扩散的随机区域及其在风险理论中的应用

考虑以下Sturmlouville常微分方程σ（x）g′（x）+u（x）g′（x）=λg（x），λ>0，（17），从经典微分理论可以看出，（17）总是有两个独立的正解和凸解。这里我们表示递减解asg-,λ(.), 增加解为g+，λ（.）。基于这对解，定义辅助函数fλ（y，z）=g-,λ（y）g+，λ（z）- G-,λ（z）g+，λ（y），（18）我们有以下引理。我们有拉普拉斯[1952]和拉普拉斯[1953]的达林定理-λτa；τa<τc]=fλ（v，c）fλ（a，c），（19）和[e]-λτc；τc<τa]=fλ（a，v）fλ（a，c）。（20） 下面的结果给出了随机区域的拉普拉斯变换，直到第一个消息时间。参见Borodin和Salminen 2002，以获得一系列明确的差异示例。8当a<v<c，λ>0时，我们有以下拉普拉斯变换-λRτab（Vs）ds；τa<τc]=f*λ（v，c）f*λ（a，c），Ev[e-λRτcb（Vs）ds；τc<τa]=f*λ（a，v）f*λ（a，c）、（21）和f*λ（y，z）=g*-,λ（y）g*+,λ（z）- G*-,λ（z）g*+,λ（y），（22）式中g*-,λ(.) 和g*+,λ(.) 分别是下列Sturm-Liouville型常微分方程σ（x）b（x）g′（x）+u（x）b（x）g′（x）=λg（x），λ>0的递减解和递增解，（23）从定理1（i）证明，我们在{0 6 t<ζ}上有Vt=XRtb（Vs）ds，P-a.s。定义τXy=inf{t>0:Xt=y}，（24）然后根据定理1（iii），我们有τXy=Rτyb（Vs）ds，P-a.s。还注意到事件的等价性：{τa<τc}和nτXa<τXco。然后我们有了埃维-λRτab（Vs）ds；τa<τci=Ev[e-λτXa；τXa<τXc]；电动汽车-λRτcb（Vs）ds；τc<τa]=Ev[e-λτXc；τXc<τXa]，（25），我们将随机区域的研究转化为扩散X的首次通过时间的相关问题。注意，X也是（7）中给出的SDE的时间齐次扩散。然后（25）结合引理2完成证明。

备注1 Abundo 2013b的定理2.3提供了随机区域的拉普拉斯变换应满足的部分微分方程（PDDE）。在没有跳跃的情况下，Abundo 2013b（3.4）中的公式包括外部条件。我们的方法直接基于Darling和Siegert 1953年提出的经典微分理论，拉普拉斯变换用微分的奇异函数表示。他考虑了第一次通过时间达到0级的情况，我们将其推广到一个可能的非零常数。注：Abundo 2013a将首次通过时间考虑到可能的非零常数水平，但该方法仍然涉及解决与外部条件相关的PDDE（见Abundo 2013a的定理2.3，p5）。在接下来的讨论中，考虑双边出口时间τ=τa∧ τc，以及储层面积Aτ：=Rτb（Vs）ds。我们的目的是将随机区域的整数矩与（7）中带有SDE的扩散X的双边出口时间τ的矩联系起来。在（1）asm（x）=σ（x）s（x），x中定义扩散速度密度V∈\'J，（26）式中s（.）是（15）中定义的规模密度。首先用符号回忆一下下面的引理。随机扩散面积引理3（推论2.1，Wang and Yin 2008）定义了un（x）=Ex[τn]，然后存在以下递归关系un（x）=nS（x）- S（a）S（c）- S（a）Zcx（S（c）- S（y））un-1（y）m（y）dy+nS（c）- S（x）S（c）- S（a）Zxa（S（y）- S（a））un-1（y）m（y）dy，n=1，2。。。

