扩散的随机区域及其在风险理论中的应用

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英文标题：
《Stochastic areas of diffusions and applications in risk theory》
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作者：
Zhenyu Cui
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we study the stochastic area swept by a regular time-homogeneous diffusion till a stopping time. This unifies some recent literature in this area. Through stochastic time change we establish a link between the stochastic area and the stopping time of another associated time-homogeneous diffusion. Then we characterize the Laplace transform of the stochastic area in terms of the eigenfunctions of the associated diffusion. We also explicitly obtain the integer moments of the stochastic area in terms of scale and speed densities of the associated diffusion. Specifically we study in detail three stopping times: the first passage time to a constant level, the first drawdown time and the Azema-Yor stopping time. We also study the total occupation area of the diffusion below a constant level. We show applications of the results to a new structural model of default (Yildirim 2006), the Omega risk model of bankruptcy in risk analysis (Gerber, Shiu and Yang 2012), and a diffusion risk model with surplus-dependent tax (Albrecher and Hipp 2007, Li, Tang and Zhou 2013).
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中文摘要：
本文研究了正则时间齐次扩散到停止时间的随机区域。这结合了该领域的一些最新文献。通过随机时间变化，我们在随机区域和另一个相关时间齐次扩散的停止时间之间建立了联系。然后，我们用关联扩散的特征函数来描述随机区域的拉普拉斯变换。我们还明确地获得了随机区域的整数矩，即关联扩散的规模和速度密度。具体来说，我们详细研究了三种停止时间：第一次通过时间到恒定水平、第一次下降时间和Azema Yor停止时间。我们还研究了恒定水平下扩散的总占地面积。我们展示了这些结果在一个新的违约结构模型（Yildirim 2006）、风险分析中的Omega破产风险模型（Gerber、Shiu和Yang 2012）和一个具有盈余依赖税的扩散风险模型（Albrecher和Hipp 2007、Li、Tang和Zhou 2013）中的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：风险理论 Applications Differential Quantitative Application

Noname手稿编号（将由编辑插入）风险理论中的随机区Chenyu CuiReceived:date/Received:date摘要在本文中，我们研究了规则时间均匀扩散到停止时间的随机区。本书收录了该领域的一些最新文献。通过快速时间变化，我们在随机区域和另一个相关时间同质扩散的停止时间之间建立了联系。然后，我们用关联扩散的本征函数刻画了禁闭区域的空间变换。我们还明确地获得了随机区域的整数矩，即相关扩散的尺度和速度密度。具体而言，我们详细研究了三种停止时间：第一次通过时间达到恒定水平、第一次抽气停机时间和Azema Yor停止时间。我们还研究了恒定水平下的总居住面积。我们展示了这些结果在一个新的违约结构模型（Yildirim 2006）、风险分析中的Omega破产风险模型（Gerber、Shiu和Yang 2012）和一个具有盈余依赖税的扩散风险模型（Albrecher和Hipp 2007、Li、Tang和Zhou 2013）中的应用。JEL分类C02 C63 G12 G13数学学科分类（2000）60G44·91B70·91B25关键词时间均匀扩散·首次通过时间·发生时间·Azema Yor停止时间·Omega风险模型Z。我是通讯作者。纽约城市大学布鲁克林学院数学系，电话：+1718-951-5600，分机。

6892传真：+1718-951-4674电子邮件：zhenyucui@brooklyn.cuny.edu2崔振宇1简介由一个随机过程在停止时间内产生的随机区域具有直观的几何意义，已被应用于物理学、量子理论、数学金融、精算风险理论和图形计算问题中的“累积性质”对象的建模。Let（Vt）{t>0}表示潜在的随机过程。在排队理论中，如果vt表示时间t的队列长度，并用τl表示V到阈值l的第一次通过时间，τl是排队系统首次崩溃的时间（过流时间）。然后，V扫过的随机区域，直到τl代表所有用户经历的累积等待时间，直到系统溢出。在数学金融领域，信用风险建模有两种主要方法。结构应用程序roach（Merton 1974、Black和Cox 1976）假设，当企业资产的总价值首先低于其债务的面值时，就会发生违约事件。如果我们将企业的资产价值建模为差异V，那么默认时间是V到固定阈值的第一次通过时间。第二种是简化形式模型（Jarrow和Turnbull 1995，Duffee和Singleton 1999），其中默认值由外部确定的强度或补偿过程建模。默认时间是点过程的第一次跳转时间。最近，Yildirim 2006提出了第三种新方法，该方法使用了企业资产价值过程所扫过的随机区域的信息。默认时间是当低于保留水平的累积随机区域超过外生水平时。

