抛物型方程的解析展开

在定理3.10的假设下，我们有| u（t，x）- \'uN，m（t，x）|≤ CT- 商标N+k-1, 0 ≤ t<t≤ T，x∈ Rd，（3.22），其中常数C仅取决于M、N、T和kаkCk-1,1b。第7节将证明定理3.12。我们明确指出，作为（3.22）的直接结果，如果N≥ 2.- k thenlimm→∞\'uN，m（t，x）=u（t，x），t∈ [0，T]，x∈ 第三条备注3.13。从（3.8）和（3.17）中我们可以看到ΓN（t，x；t，y）=1+NXi=1Lxi（t，t）！Γ（t，x；t，y）。当微分算子（1+PiLxi）击中高斯核Γ（t，x；t，y）时，它只返回一个（x，y）乘以高斯核Γ（t，x；t，y）的多项式。系数（aα，0）|α|≤算符（1+PiLxi）的2也取决于x，并且根据第二部分的假设2.1，是平滑的。因此，计算（3.21）涉及（d·m）维积分，其中被积函数是高斯n核与多项式和光滑有界系数的乘积。由于被积函数平滑且变化缓慢，因此这些积分可以通过数值计算而无需太大困难。不过，很明显，d·m的大小是有限制的。4金融数学的应用在本节中，我们通过举例说明我们的方法如何应用于金融数学中的定价衍生来激励我们的分析。首先，我们考虑一个无套利的电子市场。我们采用给定的在完全过滤概率空间上定义的等价可参与测度Q(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}). 下面定义的所有随机过程都存在于这个概率空间中，所有的预期都与Q有关。我们市场的风险中性动态由以下d维马尔可夫微分方程描述：Xt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt。这里W是标准的m维布朗运动，函数u：R+×Rd→ Rd与函数σ：R+×Rd→ Rd×m。

X的组成部分可能会重新呈现一系列事物，例如，经济因素、资产价格、经济指标或这些数量的函数。特别是，我们假设形式为r（t，Xt）的无风险利率，其中r:r+×Rd→ R+。我们还引入了一个随机时间ζ，由ζ=inf给出T≥ 0:Ztγ（s，Xs）ds≥ E, γ：R+×Rd→ R+，E指数分布且与X无关。随机时间ζ可以表示资产的违约时间、经济冲击的到来等。。用V表示在时间T到期的欧洲衍生工具的无风险风险，其收益为H（XT）I{ζ>T}+G（XT）I{ζ≤T}=H（XT）- G（XT）I{ζ>T}+G（XT）。众所周知（例如，见Jeanblanc等人（2009））vt=Ehe-RTtr（s，Xs）dsG（XT）|Xti+I{ζ>t}Ehe-RTt（r（s，Xs）+γ（s，Xs））dsH（XT）- G（XT）|那么，要给欧式期权定价，必须计算公式（t，x）：=Ehe的函数-RTtλ（s，Xs）ds|（XT）|XT=xi。（4.1）在温和的假设下，（4.1）定义的函数u满足科尔莫戈罗夫向后方程(t+A）u（t，x）=0，t<t，x∈ Rd，u（T，x）=φ（x），x∈ Rd，（4.2），其中运算符A由A=dXi，j=1给出σσTij（t，x）十一xj+dXi=1ui（t，x）十一- λ（t，x）。第3节的结果给出了一种明确而有效的方法来构造问题（4.2）的封闭形式近似解，以及在此之前的封闭形式近似期权价格（4.1）。严格的误差范围证明了该方法的有效性，并证实了近似值在金融应用中的高准确性。对于感兴趣的读者，可以在Pagliarani和Pascucci（2012）、Pagliarani等人（2013）、Lorig等人（2013a）、Lorig等人（2013b）和Lorig等人中找到大量的数值例子。