（27）andEx[τ]=S（x）- S（a）S（c）- S（a）Zcx（S（c）-S（y））m（y）dy+S（c）- S（x）S（c）- S（a）Zxa（S（y）- S（a）m（y）dy（28）注释2→ -∞ 在（27）中，我们得到了关于VTC首次通过时间的矩的Siegert递推公式。对于随机区域的整数矩，我们得到了以下结果。提案2定义*n（x）=Ex[Rτb（Vs）dsn] =Ex[（Aτ）n]，则存在以下递归关系u*n（x）=nS（x）- S（a）S（c）- S（a）Zcx（S（c）- S（y））u*N-1（y）米*（y） dy+nS（c）- S（x）S（c）- S（a）Zxa（S（y）- S（a））u*N-1（y）米*（y） dy，n=1，2。。。（29）andEx[Aτ]=S（x）- S（a）S（c）- S（a）Zcx（S（c）- S（y））m*（y） dy+S（c）- S（x）S（c）- S（a）Zxa（S（y）- S（a））m*（y） 我在哪儿*（x） =2b（x）σ（x）s（x），x∈根据定理1（i）的证明，我们在{06t<ζ}上有Vt=XRtb（Vs）ds，P-a.s。定义τX=τXa∧ τXb，然后根据定理1（iii），我们得到τX=Rτb（Vs）ds，P-a.s。注意，X和V共享相同的标度密度，因为u（.）/b（.）σ(.)/b（.）=u(.)σ(.), 但微分X的速度密度是不同的，用m表示*（x） 在第30页。这与引理53结合完成了证明。备注3 Abundo 2013b推导了他论文第94页等式（3.5）中Aτ矩的递推常微分方程。这里，我们导出了所有积分矩在尺度和速度密度方面的显式递归关系，并且不需要求解常微分方程。Siegert 195110 Zhenyu Cui的等式（3.14）示例：新的违约结构模型中的几何布朗运动情况结构性应用程序roach to credit风险建模假设，当企业的资产总值首次低于其债务面值时，违约事件发生。简化形式方法假设默认由外生确定的强度或补偿过程建模，默认时间是点过程的第一次跳跃时间。

最近，Yildirim 2006提出了第三种新方法，该方法在企业资产价值过程中提取随机区域的信息。默认时间是指以下两个事件同时发生的时间：固定价值过程达到默认水平和随机区域，直到该达到时间超过外生水平。为了确定这种新结构模型的违约概率，我们需要确定随机区域的分布，直到第一次通过。如果我们将企业的资产价值建模为几何布朗运动，那么我们的目标是计算随机通道区域的拉普拉斯变换。假设Vt，t>0是状态空间J=（0）的几何布朗运动，∞)dVt=uVtdt+σVtdWt，V=V∈ J、 （31）其中u6=0。选择b（x）=x，控制扩散的SDE x isdXt=uXtdt+σdWt，x=v。（32）我们认为（32）是标准贝塞尔过程的SDE，并且Xt=σR（ν）t，t>0，其中R（ν）是指数为ν=2σ的标准贝塞尔过程-1.为了方便起见，我们假设2uσ>1，因此ν>0。根据经典的扩散理论，相关的ODE（23）有两个有趣的根本解决方案（Jeanblanc，Yor and Chesney，2009年，第6.2.3.1号提案，第345页）：g*+,λ（x）=cIν-2（x）√2λ）x1-ν; G*-,λ（x）=cKν-2（x）√2λ）x1-ν、 x∈带两个常数c的J，（33），其中I（.）和K（.）分别是第一类和第二类的修正贝塞尔函数。计算辅助函数ss（x）=cx-ν-1，S（x）=-cx-νν，m*（x） =c2xν+1σx∈\'J，（34）式中，cis为常数。

