抛物型方程的解析展开

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英文标题：
《Analytical expansions for parabolic equations》
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作者：
Matthew Lorig, Stefano Pagliarani, Andrea Pascucci
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider the Cauchy problem associated with a general parabolic partial differential equation in $d$ dimensions. We find a family of closed-form asymptotic approximations for the unique classical solution of this equation as well as rigorous short-time error estimates. Using a boot-strapping technique, we also provide convergence results for arbitrarily large time intervals.
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中文摘要：
我们考虑与$d$维的一般抛物型偏微分方程有关的柯西问题。我们找到了该方程唯一经典解的一系列闭式渐近逼近，以及严格的短时误差估计。使用引导技术，我们还提供了任意大时间间隔的收敛结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Analytical_expansions_for_parabolic_equations.pdf (322 KB)

2022-5-5 07:00:25 上传

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关键词：Conservation Quantitative Applications Differential Computation

抛物方程的解析展开式*Stefano Pagliarani+Andrea Pascucci此版本：2018年10月4日摘要我们考虑与二维一般抛物偏微分方程相关的柯西问题。我们找到了该方程唯一经典解的一系列闭式渐近逼近，以及严格的短时误差估计。使用引导技术，我们还提供了任意大时间间隔的收敛结果。关键词：抛物型偏微分方程、渐近展开、奇异摄动、解析近似1简介渐近分析和摄动理论在许多领域有着悠久的历史，包括量子力学Sakurai（1994）、经典力学Goldstein（1980）、流体力学Van Dyke（1975）；Lagerstrom（1988）；Kevorkian和Cole（1996）和数学生物学Murray（20 02）。最近，微扰理论和热核展开的一些技术被应用于数学金融中的问题：例如，见Hagan和Woodward（1999）；Henr y-Labord`ere（2009）；Benhamou等人（20-10）；Cheng等人（201 1）；Fouque等人（2011年）。本手稿的作者最近也在数学金融方面做出了贡献，重点是为没有跳跃的模型找到封闭形式的定价近似值，Corielli等人（2010年）；Pagliarani等人（2013年）和jumpsLorig等人（2013a）；J acquier和Lorig（2013），以及Lorig等人（2013b，c）关于隐含可利用性的封闭形式近似；洛里格（2013）。在本文中，我们将考虑以下柯西问题(t+A）u（t，x）=0，t∈ [0，T[，x]∈ Rd，u（T，x）=φ（x），x∈ Rd，（1.1），其中A是二阶椭圆微分算子，其变量系数为A=dXi，j=1aij（t，x）xixj+dXi=1ai（t，x）xi+a（t，x），t∈ R、 x∈ 路。

(1.2)*美国西雅图华盛顿大学应用数学系。电子邮件：mattlorig@gmail.com.+法国塞德克斯宫91128号萨克莱理工学院CMAP。电子邮件：stepagliara1@gmail.com.工作部分由风险基金会的C hair财务风险部支持意大利博洛尼亚博洛尼亚大学Matematica分校。电子邮件：安德里亚。pascucci@unibo.每当考虑到对随机微分方程解的期望时，就会出现形式（1.1）的柯西问题。例如，期权定价就是这样。形式（1.1）的柯西问题也是量子力学中的一个问题。然而，在这种情况下，人们通常会考虑初始数据而非最终数据（即u（0，x）=~n（x））以及s的假想时间：T→ 我t、 事实上，许多用于寻找（1.1）近似解的技术都是由数学物理学家开发的。在分析（1.1）时，人们通常会看到基本解Γ（t，x；t，y）（也称为格林函数），而不是一般的解u，它是通过将最终数据设置为等于狄拉克δ函数Γ=δy而获得的，从中可以通过积分获得一般解u。不幸的是，对于一般的lx依赖系数（aij，ai，a），基本解在封闭形式下是不可用的。因此，奥尼转而寻求基本解的近似值。通常，这是通过将算符A表示为A=A+B来实现的，其中基本解Γ对应于封闭形式中已知的Ais，其中B=A- A.正式地，然后，通过一个Dyson（也称为Volterra）级数展开式Avramidi（2007）得到对应于A的基本解Γ；Berline等人（1992年）。虽然这是一个有用的工具，但戴森系列有一些值得注意的缺点。