（2013c）.5定理3.8的证明：解析近似公式该证明基于（3.6）-（3.7）中定义的高斯基本解Γ=Γ（t，x；s，ξ）的对称性，并广泛使用了其他非常普遍的关系，如Duhamel’sprinciple和Chapman-Kolmogorov方程，我们回顾了它们的完整性。引理5.14（查普曼-科尔莫戈罗夫恒等式）。在假设2.1下，对于任何t<s<t，x，y∈ Rd，wehaveZRdΓ（t，x；s，ξ）Γ（s，ξ；t，y）dξ=Γ（t，x；t，y）。（5.1）我们首先回顾运算符mx（t，s）=x+m（t，s）+C（t，s）xas定义见（3.12）。在上面以及整个证明过程中，我们使用上标x来明确指示运算符作用的变量。此外，我们定义了运算符My（t，s）=y- m（t，s）+C（t，s）y、 （5.2）下面的引理说明了运算符与…有关当作用于Γ（t，x；s，y）时，以及当作用于Γ（t，x；s，y）时，乘法运算符y和x分别与Mx（t，s）和¨My（t，s）的关系。引理5.15。对于任何t<s和x，y∈ 我们有xΓ（t，x；s，y）=-yΓ（t，x；s，y），（5.3）安迪Γ（t，x；s，y）=Mx（t，s）Γ（t，x；s，y），（5.4）xΓ（t，x；s，y）=我的（t，s）Γ（t，x；s，y）。（5.5）证据。虽然之前的恒等式可以通过初等计算直接进行后验验证，但在这里，我们给出了一个替代的“构造性”证明，展示了如何在更一般的框架中找到类Mx和类My运算符，这相当于分别乘以后向和前向变量y和x（见下面的备注5.16）。为此，我们需要fourier变换fxf（ξ）：=p（2π）dZRdeixξf（x）dx的一些性质。首先，我们记得，对于Schwartz空间中的任何函数f，我们有iξFx（f）=Fx(-xf），Fx（xf）=-我ξFxf。

（5.6）此外，我们还有fxΓ（t，·；t，y）（ξ）=p（2π）deiξ（y）-m（t，t））-hC（t，t）ξ，ξi，FyΓ（t，x；t，·）（η）=p（2π）deiη（x+m（t，t））-hC（t，t）η，ηi（5.7）为了得到恒等式（5.3），我们简单地使用Γ（t，x；t，y）=Γ（t，x）- YT、 0）。对于（5.4），我们有：Fy（yΓ）=-我ηFy（Γ）=（x+m（t，s）+C（t，s）iη）Fy（Γ）（by（5.7））=Fy（（x+m（t，s）- C（t，s）y） Γ）（by（5.6））=Fy（Mx（t，s）Γ）。身份证明（5.5）类似于身份证明（5.4）。备注5.16。值得注意的是，当具有转移密度Γ的随机过程的特征函数明确已知时，以及当Γ可以表示为x的函数时，上述论证就适用- y、 因此，例如，当Γ是加法（即时间相关的L’evy）过程的跃迁密度时，可以获得类似Mx和“My”的运算符。在这种情况下，类Mx和“我的”运算符将是pse udo微分运算符，而不是（通常）微分运算符。推论5.17。对于任何t<s，s∈ [0，T]和x，y∈ 我们有aα，n（s，y）Γ（t，x；s，y）=aα，n（s，Mx（t，s））Γ（t，x；s，y），（5.8）aα，n（s，x）Γ（t，x；s，y）=aα，ns、 “我的（t，s）Γ（t，x；s，y）。（5.9）证据。首先我们注意到组件Mxi（t，s），i=1，d、 当应用于Γ=Γ（t，x；s，y）及其导数时，运算符Mx（t，s）的通勤率（但请注意，当它们应用于泛型函数时，这通常是不正确的）。实际上，对于任何多指数β，我们有mxi（t，s）Mxj（t，s）DβxΓ=(-1） |β| Mxi（t，s）Mxj（t，s）DβyΓ（by（5.3））=(-1） |β| DβyMxi（t，s）Mxj（t，s）Γ=(-1） |β| DβyMxi（t，s）yjΓ（by（5.4））=(-1） |β| DβyyjMxi（t，s）Γ=(-1） |β| DβyyjyiΓ=Mxj（t，s）Mxi（t，s）DβxΓ。（通过颠倒上述步骤）由于aα，n（s，·）是构造的多项式，因此，当应用于Γ（t，x；s，y）及其导数时，我们可以明确定义算子aα，n（s，Mx（t，s））。

