限额订单簿中的交易到达动态和报价不平衡

（9） 极坐标中的解是简单的，P（~n）=~n/$，在原始坐标系中的形式为P（x，y）=1.-arctan（q1+ρxy1）-ρxyy-xy+x）弧坦（q1+ρxy1-ρxy）. （10） 这是一个马尔可夫订单在DiffusiveLimit向上移动的概率。4.增加交易到达动态为了捕捉买卖队列和交易到达的联合动态，我们引入了另一个随机过程来模拟账簿近端的交易到达（执行买入指令的经纪人的买入端，或卖出指令的询问端）：（dqb，dqa，dφ）=（dwb，dwa，dwφ）（11）过程φ与可观察的市场不对应。然而，与我们的买卖排队模型类似，我们假设每当φ穿过原点时，新的交易会击中近端。在这个扩展的三维模型中，排队过程现在完全由账簿中限额订单的添加和取消驱动，直到交易到达，而近端交易到达的时间由φ过程控制。更重要的是，通过引入随机过程dwb、dwa和dwφ之间的相关性，我们可以模拟账面失衡、订单流量和价格变化之间的关系。引入未观测到的扩散过程dwφ来模拟贸易到达，从而产生了一个非马尔可夫模型。与二维情况一样，我们假设一旦队列耗尽或交易到达，过程wφ将重新启动，其值φ表征了交易到达时间分布。该模型参数可通过校准确定。在执行计划的动态优化过程中，需要考虑有利和不利价格变动以及交易到达账面附近的相对可能性。

根据上述模型，这些事件响应于穿过正正正态的三维随机过程（qb，qa，φ）。下面，我们根据队列状态和交易过程φ的值计算这些市场事件的概率。在上一节中，我们确定了x和y坐标与控制出价和询问队列大小的流程，以及z坐标与流程的级别φ。命中概率的等式为：Pxx+Pyy+Pzz+ρxyPxy+ρxzpxx+ρyzPyz=0，（12）其中ρxy是控制买卖队列的过程之间的相关性，ρxzandρyz是这些过程与控制近端交易到达的过程之间的相关性。不同的事件由P的边界条件确定，该边界条件在与所考虑的市场事件对应的平面上设置为1，在所有其他边界上设置为0。例如，在任何价格变动之前的近端交易概率对应于边界条件sp（x，0，z）=0，P（0，y，z）=0，P（x，y，0）=1。（13） 与二维情况一样，可以通过坐标变化消除wb、dwa和φ之间的相关性α（x，y，z）=xβ（x，y，z）=(-ρxyx+y）p1- ρxyγ（x，y，z）=（ρxyρyz）- ρxz）x+（ρxyρxz- ρyz）y+（1- ρxy）zp1- ρxyp1- ρxy- ρxz- ρyz+2ρxyρxzρyz，（14）得出等式Pααα+Pββ+Pγ=0。（15） 然后我们通过转换将问题转换成一组方便的曲线坐标α=r sinθsinаβ=r sinθcosаγ=r cosθ←→r=pα+β+γθ=arccosγr~n=阿尔坎特αβ（16） 产生修正的问题sinθP k~n+sinθθ（sinθPθ）=0，（17），近边贸易的边界条件为sp（0，θ）=0，P（$，θ）=0，P（Θ，Θ（Θ））=1。（18） 引入球坐标后的新积分域如图4所示。

通过引入一个外变换ζ=ln tanθ/2（19），可以进一步简化问题（17），它将积分域改变为半有限条带0≤ φ ≤ $, ζ ≤Z（φ），并将扩散方程（17）转化为公式Pаа+Pζζ=0。（20） 在这个域中，近边贸易边界条件为P（0，ζ）=0，P（$，ζ）=0，P（а，Z（а））=1。（21）满足前两个边界条件（21）的问题（20）的解可以表示为广义傅里叶级数[10]：Θ（Θ）θ$P=0P=0P=1αβγαβP=1P=0Θ图4：二维（左）和三维模型（右）的积分域。所示的边界条件对应于二维情况下的涨价运动，以及三维情况下的近边交易。P（η，ζ）=∞Xn=1con（kn~n）eknζ（22），kn=πn$。膨胀系数Cn可以通过执行（21）中的第三边界条件来确定。为了计算系数，我们引入了积分jmn=$^sin（km k）sin（kn k）e（kn+km）Z（k）dа（23）Im=$^sin（kmа）ekmZ（а）dа（24），然后（18）中的第三个边界条件变成了矩阵方程xnjmncn=Im，（25），系数cnc可以通过矩阵求逆计算为c=J-1I。当边界ζ=Z（）近似为线性时，可以解析计算积分Im和jmnca。图5显示了近端交易到达过程与买卖队列大小不相关的情况下的解决方案，即ρxz=ρyz=0。