从命题1，我们可以计算-λRτab（Vs）ds；τa<τc]=弗吉尼亚州1.-νKν-2（v）√2λ）Iν-2（c）√2λ) - Kν-2（c）√2λ）Iν-2（v）√2λ）Kν-2（a）√2λ）Iν-2（c）√2λ) - Kν-2（c）√2λ）Iν-2（a）√2λ），andEv[e-λRτcb（Vs）ds；τc<τa]=风险投资1.-νKν-2（a）√2λ）Iν-2（v）√2λ) - Kν-2（v）√2λ）Iν-2（a）√2λ）Kν-2（a）√2λ）Iν-2（c）√2λ) - Kν-2（c）√2λ）Iν-2（a）√2λ).随机区域的第一个时刻如下所示。电动汽车Zτb（Vs）ds=νx（c）-ν- A.-ν) - νac（c）-ν-2.- A.-ν-2) - νx-ν（c）- a） （c）-ν- A.-ν） σ（ν+2）和其他高阶矩可以类似地从命题2中得到。经典破产理论假设，当公司盈余为负时，破产将在第一时间发生。有关这方面的文献，请参阅toGerber and Shiu 1998。最近，一系列论文提出并研究了一个新的破产概念，从Albrecher、Gerber和Shiu 2011开始。他们创造了“欧米茄风险模型”，在这个模型中，负盈余和破产（停业）是有区别的。即使在负盈余的时期，公司仍在继续经营，他们引入了破产率函数ω（x），其中x表示负盈余的价值。ω（.）可以被视为破产强度，对于x60，ω（x）dt是不含时间单位的破产概率。假设公司的价值由时间同质差异Vt，t建模∈ [0，ζ）和SD E（1），并假设状态空间是J=（l，r）和-∞ 6L<R6∞. 假设公司的初始价值满足v>0。如果我们在相同的概率空间上引入一个辅助的“破产监控”过程N（可能会扩大过滤），并假设条件为V，N遵循一个泊松过程，其状态依赖强度ω（Vt）1{Vt<0}，t>0。

然后我们将破产时间τω定义为泊松过程N的首次到达时间，即τω：=inft>0:Ztω（Vs）1{Vs<0}ds>e, （35）式中，eis是一个单位费率的独立指数随机变量。定义eλ是另一个独立的指数随机变量，其速率为λ。我们可以用v[e]来表示破产时间的平面变换-λτω]=Pv（τω<eλ）=1- 埃弗-Reλω（Vs）1{Vs<0}dsi。（36）对于λ>0。与Gerber、Shiu和Yang 2012中类似，定义（总）暴露量asE:=Z∞ω（Vs）1{Vs<0}ds。（37）设λ→ 在（44）中，我们可以用ψ（v）=P（τω<∞ | V=V=1- 埃弗-R∞ω（Vs）1{Vs<0}dsi=1- 电动汽车-E] ，（38）在文献中，人们考虑了以下特殊情况（见第4节，Gerber，Shiu和Yang 2012）：（i）ω（x）=c，带有常数c；（ii）ω（x）=ηk，ifck-1<x<ck，k=1，2。。。，n表示常数c=-∞ < c<…<cn-1<cn=0；（iii）ω（x）=-ηx，对于某些η>0的情况，x<0。凭直觉，（37）表示“随机占用面积”，它测量位于零级下的V的样本路径扫过的面积。这促使我们研究一般情况，并假设任意破产率函数，如ω（x）的假设李和周2013也采用分段常数。在这种情况下，Gerber、Shiu和Yang 2012成功地用艾里函数表示了破产概率，但这仅在他们设定的固定值Vas建模中是可能的，这是一种带漂移的算术布朗运动。12郑玉翠认为ω（x）>0，x60，ω（x）=0，x>0和ω（.）是一种逐渐减少的乐趣。