现在（5.8）显然是（5.4）的直接结果。analo gous论证证明了（5.9）的有效性。现在我们回顾一下运算符axn（s）=X |α|≤2aα，n（s，x）Dαx，Gxn（t，s）=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）Dαx，n≥ 0，（5.10），如（3.1）和（3.1）所定义，我们引入了运算符“Gyn（t，s）=X |α|≤2(-1） |α| Dαyaα，nt、 “我的（t，s）, N≥ 0，（5.11）和（5.2）中的“Myas”。我们明确指出，根据推论5.17，当应用于Γ=Γ（t，x；s，y）及其导数时，算子Gxn（t，s）和‘Gyn（t，s）是明确定义的，更重要的是，通过表示式（3.5）来解决柯西问题（3.3）。下一个命题及其显著推论是定理3.8证明的关键。提案5.18。对于任何t<s<t，x，y∈ RDN≥ 1，我们有ZRdΓ（t，x；s，ξ）Aξn（s）f（ξ）dξ=Gxn（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）dξ，（5.12）ZRdf（ξ）Aξn（s）Γ（s，ξ；t，y）dξ=\'Gyn（s，t）ZRdf（ξ）dΓ）（s，ξ；t，y）dξ，（5.13）对于任何f∈ C研发部. 此外，以下关系成立：Gxn（t，s）Γ（t，x；t，y）=Gyn（s，t）Γ（t，x；t，y）。（5.14）证据。我们首先证明（5.12）。通过定义Aξnwe haveZRdΓ（t，x；s，ξ）Aξn（s）f（ξ）dξ=x |α|≤2ZRdaα，n（s，ξ）Γ（t，x；s，ξ）Dαξf（ξ）Dξ=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）ZRdΓ（t，x，y；s，ξ，ω）Dαξf（ξ）Dξ（by（5.8））=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）(-1） |α| ZRdDαξΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）dξ（分部积分）=x |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）DαxZRdΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）Dξ（by（5.3））=Gxn（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）f（ξ）Dξ。（由（5.10）定义Gxn）同样，对于（5.13），使用Aξnwe haveZRdf（ξ）Aξn（s）Γ（s，ξ；T，y）dξ=X |α的定义|≤2ZRdf（ξ）aα，n（s，ξ）DαξΓ（s，ξ；T，y）Dξ=X |α|≤2(-1） |α| DαyZRdf（ξ）aα，n（s，ξ）Γ（s，ξ；T，y）Dξ（by（5.3））=X |α|≤2(-1） |α| Dαyaα，ns、 “我的（s，T）ZRdf（ξ）Γ（s，ξ；T，y）dξ（by（5.9））=Gyn（s，T）ZRdf（ξ）Γ（s，ξ；T，y）dξ。（根据（5.11），“妇科”身份（5.14）的定义源自（5.12）和（5.13）。

事实上，我们使用的是查普曼·科尔莫戈罗夫方程，我们有Gxn（t，t，x；t，t，t，t，t，y，y）=Gxn（t，t，s）ZRd（t，x，x；s，s，s，s，s，s，s，t，y）我们的方程我们有Gxn（t，s，s，s，s，t，t，t，t，t，t，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，我们，我们的，我们的，我们是我们在我们的第五（应用（5.12）和（应用（应用（5.12）和应用（5.12）和应用（应用）和f（5.12）和f（应用）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和f（5）和（5.13）其中f（ξ）=Γ（t，x；s，ξ））=Gyn（s，t）Γ（t，x；t，y）。（查普曼·科尔莫戈罗夫著）推论5.19。