抛物型方程的解析展开

在定理3.10的假设下，对于任何多指标β∈ 我们有Dβxu（`x）（t，x）≤ C·（T）- t） min{k-|β|,0}, 0 ≤ t<t≤T，x，x∈ Rd.（6.4）此外，如果N≥ 那么对于任何n∈ N、 N≤ N，我们有Dβxu（`x）n（t，x）≤ C·（T）- t） n+k-|β|1+| x- \'x|n（T- （t）-N, 0≤ t<t≤T，x，x∈ Rd.（6.5）（6.4）和（6.5）中的常数仅取决于M，N，T，|β|和k|kCk-1,1b。证据在这个证明中，{Ci}i≥1给出一些只依赖于M，N，t和k的正常数-1,1b。为清楚起见，在定理3.8中，将运算符应用程序写成Lx、（\'x）和Gx、（\'x）近亲，以表明这些运算符是用扩展点x构造的，并作用于变量x。对于n=0，本文直接遵循命题6.22，因为u（\'x）解决了问题（3.14）。接下来我们证明n=1的断言。根据定理3.8，对于任何¨x∈ 我们有u（\'x）（t，x）=Lx，（\'x）（t，t）u（\'x）（t，x）=ZTtGx，（\'x）（t，s）u（\'x）（t，x）ds=x ||≤2ZTta（`x）ν，1s、 x+m（\'x）（t，s）+C（\'x）（t，s）十、ds Dνxu（\'x）（t，x）（由（3.13）与n=1）=x|ν|≤2ZTthxaν（s，\'x），x- \'x+m（\'x）（t，s）+C（\'x）（t，s）xids Dνxu（\'x）（t，x）。（6.6）因此我们获得Dβxu（`x）（t，x）≤ I+I+I+I其中I=X |ν|≤2ZTt|xaν（s，\'x）|ds |x- \'x|Dβ+νxu（`x）（t，x）,I=X |ν|≤2ZTt|xaν（s，\'x）|m（`x）（t，s）dsDβ+νxu（`x）（t，x）,I=X |ν|≤2ZTt|xaν（s，\'x）|C（x）（t，s）dsxDβ+νxu（`x）（t，x）,I=X |ν|≤2|δ|≤|β|-1ZTt|xaν（s，\'x）|dsDν+δxu（`x）（t，x）.现在，自从∈ C1，1b，根据命题6.22，我们有≤ CX|ν|≤2 | x- \'x|（T）- t） 2+min{k-|β|-|ν|,0}≤ C·（T）- t） 1+k-|β| | x- \'x|√T- t、 此外，由于∈ C1,1带m（`x）（t，s）≤ C（s）- t） ，我们的建议是6.22≤ CX|ν|≤2（T）- t） 2+min{k-|β|-|ν|,0}≤ C·（T）- t） 2+k-|β|.接下来，因为∈ C1,1带C（x）（t，s）≤ C·（s）- t），我们通过6.22号提案≤ CX|ν|≤2（T）- t） 2+min{k-1.-|β|-|ν |,0}≤ C·（T）- t） 1+k-|β|.最后，当Dβx应用于x时，出现了这个术语- 英寸（6.6）。