这种具有随机区域的模型允许企业从财务困境中恢复，并且是灵活的。在精算风险理论或破产理论中，最近有人对使用低于常数水平的随机过程的总占用时间来模拟破产产生了兴趣。新模型被命名为“欧米茄风险模型”。欧米茄风险模型由Albrecher、Gerber和S hiu 2011首次引入，它区分了破产时间（负盈余面积超过特定水平）和破产时间（负盈余面积超过特定水平）一家公司的经理。在经典破产理论中，当一家公司的收益首次变为负值时，就会发生破产事件。欧米茄风险模型假设了更现实的情况，即即使有负盈余，公司仍然可以开展业务。破产时间与低于某个阈值l的企业价值V的总占用时间有关。此处为总占用时间∞{Vt<l}dt是一个特殊的随机区域，被积函数是一个指示函数。在应用概率文献中，有几篇论文提出研究随机过程直到停止时间所扫过区域的分布。更具体地说，Perman和Wellner 1996研究了标准布朗运动情况下随机区域的分布和矩。Kearney和Majumadar 2005，Kearney，Majumadar和Martin 2007将研究扩展到漂移布朗运动。Knight 2000考虑了一个反射布朗桥的案例。Janson 2007为该地区提供了一项调查，并将其与图表枚举中的Wright常数联系起来。最近，Abundo 2013b考虑了一维跳变差，并证明了直到第一次穿越时间为零的相关随机区域的空间变换和矩是具有外部条件的某些偏微分方程（PDDE）的解。

Abundo 2013a将类似结果推广到随机区域，直到首次通过时间达到非零水平。从Lehoczk y 1977的开创性论文开始，人们对扩散过程的下降/上升时间的研究持续感兴趣（Hadjiliadis and Vecer2006，Pospisil，Vecer and Hadjiliadis 2009，Zhang and Hadjiliadis（2010，2012））。关于这一领域的大量文献，请参考2010年的博士论文。截至首次提款时间的随机区域代表截至提款事件的累积固定资产价值，并反映金融危机期间一家公司的盈利能力和偿付能力。Azema-Yor停车时间是一种广义的停车时间，是许多最优停车问题（Graversen and Peskir 1997年、Pedersen 2005年、Shepp and Shiryaev 1993年）以及Skorokhodembedding问题（Obloj 2004年）的候选解。最近有一些文献对研究带有税的风险模型感兴趣：受运行的最大进程函数扰动的风险模型。Albrecher和Hipp 2007引入了复合泊松风险模型的固定税率。2013年，Li、Tang和Zhou在扩散风险模型中引入了与盈余相关的税率，并通过扩散过程的双边退出时间对公司的破产时间进行建模。参考Kyprianou和Ott 2012，了解相关文献。我们对当前的文献做出了三点贡献。首先，通过随机时间变化，我们将随机区域直到停止时间的研究与另一时间同质扩散的相关停止时间的研究联系起来，后者的漂移和扩散系数可以明确确定。这提供了一种研究随机区域的统一方法，并允许我们根据差异的特征函数来描述随机区域的拉普拉斯变换。

在一些例子中，我们可以明确地计算本征函数和拉普拉斯变换。我们为第一段区域的整数矩提供了一个明确的封闭形式公式，并扩展了Abundo 2013b、2013a中的方法，因为我们不需要求解相关的偏微分方程，而是求解Sturm-Liouville型普通微分方程（ODE）。有许多已知的例子，我们可以明确地解决theODE（见Borodin和Salminen 2002）。其次，我们用一般破产率函数ω（.）计算了破产概率和Omega风险模型中的预期破产时间。以前的文献考虑了ω（.）是常数或分段常数（Albrecher，Gerber and Shiu 2011，Gerber，Shiu and Yang 2012，以及Li and Zh ou 2013）。我们将文献扩展到更一般的破产率函数，这为建模提供了更多灵活性。第三，我们明确地计算了一个带有附加依赖税率的扩散风险模型中的预期破产时间。我们还明确描述了直到Azema Yor停止时间的预期随机区域，这代表了在某些最优停止问题（例如，Russian期权）中直到最优执行时间的累积固定值。本文的组织结构如下：第2节介绍了随机时间变化方法，并将随机区域的研究与另一种扩散的相关停止时间的研究联系起来。第3节考虑了扩散到恒定水平的第一次通过时间之前的随机区域。我们用相关微分的本征函数计算随机区域的拉普拉斯变换，并用尺度和速度密度表示其所有整数矩，作为一个明确的递归公式。