对于任何t<s<t，x，y∈ R、 n≥ 1，我们有ZrdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）Γ（s，ξ；t，y）dξ=Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）Γ（t，x；t，y），（5.15）∈ n和s<s<···<sn<T。证据我们首先证明（5.15）。对于n=1，对于任何i≥ 1，t<s<t，我们有ZRdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）Γ（s，ξ；t，y）dξ=\'Gyi（s，t）ZRdΓ（t，x；s，ξ）Γ（s，ξ；t，y）dξ（by（5.14））=\'Gyi（s，t）Γ（t，x；t，y）（由查普曼·莫戈罗夫（Chapmogorov）Gxi（t，s）Γ（t，x，t，y）。（根据（5.14）我们现在假设n的论点是正确的≥ 1.无论我做什么∈ Nn，s<s，·sn<T。那么，反正是+1≥ 1，sn<sn+1<T我们有ZRdΓ（T，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）Gξin+1（s，sn+1）Γ（s，ξ；T，y）dξ=’Gyin+1（sn+1，T）ZRdΓ（T，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）；T，y）dξ（5.14）关于Gξin+1（s，sn+1）Γ=“Gyin+1（sn+1，T）Gxi（T，s）·Gxin（T，sn）Γ（T，x；T，y）（归纳推理）=Gxi（T，s）·Gxin（T，sn）·Gyin+1（sn+1，T）Γ（T，x；T，y）=Gxi。从这里到本节末尾，我们设置γ=0。我们这样做只是为了节省空间。一般情况下，γ6=0，完全相似，不会引起并发症。推论5.20。让ube如（3.5）所示，γ=0。对于任何t<s<t，x，y∈ R、 n≥ 1，我们有ZrdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξin（s，sn）u（s，ξ）dξ=Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）u（t，x），（5.16）∈ n和s<s<···<sn<T。证据

（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（3.5）我们（t，x，x；s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们（3）我们）我们（s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，s，d~n（y）Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）Γ（t，x；t，y）dy（由推论y5.19）=Gxi（t，s）·Gxin（t，sn）u（t，x），（根据第（3.5）节）得出结论。我们现在可以证明定理3.8了。通过对n的归纳，我们首先证明了c asen=1。通过定义，我们得到了n=1的非齐次柯西问题（3.4）的唯一解。因此，根据杜哈默尔公司的原则，我们已经有了（t，x，x）=（t，x；s，s，s，s，s）的一个ξ（s）s（s，ξ）的d（s）d（s）s（t，s）ZTTTT（t，s）ZT（t，x，s）的（t，x，x，x，s）d（t，x）的（t，s）ZT（t，s，s）的（t，s）的（t，s）和（t（t，s）的（t，s）和（s）的（t，s）的（t，s）的（t，s）的（s）的（s）的（s）和（s）的（s）的第五（s）的（s）的第五（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（s）的（（s，ξ；t，y）dξdy ds（富比尼定理）=ZTtGx（t，s）ds u（t，x）（查普曼·科尔莫·戈罗夫和（3.5））=Lx（t，t）u（t，x）。