总之，对于给定的初始值x，y，z和相应的相关性，我们有一种半解析方法来计算概率P（φ，θ）或等价的P（x，y，z）。图5：问题（17）在φ，θ空间中的PDE解决方案，美元=1.2，以及（18）中的边界条件。5校准我们通过联合校准模型，以图2所示的平均中间价格移动，以及图3中总结的价格移动和贸易到达的经验概率。上一节中显示，模型概率由账面不平衡（买卖队列的相对大小）、交易到达过程的初始位置φ和相关矩阵ρ的三个元素决定。账面不平衡是市场可观察的，剩余的四个参数将通过校准过程进行估计。如前一节所述，模型概率以半解析方式计算。通过分析方法无法轻松计算价格变化对交易到达所确定的停止时间的预期，而是使用蒙特卡罗模拟。我们根据VOD价格变动的经验概率对模型进行了校准。L 2012年第一季度的所有交易日。结果如图6和图7所示。根据其他液体储存的数据进行校准，结果在质量上相似。我们注意到，该模型再现了平均中间价变动之间的差距，直到达成买入或卖出交易。差距由相关矩阵ρ控制，尤其是由交易到达过程和买卖队列过程之间的两个相关性控制。这种以贸易为条件的平均价格变动的变化可以被解释为被动融资的预期下滑。

在执行订单时，经纪人通常会在近端对总数量进行折扣，以节省部分差价。然而，在衡量进取型和被动型融资所实现的平均价格差异时，我们发现被动型融资很少能实现预期的一次全价差节约。虽然这种影响的一部分通常归因于逆向选择（即，其他市场参与者在近端过账时利用经纪人提供的时间的能力），但asour模型预测，近端过账订单的下滑也是由于队列消耗和交易流之间的相互作用。在本文所述的校准中，仅此一项影响就导致被动式过滤器捕获的理论扩散损失约60%。图6还比较了买入或卖出交易的经验和模型得出的平均到达时间与账面失衡的关系。该模型捕捉了中等账面不平衡值的经验形状的总体特征，但在再现极端账面不平衡值下到达时间的急剧减少方面，该模型并不准确。最后，我们注意到该模型能够重现事件概率的经验形状。如图7所示，当书向近侧变重时，价格出现不利变动的可能性增加，在高度不平衡的情况下，几乎达到90%。知道了这一点，经纪人可以决定将订单张贴在近端，以获得适度的不平衡值，并在一个高度不平衡的账簿中跨越价差。得出这样的最优扩散交叉策略是留给未来的工作。图6：根据买卖价差和交易到达时间作为账面不平衡的函数进行标准化的经验和模型得出的平均中间价变动。

校准的相关值为ρxz=-ρyz=0.8，ρxy=-结论我们分析了交易到达的微观结构及其与限额订单状态的关系。我们从经验上观察到，图7中的交易到达时间：首次发生市场事件的经验和校准模型概率。在当前近侧获得被动填充的概率由红色虚线表示。在等待融资时，价格向有利于经纪人的方向移动的概率用一条红线表示，价格向有利于经纪人的方向移动的概率用一条蓝线表示。在阿吉文一方达成交易之前，近端和中间价的动态很大程度上取决于订单簿的不平衡。我们引入了一个随机模型，该模型考虑了账簿顶部订单队列的流程与账簿近端交易到达的流程之间的相关性。我们能够以半解析的形式计算价格变动和贸易到达的概率。这使我们能够根据经验概率对模型进行有效校准。由于该模型捕获了交易到达概率对订单不平衡的依赖性，因此可用于构建最优订单执行策略。感谢Iona Savescu进行了许多有见地的讨论和评论。参考文献[1]R.Almgren、C.Thum、H.L.Hauptmann和H.Li。股票市场的影响。《风险》，2005年18:57。[2] M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价指令簿中进行高频交易。《定量金融》，2008年8:217–224。[3] E.Bacry和J.F.Muzy。价格和交易高频动力学的霍克斯模型。《暹罗金融数学杂志》，提交至2013年。[4] J-P.Bouchaud、J.D.Farmer和F.Lillo。市场如何慢慢消化供求变化。

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