自适应套索的Oracle性质和有限样本推断

由于Rn是凸的，且R具有唯一的最小值，因此它遵循Geyer（1994）的thatarg min（Rn）=√n（^θAL，λn）- θ*) →达格敏（右）。证据到此结束。蒙特卡罗模拟：设置1面板A：活动变量ρ的经验覆盖率*= 0.3 ρ*= 0.1 γ*= 0.3 γ*= 0.1 β*= 0.3 β*= 0.1n=800 0.9408 0.9234 0.9478 0.9184 0.9404 0.9158n=1600 0.9482 0.9400 0.9476 0.9258 0.9434 0.9284ρ*= 0.3 ρ*= 0.1 γ*= 0.3 γ*= 0.1 β*= 0.3 β*= 0.1n=800 0.9458 0.9496 0.9496 0.9452 0.9424 0.9456n=1600 0.9508 0.9530 0.9500 0.9446 0.9454 0.9472面板B：拒绝零假设的经验频率Hρ*= 0.3 ρ*= 0.1 ρ*= 0 ρ*= 0 ρ*= 0n=800 1.0000 0.7806 0.0292 0.0302 0.0240n=1600 1.0000 0.9744 0.0248 0.0206 0.0236γ*= 0.3 γ*= 0.1 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0n=800 1.0000 0.7318 0.0318 0.0288 0.0268n=1600 1.0000 0.9488 0.0254 0.0280 0.0220β*= 0.3 β*= 0.1 β*= 0 β*= 0 β*= 0n=800 1.0000 0.7300.0318 0.0288 0.0268n=1600 1.0000 0.9566 0.0240 0.0250 0.0252表1：数据根据模型（1）生成，具有高斯新息。模拟样本大小分别为n=800和n=1600，结果基于n=5000模拟。在A组中，我们报告了参数ρ的0.95置信区间的经验平均值*= γ*= β*= 0.3和ρ*= γ*= β*= 0.1. 在顶部面板中，我们应用定理3.1中的结果，没有偏差项^bAAL。在底部面板中，我们使用偏差修正极限分布代替。在B组中，我们总结了否定零假设H0，i:θ的经验频率*相对于备选方案H1，i=0，i:θ*i6=0，i=1，p、 使用推论4.1中的结果，显著水平α=0.05。在顶部、第二和底部面板中，我们考虑ρ*i、 γ*I和β*i、 i=1。

，分别为5。蒙特卡罗模拟：设置2面板A：活动变量ρ的经验覆盖率*= 0.3 ρ*= 0.1 γ*= 0.3 γ*= 0.1 β*= 0.3 β*= 0.1n=800 0.9442 0.9322 0.9392 0.8984 0.9396 0.8996n=1600 0.9462 0.9418 0.9444 0.9256 0.9422 0.9280ρ*= 0.3 ρ*= 0.1 γ*= 0.3 γ*= 0.1 β*= 0.3 β*= 0.1n=800 0.9464 0.9486 0.9424 0.9196 0.9432 0.9180n=1600 0.9492 0.9516 0.9458 0.9442 0.9482 0.9454面板B：拒绝零假设的经验频率Hρ*= 0.3 ρ*= 0.1 ρ*= 0 ρ*= 0 ρ*= 0n=800 1.0000 0.7630 0.0384 0.0354 0.0356n=16001.0000 0.9674 0.0314 0.0270 0.0292γ*= 0.3 γ*= 0.1 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0n=800 1.0000 0.5436 0.0366 0.0388 0.0398n=1600 1.0000 0.8210 0.0346 0.0342 0.0302β*= 0.3 β*= 0.1 β*= 0 β*= 0 β*= 0n=800 1.0000 0.5370 0.0394 0.0344 0.0390n=1600 1.0000 0.8248 0.0338 0.0358 0.0334表2：数据根据模型（1）生成，带有T~iidt。模拟样本量为n=800和n=1600，结果基于n=5000模拟。在A组中，我们报告了参数ρ的0.95置信区间的经验覆盖率*= γ*= β*= 0.3和ρ*= γ*= β*= 0.1. 在上图中，我们应用定理3.1中的结果，没有偏差项^bAAL。在底部面板中，我们使用了biascorrected limit distribution。在B组中，我们总结了否定零假设0，i:θ的经验频率*相对于备选方案H1，i=0，i:θ*i6=0，i=1，p、 使用推论4.1中的结果，显著水平α=0.05。在顶部、第二和底部面板中，我们考虑ρ*i、 γ*I和β*i、 i=1。