（通过（3.9）-（3.10））对于一般的ca se，让我们假设（3.8）适用于n≥ 1，并证明它适用于n+1。根据定义，un+1是非齐次柯西问题（3.4）的唯一解。因此，根据杜哈默尔原理，我们有un+1（t，x）=ZTtZRdΓ（t，x；s，ξ）n+1Xh=1Aξh（s）un+1-h（s，ξ）dξds=n+1Xh=1ZTtGxh（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）un+1-h（s，ξ）dξds（由（5.12）加n=h）=n+1Xh=1ZTtGxh（t，s）ZRdΓ（t，x；s，ξ）Lξn+1-h（s，T）u（s，ξ）dξds。（通过归纳假设）（5.17）现在，通过定义（3.9）-（3.10）我们得到了zrdΓ（t，x；s，ξ）Lξn+1-h（s，T）u（s，ξ）dξ=n+1-hXj=1ZRdΓ（t，x；s，ξ）ZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGξi（s，s）·Gξij（s，sj）u（s，ξ）dξ=n+1-hXj=1ZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jZRdΓ（t，x；s，ξ）Gξi（s，s）·Gξij（s，sj）u（s，ξ）dξ（富比尼定理）=n+1-hXj=1ZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGxi（t，s）·Gxij（t，sj）u（t，x）。

接下来，通过在（5.17）中插入（5.18），我们得到n+1（t，x）=Lxn（t，t）u（t，x），其中≈Lxn（t，t）=ZTtGxn+1（t，s）ds+nXh=1n+1-hXj=1ZTtdsZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGxh（t，s）Gxi（t，s）·Gxij（t，sj）。为了得出证明结论，只需检查Lxn（t，t）=Lxn+1（t，t）。通过交换求和中的指数，我们得到Lxn（t，t）=ZTtGxn+1（t，s）ds+nXj=1n+1-jXh=1ZTtdsZTsds··ZTsj-1dsjXi∈在+1中-h、 jGxh（t，s）Gxi（t，s）·Gxij（t，sj）（设置l=j+1）=ZTtGxn+1（t，s）ds+n+1Xl=2n+2-lXh=1ZTtdsZTsds··ZTsl-2dsl-1Xi∈在+1中-h、 l-1Gxh（t，s）Gxi（t，s）·Gxil-1（t，sl）-1） （替换积分变量：（ds，ds，·，dsl）-1) → （dr，dr，··，drl））=ZTtGxn+1（t，s）ds+n+1Xl=2n+2-lXh=1ZTtdrZTrdr··ZTrl-1drlXi∈在+1中-h、 l-1Gxh（t，r）Gxi（t，r）·Gxil-1（t，rl）=ZTtGxn+1（t，s）ds+n+1Xl=2ZTtdrZTrdr··ZTrl-1drln+2-lXh=1Xi∈在+1中-h、 l-1Gxh（t，r）Gxi（t，r）·Gxil-1（t，rl）（定义为（3.10））=n+1Xl=1ZTtdrZTrdr··ZTrl-1drlXz∈在+1中，lGxz（t，r）Gxz（t，r）···Gxzl（t，rl）（通过定义（3.9））=Lxn+1（t，t），从而得出证明。6定理3.10的证明：本节中的小时间误差范围。本节证明的估算中出现的所有常数都依赖于M、N和T，下文不再重复。在主要假设2.1下，运算器(t+A）承认一个唯一的基本解Γ=Γ（t，x；t，y），下面的经典阿尔加西估计适用（见Frie dman（1964），第1章）。引理6.21。