从（38）中，为了计算bankru ptcy的概率，我们的目标是计算总曝光量e的拉普拉斯变换。根据（17）中ODE的解，确定λ>0ψ±λ（x）=±g′，λ（x）g±，λ（x），x的一对拉普拉斯指数∈J，（39）根据ODE（17）解的性质，我们得到了（见Li和Zhou 2013）ψ-（x） =s（x）R∞xs（y）dy和ψ+（x）=s（x）Rx-∞s（y）dy，（40）回想一下2013年李和周的以下结果。v>0Evhe的引理4（李和周2013的推论3.2）-λReδ{Vs<0}dsi=g-,δ（v）g-,δ(0)δδ+λψ+δ+λ(0) + ψ-δ(0)ψ+δ+λ(0) + ψ-δ(0)+ 1 -G-,δ（v）g-,δ（0），（41）对于v6 0，Evhe-λReδ{Vs<0}dsi=g+，δ+λ（v）g+，δ+λ（0）δδ+λψ+δ+λ（0）+ψ-δ(0)ψ+δ+λ(0) + ψ-δ(0)+δδ + λ1.-g+，δ+λ（v）g+，δ+λ（0）.（42）从李和周2013召回函数g的以下属性-,δ（x）asδ→ 0+.G-,0（x）=1，如果∞xs（y）dy=∞;G-,0（x）=Z∞x（y）dy，ifZ∞xs（y）dy<∞. （43）现在通过→ 在上面的（41）和（42）中，我们有引理5表示v>0，如果(∞) < ∞, 然后呢-λR∞{Vs<0}dsi=1-R∞vs（y）dyR∞s（y）dyψ+λ（0）ψ+λ（0）+ψ-（0），（44）以及(∞) = ∞, 然后呢-λR∞{Vs<0}dsi=ψ-(0)ψ+λ(0) + ψ-（0），（45）对于v<0，Evhe-λR∞{Vs<0}dsi=g+，λ（v）g+，λ（0）ψ-(0)ψ+λ(0) + ψ-(0). （46）由于紧区间[0，v]上的s（y）>0，v>0（或[v，0]，v<0），R∞vs（y）dy<∞相当于S(∞) =R∞s（y）dy<∞. 另一种情况也是如此。随机扩散面积13对于（7）中含有SDE的扩散X，从（23）中相关Sturmlouville方程的解中，我们定义了一对λ>0ψ±的拉普拉斯表达式，*λ（x）=±g′，*±，λ（x）g*±，λ（x），x∈根据常微分方程（23）解的性质，我们得到ψ-,*（x） =s（x）R∞xs（y）dy和ψ+，*（x） =s（x）Rx-∞s（y）dy，（48）注意ψ±，*（x） =ψ±（x），因为V和x的差异具有相同的标度s（.）。然而，ψ±，*λ（x）6=ψ±λ（x），λ一般大于0。

下面的结果给出了总占地面积的拉普拉斯变换。v>0的命题3，如果S(∞) < ∞, 然后呢-λR∞b（Vs）1{Vs<0}dsi=1-R∞vs（y）dyR∞s（y）dyψ+，*λ(0)ψ+,*λ(0) + ψ-,*（0），（49）以及(∞) = ∞, 然后呢-λR∞b（Vs）1{Vs<0}dsi=ψ-,*(0)ψ+,*λ(0) + ψ-,*（0）、（50）对于v6 0，Evhe-λR∞b（Vs）1{Vs<0}dsi=g*+,λ（v）g*+,λ(0)ψ-,*(0)ψ+,*λ(0) + ψ-,*(0). （51）根据定理1（i）的证明，我们在{06t<ζ}上有Vt=XRtb（Vs）ds=Xаt，P-a.s。由于我们假设l和r是吸收边界，因此可以理解为atRtb（Vs）ds=rζb（Vs）ds，P-a.s.on{∞ > t>ζ}。这样我们就有了∞b（Vs）1{Vs<0}ds=Rζb（Vs）1{Vs<0}ds，P-a.s.采用与问题3类似的变量变化公式。4.5（vi），Karatzas和Shreve 1991的第174页，我们有Zζb（Vs）1{Vs<0}ds=Zζ{X k s<0}d k s=Z kζζ{Xu<0}du=ZζX{Xu<0}du P-a.s（52），最后一个等式是由于定理1（ii）。这与引理5一起应用于微分X完成了证明。注4：将破产率函数取为ω（x）=b（x），x<0，然后从（38）中，我们可以通过（23）中Sturm-Liouville ODE解的组合定义的辅助函数来获得破产概率。14 Zhenyu CuiAn显式示例与一般破产率函数：现在我们展示一个可以显式计算破产概率的示例。假设公司价值的th建模为以下SDE，状态空间J=(-∞, ∞)dVt=uVtdt+VtdWt，V=V∈ J、 （53）和u6=0。命题4对于破产率函数ω（x）=x，x<0和ω（x）=0，x>0的（53）中的微分V，我们得到破产概率由ψ（V）给出=√u+2-u√u+2+ue-2uv，如果v>0，则u>01-2u√u+2+ue-2uv，如果v6 0，u>01，u<0（54）备注5对于（53）中的差异v所模拟的公司价值，从上述结果我们可以看出，如果u<0，它最终将以1的概率破产。