我们在Yildirim 2006年提出的新的默认结构模型中举例说明。第4节提供了仓促占用面积的拉普拉斯变换，并将其应用于计算一般破产率函数ω（.）的欧米茄风险模型中的破产概率。我们用一个具体的例子来说明。第5节计算了随机分布的4镇余-翠地区的拉普拉斯变换，直到一次扩散的第一次下降/上升时间。我们得到了一个带有盈余依赖项的扩散风险模型中破产预期时间的经验闭式公式。第六部分总结了本文的研究成果，并提出了未来的研究方向。2随机时间变化和随机区域，直到给定完全过滤概率空间的停止时间(Ohm, F、 状态空间J=（l，r），-∞ 6l<R6∞, 假设J值的微分V=（Vt）{t∈[0,∞)}满足SDEdVt=u（Vt）dt+σ（Vt）dWt，V=V∈ J.（1）其中W是Ft布朗运动，μ，σ：J→ R是满足恩格尔伯特-施密特条件的Borel函数十、∈ J、 σ（x）6=0，σ（·），u（·）σ（·）∈ Lloc（J），（2），其中Lloc（J）表示局部可积函数类，即函数J→ J的紧致子集上的稀有可积。该条件（2）保证SDE（1）具有唯一的定律弱解，该解可能存在于其状态空间J（见Theorem5.15，p341，Karatzas和Shreve 1991）。用ζ表示V从其状态空间的可能爆炸时间，即ζ=inf{u>0，Vu6∈ J} 这意味着{ζ=∞} V的轨迹不离开J，P-a.s.在{ζ<∞}, 我们有极限→ζVt=r或limt→ζVt=l。V的定义使其停留在其出口点，这意味着l和r是吸收边界。使用以下术语：V在r处退出状态空间J意味着P（ζ<∞, 极限→ζVt=r）>0。在下文中，λ（.）表示B（R）上的勒贝格测度。

设b是一个borel函数，使得λ（x∈ （l，r）：b（x）=0）=0，并假设以下局部可捕获性条件十、∈ J、 σ（x）6=0，b（·）σ（·）∈ Lloc（J）。（3） 引理1定义函数φt:=Rtb（Vu）du，对于t∈ [0, ζ]. 那么对于t来说，这是一个不减损且持续可微分的函数∈ [0，ζ]带正导数的EP-a.s.证据回忆b（.）是正的Borel函数，因此是0 6 t 6ζ的递增函数。对于t∈ [0，ζ），很明显这是一个连续函数，且在集合{ζ<∞} 遵循Dambis Dubins-Schwartz定理（参见定理4.6的证明，第175页，Karatzas和Shreve 1991）。此外，还要注意的是，φt表示为时间积分，因此与导数b（Vt）不同，后者是函数b（.）定义的正P-A.s。下面的结果是关于随机时间变化的，为了完整性，我们提供了它的证明。随机扩散区5定理1（Cui 2013年的定理3.2.1）假设条件（2）和（3）（i）定义τ（t）：=τt:=（inf{u>0:~nu∧ζ> t}，开0.6 t<ζ,∞, 在…上ζ6 t<∞.（4） 定义一个新的过滤Gt=Fτt，t∈ [0, ∞), 以及一个新的Gt适应过程Xt:=Vτt，on0.6 t<ζ. 然后我们得到了随机表示vt=XRtb（Vs）ds=X~nt，P- a、 在{06t<ζ}上。（5） 过程X是一个时间均匀的扩散，它在PdXt=u（Xt）b（Xt）{t下解出以下方程：∈[0，νζ）}dt+σ（Xt）b（Xt）{t∈[0，ηζ）}dBt，X=v.（6）式中，bt为顶部定义的Gt适应的Dambis-Dubins-Schwartz布朗运动。（ii）定义ζX:=inf{u>0:Xu6∈ J} ，然后ζX=ζζ=Rζm（Vs）ds，P-a.s.，我们可以重写SDE（6）asdXt=u（Xt）b（Xt）{t∈[0，ζX）}dt+σ（Xt）b（Xt）{t∈[0，ζX）}dBt，X=v。