对于任何ε>0和β，ν∈ Ndwith |ν|≤ N+2，我们有|（x）- y） βDνxΓ（t，x；t，y）|≤ C·（T）- t） |β|-|ν|ΓM+ε（t，x；t，y），0≤ t<t≤T，x，y∈ Rd，其中ΓM+ε是热算符（3.20）的基本解，C是一个正常数，仅依赖于M，N，T，ε和|β|。为了陈述我们的理论结果，我们对柯西问题的解的空间导数进行了一些初步估计，其系数可能依赖于t，但在x中是恒定的。这种估计的质量取决于终端数据的正则性。提案6.22。假设A的系数在空间中是常数（即Aα（t，·）≡ aα（t））。让β∈ 恩达尼∈ Ck-1,1b研发部为了一些k∈ N.然后，柯西问题（1.1）的解决方案满足要求Dβxu（t，x）≤ C·（T）- t） min{k-|β|,0}, 0 ≤ t<t≤T，x∈ Rd，其中C仅依赖于M，N，T，|β|和k|kCk-1,1b。证据由于A具有独立于空间的系数(t+A）是（3.6）中的高斯函数。直接计算表明，对于任何多项式函数p=p（y），我们都有Zrdp（y）Γ（t，x；t，y）dy=\'p（x），其中\'p是一个度为deg（\'p）=deg（p）的多项式。因此，对于一个纽约人来说∈ 对于|ν|>deg（p），我们有Zrdp（y）DνxΓ（t，x；t，y）dy=DνxZRdp（y）Γ（t，x；t，y）dy=0。特别地，让我们设置h=min{|β|，k}，并用T|x表示，即T|x，h（x）=x||≤hD~n（\'x）ν！（十）- 其中，根据惯例，当h=-1，然后是Tаx，-1.≡ 0.那么我们有Zrdtаx，h-1（y）DβxΓ（t，x；t，y）dy=0。

（6.2）现在，根据杜哈默尔原理，我们有u（t，x）=eRTtγ（s）dsZRdΓ（t，x；t，y）~n（y）dy，t<t，x∈ 第二条，自∈ Ck-1,1b（Rd），通过（6.2）我们得到了βxu（t，x）=eRTtγ（s）dsZRdΓ（y）DβxΓ（t，x；t，y）dy=eRTtγ（s）dsZRdΓ（y）- T~nx，h-1（y））DβxΓ（t，x；t，y）dy。因此，通过带整数余数的泰勒定理，我们得到Dβxu（t，x）≤ 捷克| x- y | hDβxΓ（t，x；t，y）dy，其中C取决于k~nkCk-1,1b。本文遵循引理6.21和ZrdΓM+ε（t，x；t，y）dy=1。此后，我们假设定理3.10的所有假设都已满足。定理3.10的证明基于以下引理。引理6.23。在定理3.10的假设下∈ RDN∈ N、 我们有（t，x）- \'u（\'x）N（t，x）=ZTtZRdΓ（t，x；s，ξ）NXn=0A.-\'A（\'x）nu（\'x）N-n（s，ξ）dξds，t<t，x∈ Rd，其中函数u是（1.1）的解，函数u（\'x）是（3.16）中的n阶近似，而函数A（\'x）n=nXi=0A（\'x）i.证明。我们首先要证明身份(t+A）\'u（\'x）N（t，x）=NXn=0（A）-\'A（\'x）n）u（\'x）n-n（t，x），t<t，x∈ Rd.（6.3）对于N=0，我们有(t+A）\'u（\'x）=A.- A（`x）u（\'x），因为t+A（`x）定义u（`x）=0（3.14）。我们假设现在（6.3）N保持不变≥ 我们证明它对N+1成立。我们有(t+A）\'u（\'x）N+1=(t+A）\'u（\'x）N+(t+A）u（`x）N+1=NXn=0A.-\'A（\'x）nu（\'x）N-n+A.- A（`x）u（x）N+1-N+1Xn=1A（\'x）nu（\'x）N+1-n（通过归纳假设和（3.15））=n+1Xn=1A.-\'A（\'x）n-1.u（x）N+1-n+A.- A（`x）u（x）N+1-N+1Xn=1A（\'x）nu（\'x）N+1-n（通过移动第一和的指数）=n+1Xn=1A.-\'A（\'x）nu（x）N+1-n+A.- A（`x）u（x）N+1=N+1Xn=0A.-\'A（\'x）nu（x）N+1-n、 现在，由于u是（1.1）的经典解，我们通过（6.3）得到v:=u-\'u（\'x）解决了以下问题(t+A）v（t，x）=-NPn=0（A）-\'A（\'x）n）u（\'x）n-n（t，x），t<t，x∈ Rd，v（T，x）=0，x∈ 本文遵循杜哈默尔原理。引理6.24。