，分别为5。蒙特卡罗模拟：设置3面板A：活动变量ρ的经验覆盖率*= 0.3 ρ*= 0.1 γ*= 0.3 γ*= 0.1 β*= 0.3 β*= 0.1n=800 0.9346 0.9168 0.9436 0.9060 0.9418 0.9088n=1600 0.9430 0.9306 0.9438 0.9270 0.9454 0.9274ρ*= 0.3 ρ*= 0.1 γ*= 0.3 γ*= 0.1 β*= 0.3 β*= 0.1n=800 0.9386 0.9288 0.9480 0.9308 0.9434 0.9316n=1600 0.9450 0.9442 0.9452 0.9456 0.9492 0.9472面板B：拒绝零假设的经验频率Hρ*= 0.3 ρ*= 0.1 ρ*= 0 ρ*= 0 ρ*= 0n=800 1.0000 0.5460 0.0438 0.0380 0.0420n=1600 1.0000 0.7872 0.0406 0.0338 0.0360γ*= 0.3 γ*= 0.1 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0n=800 1.0000 0.6640 0.0310 0.0338 0.0328n=1600 1.0000 0.9096 0.0292 0.0262 0.0268β*= 0.3 β*= 0.1 β*= 0 β*= 0 β*= 0n=800 1.0000 0.6686 0.0372 0.0316 0.0356n=1600 1.0000 0.9092 0.0268 0.0324 0.0288表3：数据根据模型（1）生成，误差项遵循具有TDI分布创新的GARCH过程。模拟样本量为n=800和n=1600，结果基于n=5000模拟。在面板A中，我们报告了参数ρ0.95置信区间的经验覆盖率*= γ*= β*= 0.3和ρ*= γ*= β*= 0.1. 在顶部面板中，我们应用定理3.1中的结果，没有偏差项^bAAL。在底部面板中，我们使用偏差修正极限分布。在专题讨论B中，我们总结了否定零假设H0，i:θ的经验频率*i=0与备选值h1相比，i:θ*i6=0，i=1，p、 使用推论4.1中的结果，显著水平α=0.05。在顶部、第二和底部面板中，我们考虑ρ*i、 γ*I和β*i、 i=1。

，分别为5。蒙特卡罗模拟：设置4面板A：活动变量ρ的经验覆盖率*= 0.9 γ*= 0.6 γ*= 0.5 γ*= 0.4 γ*= 0.3 γ*= 0.2 γ*= 0.1n=800 0.9442 0.9392 0.9456 0.9422 0.9462 0.9352 0.9094n=1600 0.9454 0.9464 0.9412 0.9470 0.9428 0.9400 0.9248ρ*= 0.9 γ*= 0.6 γ*= 0.5 γ*= 0.4 γ*= 0.3 γ*= 0.2 γ*= 0.1n=800 0.9438 0.9410 0.9492 0.9434 0.9532 0.9442 0.9450n=1600 0.9460 0.9474 0.9428 0.9474 0.9450 0.9434 0.9454面板B：拒绝零假设的经验频率Hρ*= 0.9 γ*= 0.6 γ*= 0.5 γ*= 0.4 γ*= 0.3 γ*= 0.2 γ*= 0.1n=800 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.7278n=1600 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9572γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0n=800 0.0332 0.0300 0.0284 0.0334 0.0270 0.0320 0.0322n=1600 0.0240 0.0200 0.0258 0.0204 0.0212 0.0202 0.0222γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0n=800 0.0308 0.0300 0.0278 0.0336 0.0350 0.0264 0.0316n=1600 0.0224 0.0254 0.0228 0.0210 0.0228 0.0210 0.0218表4：数据根据模型（1）生成，具有高斯新息。模拟样本大小分别为n=800和n=1600，结果基于n=5000模拟。在A组中，我们报告了活动变量的0.95置信区间的经验平均值。在顶部面板中，我们应用理论3中的结果。1没有偏差项^bAAL。在底部面板中，我们使用偏差修正极限分布。在专题讨论B中，我们总结了否定零假设H0，i:θ的经验频率*i=0与备选值h1相比，i:θ*i6=0，i=1。