首先，要计算失调序列，必须计算公式v（t，t）：=exp的算子值函数中兴电讯(s)dsB（t）经验中兴电讯(s)ds,其中，我们明确指出了运算符A和B中的时间依赖性。很少能明确计算运算符V（t，t），而且在一般情况下，它肯定不可精确计算。其次，戴森级数通常是渐近发散的。因此，即使可以明确计算fa Dyson级数展开式的前几个项，人们仍然想知道截断级数有多精确。在本文中，我们不是将算子A展开为A=A+B，而是将其展开为有限和：A=Pn≥安。在Pagliarani和Pascucci（2012）中介绍了展开技术的基本思想，其中A是一个微分算子c或对应于标量微分的发生器。这些想法后来在Pagliarani等人（2013年）和Lorig等人（2013a）中扩展到A可能是对应于标量L’evy型过程的基因启动子的一个特殊微分算子的情况。上面提到的两篇论文都为方程的近似基本解建立了严格的短时误差界(t+A）。然而，这些论文的结果仅限于一个维度，并留下了一些重要的实践和理论问题。例如：（i）对于任意给定阶数N的近似解，是否有一个明确的（且完全可实现的）表示？（ii）终端ldata~n的平滑度能否用于建立更高阶的渐近近似精度？（iii）关于近似的大时间精度，能说些什么吗？我们在这篇手稿中补充了所有这些问题。特别是在多维框架中，我们要完成以下任务：1。首先，我们导出基本解Γ（t，x；t，y）的任意阶完全显式近似。

我们强调，对于每n，我们对基本解Γ的n阶近似是e-xplicit；不需要特殊功能。这不是正常的戴森级数展开的情况。2.其次，我们展示了如何利用终端数据的规律性来建立小时间的更高精度。3.第三，我们证明了任意大时间间隔上的收敛结果。在应用层面上，本文证明的结果为数学金融领域的一些最新发展奠定了基础。更具体地说，在Lorig et al.（2 013b）中，作者使用此处为（1.1）的解u建立的小时间误差界，以证明一般多因素局部随机波动率模型中欧式看涨期权隐含波动率的小时间误差界。我们注意到，证明隐含波动率结果的准确性取决于利用终值的平滑度。我们在这篇手稿中的证明是基于高斯核的对称性和（非常普遍的）经典结果的组合，如杜哈默尔原理、查普曼-科-洛莫戈罗夫恒等式和算子基本解的一些上界(t+A）。由于证明中主要成分的普遍性，我们的方法为更一般的扩展打开了大门，它可能不一定基于高斯核。本文介绍的分析技术最初是为了应用于金融数学而开发的。

然而，由于我们对柯西问题（1.1）进行了系统的处理，包括对误差范围和收敛性的完整和严格的证明，我们相信，我们的结果在抛物方程出现的其他领域，如数学生物学、化学、物理、工程和经济学，具有重要意义。本文的其余部分如下：在第二节中，我们介绍了将A的系数表示为多项式基函数和的思想。我们提供了有用基函数的例子，并列出了我们的主要假设。接下来，在第3节中，我们将介绍我们的主要结果。定理3.8为u的渐近展开式的第n项，即（1.1）的解，提供了一个闭式表达式。该定理是以非常一般的方式写成的，它不仅允许u的单个渐近展开，而且允许u的整个渐近展开族。在定理3.10中，我们为u的渐近逼近提供了小时间误差界。在定理m 3.12中，我们提供了收敛结果，这些结果在任何有限时间内都是有效的。接下来，在第4节中，我们将说明柯西问题（1.1）的解决方案与金融数学中导数的定价之间的关系。最后，第5、6和7节分别包含定理3.8、3.10和3.12的证明。2一般扩展基础开始时，我们将建立一些符号，并陈述我们的主要假设。对任何人来说∈ N、 我们用Cn，1b（Rd）表示一类有界函数，其（全局）Lipschitz连续导数的阶数小于或等于N，用kf-kCn，1b表示L的和∞-f的n阶导数的范数和f的n阶导数的lipschitz常数。

