯变换，即相关扩散的本征函数。我们还根据尺度和速度密度明确地获得了随机区域的整数矩，并在时间齐次微分的情况下推广了Abundo 2013a 2013b的工作，因为他的方法需要在外部条件下求解部分微分方程。我们通过计算具有一般破产率函数的欧米茄风险模型的破产概率，推广了Gerber、Shiu和Yang 2012的工作，并获得了含税扩散风险模型中破产预期时间的显式表达式。未来的研究是将研究扩展到包含跳跃差异，如蔡和寇2011年提出的混合指数跳跃差异模型。参考文献Abundo M（2013a）跨越恒定障碍的扩散过程的第一个交叉区域。Arxiv工作文件，可在http://arxivorg/abs/12122592AbundoM（2013b）关于一维跳跃扩散过程的第一通道区域。应用中的方法和计算15（1）：85–103Albrecher H，Hipp C（2007）Lundberg的税务风险过程。Bl DGVFM 28（1）：13–28Albrecher H，Renaud J，Zhou X（2008）税收征收保险风险流程。Journalof Applied Probability 45（2）：363–375Albrecher H，Gerber H，Shiu E（2011）gammaomega模型中的最优红利屏障。

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