，p，使用推论4.1中的结果，显著水平α=0.05。蒙特卡罗模拟：设置5面板A：活动变量ρ的经验覆盖率*= 0.9 γ*= 0.6 γ*= 0.5 γ*= 0.4 γ*= 0.3 γ*= 0.2 γ*= 0.1n=800 0.9456 0.9358 0.9354 0.9396 0.9380 0.9340 0.9022n=1600 0.9506 0.9438 0.9444 0.9478 0.9432 0.9420 0.9180ρ*= 0.9 γ*= 0.6 γ*= 0.5 γ*= 0.4 γ*= 0.3 γ*= 0.2 γ*= 0.1n=800 0.9460 0.9434 0.9428 0.9434 0.9396 0.9420 0.9158n=1600 0.9504 0.9472 0.9498 0.9516 0.9486 0.9520 0.9474面板B：拒绝零假设的经验频率Hρ*= 0.9 γ*= 0.6 γ*= 0.5 γ*= 0.4 γ*= 0.3 γ*= 0.2 γ*= 0.1n=800 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9808 0.5286n=1600 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.8130γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0n=800 0.0290 0.0348 0.0338 0.0284 0.0344 0.0284 0.0328n=1600 0.0242 0.0252 0.0276 0.0226 0.0242 0.0262 0.0276γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0 γ*= 0n=800 0.0322 0.0348 0.0290 0.0292 0.2882 0.0306 0.0286n=1600 0.0238 0.0258 0.0300 0.0282 0.0256 0.0262 0.0284表5：数据根据模型（1）生成，带有GARCH误差项和相关协变量。模拟样本量为n=800和n=1600，结果基于n=5000模拟。在A组中，我们报告了活动变量0.95置信区间的经验覆盖率。在toppanel中，我们应用定理3.1中的结果，没有偏差项^bAAL。在底部面板中，我们使用偏差修正极限分布代替。在B组中，我们总结了否定零假设H0，i:θ的经验频率*相对于备选方案H1，i=0，i:θ*i6=0，i=1。

，p，使用推论4.1中的结果，显著水平α=0.05。变量AL估计标准误差LS估计值滞后3个月0.942921***0.031752 0.920980***生产价格指数0.014345*0.007907 0.016774**M1货币存量0.000328-0.000630*M2货币股-0.000097 0.000180 -0.000684***货币基础0.000202 0.001547 0.003487**总储量0.001796-0.002998*未借入储量0.000348 0.000131产能利用率0.015339-0.024990工业生产指数总计0.023639-0.014557住房开工率0.000122 0.000089 0.000184**非农就业-0.000033 0.000044 -0.000132***每周货物总工时-生产0.016553 0.015850 0.036516**民间劳动力0.000032 0.000038 0.000109***参与率-0.034452 0.027265 -0.066091**平民非机构人口0.000023 0.000030失业率-0.169115*0.092235-0.252584***表6：短期利率的泰勒规则货币政策模型：自适应套索点估计和推断。我们报告了第6节中介绍的实证分析的自适应套索估计（第2列）、标准误差（第3列）和全最小二乘估计（第4列）。相关变量为美国3个月短期利率。调查期间为1959年1月至2012年12月，共有648次月度观察。星号*,**,***分别表示10%、5%和1%水平的显著性。0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 400.511.522.5图1：分位数自适应套索估计。我们绘制随机变量|u |分布的0.95分位数，其中u最小化（3）中定义的函数R。水平实线表示0。95 | u |与u分布的分位数~ N（0，1）。虚线代表λ0,1不同值的随机变量|u |的0.95分位数∈ [0, 4].