我们也用C表示-1,1b=L∞有界可测函数的分类与集合k·kC-1,1b=k·kL∞.在整篇文章中，我们假设t>0和N∈ 在（1.2）中，确定了操作员A的系数，并证明了以下假设。假设2.1。存在一个正常数M，使得：i）均匀椭圆度：M-1|ξ|≤dXi，j=1aij（t，x）ξiξj≤ M |ξ|，t∈0，T, x、 ξ∈ 规则性和有界性：系数aij，ai，a∈ C0，TX路不管怎样∈0，T我们有aij（t，·），ai（t，·），a（t，·）∈ CN，1b（Rd），其k·kCN，1b范数以M为界。在假设2.1下，众所周知∈0，T以及∈ C-1,1b，后向抛物面接触问题（1.1）允许经典解u。然而，一般来说，函数u是未知的封闭形式，为了实际目的，必须用数值计算。在下文中，可以方便地将微分算子（1.2）改写为更紧凑的形式：=X |α|≤2aα（t，x）Dαx，t∈ R、 x∈ Rd，（2.1），其中标准符号α=（α，··，αd）∈ Nd，|α|=dXi=1αi，Dαx=Dα=αx···αdxd。下面，我们将介绍算子a的一系列扩张方案。不同扩张方案家族的每一个都基于系数（aα）|α的不同扩张|≤2，并将导致（1.1）的溶液u的不同近似，以及基本溶液Γ的不同近似。因此，对于任何α∈ Ndwith |α|≤ 2，我们定义了一个近似序列（aα，n）n≥连续函数的0α，n：0，TX路→ R.更准确地说，我们引入了以下定义：定义2.2。

我们说（aα，n）0≤N≤N阶多项式展开式，如果∈0，T, 函数aα，n（t，·）是aα，0（t，·）=aα，0（t）的多项式。我们的近似方法背后的想法是选择一个多项式展开式，使得部分sumspn=0aα，n（t）的序列近似于系数aα（t，z），无论是在内部还是在某个范数中。我们通过介绍多项式展开的一些实际例子来结束本节。例2.3。（泰勒多项式展开）假设2.1 ii）成立。然后，对于任何固定的x∈ Rd，我们定义aα，作为aα在x周围空间变量中泰勒展开的n阶项。也就是说，我们设置aα，n（·x）=x |β|=nDβaα（·x）β！（十）- \'-x）β，0≤ N≤ N，|α|≤ 2.像往常一样β！=β! ···βd！xβ=xβ···xβdd。Lorig et al.（2013b）和Lorig et al.（2013c）中提出的扩展是d=2的特殊情况。例2.4。（增强的泰勒展开）在上一个例子中，c的多项式展开的n阶项与泰勒展开的诺德项相匹配。更一般地说，我们可以定义A的多项式展开的n阶项，使其与高阶泰勒展开一致。具体来说，假设N≥ 1，设M=0和（Mn）1≤N≤Nbe一个自然数的非递减序列，其中Mn通常大于n。我们可以假设aα，0（·）=aα（·，\'x），aα，n（·，x）=MnX |β|=1+Mn-1Dβaα（·x）β！（十）- \'-x）β，1≤ N≤ N，|α|≤ 2.增强泰勒展开的动机是，在极限为M时→ ∞ 我们有A=A- 因此，在这个极限下，我们对u的展开式（在定理3.8中给出）为Dyson级数展开式提供了一个明确的符号表示。例2.5。（与时间相关的泰勒多项式展开）对于任何固定的¨x:R+→ Rd，我们定义了aα，即aα在x周围的空间变量中泰勒展开的n阶项。