（7） （iii）让τ表示Vt，t的一个Ftstopping时间∈ [0，ζ），则ττ：=Rτb（Vs）ds为停止时间，τX=ττ，P-a.s，其中τXis为Xt，t的相应停止时间∈ [0，ζX）.自λ（X）起的证明∈ (l, r） ：b（x）=0）=0，是[0，ζ]上的一个递增和连续函数，来自问题3.4.5（ii），Karatzas和Shreve 1991的第174页，ψτt∧ζ=t∧ νζ，P-a.s.0.6 t<∞. 在…上0.6 t<ζ, 当u=ζ时，ηζ∧ζ=ζζ>t根据假设保持P-a.s。然后，由于（4）中的定义，τt6ζ，P-a.s。因此φτt=t，P-a.s.开启0.6 t<ζ.在{0 6 s<ζ}上，选择t=νs，然后选择0 6 t<ηζ，P-a.s。将此t替换为过程X的定义，Xаs=Xt:=Vτt=Vτаs=Vs，P-a.s。对于最后的等式，注意τаs=inf{u>0:аu∧ζ> ~ns}=inf{u>0:u∧ζ>s}=s，P-a.s.，在{06s<ζ}上。然后我们证明了{0 6 s<ζ}上的表示Vs=X k s。对于满足关系式（5）的X，我们的目的是证明X满足SDE（6），其中B是Dambis Dubins-Schwartz布朗运动，适用于GT，构造如下：注th at Mt∧ζ=Rt∧ζb（Vu）dWu，t∈ [0, ∞) 是一个连续的局部鞅，具有二次变差∧ζ=Rt∧ζb（Vu）du，t∈ [0, ∞ ). 然后限制→∞~nt∧ζ=Фζ，P-a.s.。由于Фsat s=ζ的左连续性。根据Dambis-Dubins-Schwartz定理（Revuz和Yor 1999的Ch.V、定理1.6和定理1.7），存在τ=ζ，P-a.s在{τ>ζ}上。6Ohm,“Gt，”P）的(Ohm, Gt，P）和标准布朗运动“βon”Ohm与M无关，且β=0，因此过程bt:=（Rτtb（Vu）dWu，ont<ηζ,Rζb（Vu）dWu+eβt-ζ，开t>ηζ.（8） 是标准的线性Gt布朗运动。τt，t的构造∈ [ 0, ∞) 同意Karatzas和Shreve 1991年的问题3.4.5第174页。从问题3.4.5（ii）和构造（8）中，B~ns=Ms，P-a.s.{0.6s<ζ}。在{s=ζ}上，Bζ：=RζB（Vu）dWu+eβ=RζB（Vu）dWu=：Mζ，P-a.s。

因此，在{0 6 t 6ζ}上，B~nt=Mt，P-a.s。为了便于说明，表示u（.）=u(.)/b（.），和σ（.）=σ(.)/b（.）。将SDE从0整合到t（1）∧ ζVt∧ζ- V=Zt∧ζu（Vu）du+Zt∧ζσ（Vu）dWu=Zt∧ζu（Vu）b（Vu）du+Zt∧ζσ（Vu）b（Vu）dWu。（9） 应用变量变化公式，类似于问题3.4.5（vi），Karatzasand Shreve 1991的第174页，并注意关系（5）Zt∧ζu（Vu）b（Vu）du=Zt∧ζu（X k u）dаu=Zаt∧ζu（Xu）du，（10）和类似ZT∧ζσ（Vu）b（Vu）dWu=Zt∧ζσ（X k u）dBаu=Zаt∧ζσ（Xu）dBu（11），其中（11）中的第一个等式是由于{0 6 u 6 t上的关系Bu=Mu=Rub（Vs）dWs，P a.s∧ ζ} ，我们已经在上面建立了。也请注意代表∧ζ=Xаt∧ζ、 P-a.s.和V=X，然后Xаt∧ζ- X=Zаt∧ζu（Xu）du+Zаt∧ζσ（Xu）dBu（12）然后继续0.6秒6аt∧ζXs- X=Zsu（Xu）du+Zsσ（Xu）dBu。（13） 请注意，对于0.6 t<∞, 我们有∈ [0，νζ]、P-a.s.和（13），并回顾u（.）和σ（.），对于XdXs=u（Xs）b（Xs）{s，我们有以下SDE∈[0，νζ）}ds+σ（Xs）b（Xs）{s∈[0，νζ）}dBs，X=V=V。这就完成了陈述（i）的证明。陈述（ii）和（iii）是随机表示vt的直接结果∧ζ=Xаt∧ζ、 P——陈述（i）中的a.s.，因为φ是关于t的递增函数。这就完成了证明。随机扩散面积73到随机第一通过面积和动量在本节中，我们考虑（1）中扩散的双边退出时间与开放区间（a，c）J使得a<v<c.定义τx=inf{t>0:Vt=x}，x∈\'J，（14）其中 = ∞ 按照惯例。现在我们回顾一些关于扩散退出时间的经典理论。确定（1）s（x）中扩散V的标度密度：=exp-Zx。2u（u）σ（u）du, 十、∈\'J，（15）和比例函数isS（x）：=Zx。s（y）dy=Zx。经验-Zy。2u（u）σ（u）dudy，x∈J.（16）Darling和S iegert 1953年首次解决了微分过程V的双边退出问题的τa和τcof的拉普拉斯变换。