对于u>0，我们可以明确确定破产概率。根据定理1证明，控制微分的SDE X isdXt=udt+dWt，X=v.（55）或等效的Xt=v+Wt+ut。根据经典微分理论，相关的ODE（23）有两个基本解g*±，λ（x）=eβ±λ，x∈其中β±λ=-u±pu+2λ。我们还可以计算（x）=1- E-2ux2u；ψ±,*λ（x）=±β±λ。（57）对于v>0，如果u>0，我们有S(∞) < ∞. 取λ=1，然后从命题3Evhe开始-R∞b（Vs）1{Vs<0}dsi=1- E-2uvψ+，*(0)ψ+,*(0) + ψ-,*(0)= 1 -(-u+pu+2）e-2uvu+pu+2，（58）如果u60，我们有(∞) = ∞, 然后是3Evhe提案-R∞b（Vs）1{Vs<0}dsi=ψ-,*(0)ψ+,*(0) + ψ-,*(0)= 0. （59）很明显ω（.）为非负，x<0时递减，符合实际应用。在我们的符号中，我们将有b（x）=ω（x）=x。对于v60，如果u>0，我们有S(∞) < ∞ 安第夫-R∞b（Vs）1{Vs<0}dsi=g*+,λ（v）g*+,λ(0)ψ-,*(0)ψ+,*(0) + ψ-,*（0）=2ue-2uvu+pu+2。（60）如果u6 0，我们有(∞) = ∞ 安第夫-R∞b（Vs）1{Vs<0}dsi=0。（61）上述计算结合（38）完成了证明。5.假设股票价格由（1）中给出的一个规则时间齐次微分来建模。表示Mt=sup06u6tVu为股票价格的运行最大值。单位的首次下降时间定义为τDD=inf{t>0:Mt- Vt>a}。（62）在金融市场低迷（如2008年金融危机）期间，该停止时间对股票价格建模非常重要，并且是一些投资组合优化问题的固有约束。提取约束允许我们将风险态度编码到投资组合优化问题中，具有实践和理论意义。

1993年，格罗斯曼和周在一个连续的时间框架内首次介绍了该方法，1995年，Cvitanic和Karatzas以及2013年Cherny和Obloj对其进行了研究。开创性的论文Lehoczky 1977提供了一个封闭形式的表达式，用于第一次下降时间和第一次下降时间的运行最大停止时间的联合变换。引理6（方程式（4），Lehoczky 1977的p602）τd和Mτd的联合拉普拉斯变换[e]-αMτDD-βτDD]=Z∞E-αu-鲁德（z）dzc（u）杜。（63）对于α，β>0，其中d（z）=g（z）- a） h′（z）- h（z）- a） g′（z）g（z）-a） h（z）- g（z）h（z）- a） )；c（x）=g（x）h′（x）- g′（x）h（x）g（x）- a） h（x）- g（x）h（x）- a） 。（64）这里是g（）和h（.）以下是与扩散V相关的Sturm Liouvill eODE的两种独立解决方案。σ（x）f′（x）+u（x）f′（x）=βf（x），x∈ [-A.∞). （65）表示直到单位asRτDDb（Vs）ds的第一次水位下降时间的随机区域。与上述类似，我们可以导出MτDDandRτDDb（Vs）ds的联合拉普拉斯变换。16 Zhenyu Cui5命题MτDDandRτDDb（Vs）ds-isE[e]的联合拉普拉斯变换-αMτDD-βRτDDb（Vs）ds]=Z∞E-αx-Rxd*（z） dzc*（x） dx。（66）对于α，β>0，其中*（z） =g*（z）-a） h′*（z）- H*（z）-a） g′*（z） g*（z）-a） h*（z）- G*（z） h*（z）- a） )；C*（x） =g*（x） h′*（十）- g′*（x） h*（x） g*（十）- a） h*（十）- G*（x） h*（十）-a） 。（67）这里是g*（.）和h*（.）是下列方程的任意两个独立解σ（x）b（x）f′（x）+u（x）b（x）f′（x）=βf（x），x∈ [-A.∞). （68）根据定理1（i）的证明，我们在{06t<ζ}上有Vt=XRtb（Vs）ds，P-a.s。定义τXDD=inf{t>0:max06u6text- 然后从定理1（iii）出发，我们得到了τXDD=RτDDb（Vs）ds，P-a.s.，和max06u6τDDVu=max06u6τXDDXu，P-a.s。这与引理6结合完成了证明。Azema和Yor 1979引入了一类简单的局部鞅，并提出了Skorokhod嵌入问题的一种解决方案。