也就是说，我们设置aα，n（·，x）=x |β|=nDβaα（·，\'x（·））β！（十）- \'x（·））β，0≤ N≤ N，|α|≤ 2.系数的这种扩展允许泰勒级数的扩展点x随时间演化。Byconstruction Ais保证是一个差异X的发生器。因此，选择“X（t）tobe”X（t）=E是很自然的Xt, Xt的期望值。在Lorig et al.（2013b）中，这一选择导致赫斯顿（1993）mo de l.例2.6中期权价格和隐含波动率的高度精确近似。（埃尔米特多项式展开式）当扩散系数不平滑时，埃尔米特展开式很有用。杜皮尔的局部波动率公式给出了金融数学中一个显著的例子，该公式适用于具有跳跃的模型（见Friz et al.（2013））。在某些情况下，例如众所周知的方差伽马模型，基本解（即基础随机模型的跃迁密度）具有奇点。在这种情况下，在某些Lpnorm中，而不是在pointw-ise意义上，接近它是很自然的。对于以x为中心的厄米膨胀，一个setsaα，n（t，x）=x |β|=nhHβ（·- α（t，·）iΓHβ（x- \'x），0≤ N≤ N，|α|≤ 2，其中内积h···iΓ是Rd上的一个积分，高斯加权集中在‘x a，函数hβ（x）=hβ（x）··hβd（xd），其中Hn是第n个一维Hermite多项式（适当的标准化使得hHα，hβiΓ=Δα，β与Δα，β是Kronecker的δ函数）。3主要结果：闭式解，局部和全局误差边界（1.1）的解u的近似构造背后的主要思想非常直观。Webegin在这一节中介绍了u的形式展开式的推导。让我们考虑一个多项式展开式（aα，n）n∈让我们假设（2.1）中的运算符A可以正式写成asA=∞Xn=0An，An:=X |α|≤2aα，n（t，x）Dαx。

，ih）∈ Nh | i+··+ih=n}，1≤ H≤ n，（3.10）和运算符Gxn（t，s）定义为Gxn（t，s）：=X |α|≤2aα，ns、 Mx（t，s）Dαx（3.11），其中mx（t，s）=x+m（t，s）+C（t，s）x、 （3.12）定理3.8将在第5节中得到证明。备注3.9。Lorig等人（2013b）和Lo rig等人（2013c）已经阐述了定理3.8的特殊情况，但缺乏证据。在L orig等人（2013b）中，只处理时间均匀的二维差异。在Lorig等人（2013c）中，只处理了A的泰勒级数展开。我们的第二个结果是例子2.3的N阶泰勒展开的局部时间误差。在下面的内容中，明确指出e对‘x的依赖关系，即泰勒级数的展开点，将是有帮助的。因此，我们引入以下符号：对于n≤ N和x∈ Rd，我们设定（\'x）n=x |α|≤2a（\'x）α，nDαx，a（\'x）α，n（t，x）=x |β|=nDβaα（t，\'x）β！（十）- \'-x）β。（3.13）展开式（3.2）中的近似项un=u（`x）求解t+A（`x）u（\'x）（t，x）=0，t<t，x∈ Rd，u（\'x）（T，x）=а（x），x∈ Rd（3.14）和1≤ N≤ Nt+A（`x）u（x）n（t，x）=-nPh=1A（x）hu（x）n-h（t，x），t<t，x∈ Rd，u（`x）n（T，x）=0，x∈ 例如，对于n=3，我们有I3,3={（1,1,1）}，I3,2={（1,2），（2,1）}和I3,1={（3）}。接下来，我们定义以‘x为中心的泰勒展开式在N阶的近似解为‘u（‘x）N（t，x）：=NXn=0u（‘x）N（t，x）。（3.16）对于特殊的r选项“x=x”，我们只需设置“uN（t，x）：=”u（x）N（t，x）。我们称之为u的N阶泰勒近似。类似地，对于(t+A），我们设置‘N（t，x；t，y）＝‘（x）N（t，x；t，y）。（3.17）定理3.10。假设2.1保持不变，0<T≤T也假设初始基准为φ∈ Ck-1,1b研发部对于大约0≤ K≤ 2.然后我们有| u（t，x）- \'uN（t，x）|≤ C（T）- t） N+k+1,0≤ t<t，x∈ Rd，（3.18），其中常数C仅取决于M、N、T和kаkCk-1,1b。