使用与上述相同的参数，我们得到≤ CX|ν|≤2（T）- t） 2+min{k+1-|β|-|ν |,0}≤ C·（T）- t） 1+k-|β|.利用以上所有估计，我们可以推断出n=1时的（6.5）。一般情况可以通过类比论证来证明，反复使用定理3.8给出的u（`x）n的一般表达式和定理6.22的估计。为了简洁起见，我们省略了细节。我们现在可以证明orem 3.10了。定理3.10的证明。在这个证明中，{Ci}i≥1仅依赖于M，N，和k的一些正常数-1,1b。引理6.23我们有- \'uN=NXn=0In，In（t，x）=ZTtZRdΓ（t，x；s，ξ）A-nXi=0Axi！uxN-n（s，ξ）dξds。此外，In=In，1+In，2with（cf.（6.1））In，1（t，x）=x |α|≤1ZTtZRdaα（s，ξ）- Taα（s，·）x，n（ξ）Γ（t，x；s，ξ）DαξuxN-n（s，ξ）dξds，In，2（t，x）=x |α|=2ZTtZRdaα（s，ξ）- Taα（s，·）x，n（ξ）Γ（t，x；s，ξ）DαξuxN-n（s，ξ）dξds。现在通过引理6.24我们得到了| In，1（t，x）|≤ CX |α|≤1ZTtZRd |ξ- x | n+1Γ（t，x；s，ξ）（t）-s） N-N-|α|+k1+（T- （s）-N-n | x- ξ| N-Ndξds≤ CX |α|≤1ZTt（T）- s） N-n+|α|+k（s）- t） n+1+（t- （s）-|α|+k（s）- t） N+1ZRdΓM+ε（t，x；s，ξ）dξds≤ C·（T）- t） N+k+2，其中我们使用引理6.21和identityZTt（t- s） n（s）- t） kds=ΓE（k+1）ΓE（n+1）ΓE（k+n+2）（t）- t） k+n+1，与Γe无关的Euler-Gamma函数。为了估算2，我们首先按部分进行积分，得到2（t，x）=-X |α|=1X |α|=1ZTtZRdDαξaα+α（t，ξ）- Taα+α（t，·）x，n（ξ）Γ（t，x；s，ξ）DαξuxN-n（s，ξ）dξds。使用与上述相同的参数，可以证明| In，2（t，x）|≤ C·（T）- t） N+k+1。通过应用引理6.21和Chapman-Kolmogorov方程，对（3.18）的证明进行简单的修改，得到了最终的估计值（3.19）。我们省略了细节以避免含蓄。7定理3.12的证明：大时间误差界在符合orem 3.12假设的情况下，在本节中，我们将假设N≥ 1.

因此，通过反复应用属性ZRdΓM+1（t，x；s，y）dy=1，ZRdΓ（t，x；s，y）dy≤ 1，我们得到| Ij（t，x）|≤ CδN+k+1mCδN+1m+1J-1.最终，因为≥ 1，我们通过（7.1）发现| u（t，x）- \'uN，m（t，x）|≤ CCδN+1m+1mmδN+k+1m≤ CeC（T）-t） N+1δN+k-100万，这证明了（3.22）。感谢作者希望得到两位匿名审稿人，他们的建议提高了这篇手稿的可读性和数学质量。参考Avramidi，I.G.（2007）。热核在金融领域应用的解析和几何方法。新墨西哥矿业和技术学院，NM 87801。Benhamou，E.，E.Gobet和M.Miri（2010）。局部波动模型中欧式期权的展开公式。Int.J.Theor。阿普尔。财务13（4），603–634。贝林，N.，E.盖茨勒和M.弗涅（1992）。热核和狄拉克算子。斯普林格。Cheng，W.，N.Costanzino，J.Letchty，A.Mazzucato和V.Nistor（2011年）。一维抛物方程的闭式渐近和数值逼近及其在期权定价中的应用。暹罗金融时报。2 (1), 901–934.Corielli，F.，P.Foschi和A.Pascucci（2010）。扩散转变密度的参数近似。暹罗J.金融数学。1, 833–867 .Fouque，J-P.，G.Papanicola ou，R.Sir car和K.Solna（2011年）。股票、利率和信用衍生品的多尺度随机波动。Ca mbridge：剑桥大学出版社。弗里德曼，A.（1964年）。抛物型偏微分方程。新泽西州Englewood Cliffs：普伦蒂斯哈勒公司。Friz，P.K.，S.Gerhold和M.Yor（2013）。如何让杜皮尔的局部波动性与跳跃一起工作。arxiv预印本1302。5548 .戈尔茨坦，H.（1980）。经典力学（第二版）。马萨诸塞州雷丁：艾迪生·韦斯利出版公司。哈根，P.和D.伍德沃德（1999）。相当于黑色挥发性。应用数学金融6（3），147–157。亨利·劳德埃，P.（2009）。

金融分析、几何和建模：期权定价的高级方法，第13卷。查普曼与霍尔酒店。赫斯顿，S.（1993）。随机波动期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。牧师。财务部。圣乌德。6 (2), 327–34 3.Jacquier，A.和M.Lorig（2013年）。certa在Levy型模特身上的微笑。ArXiv预印本ArXiv:1207.1630。Jeanblanc，M.，M.Yor和M.Chesney（2009）。金融市场的数学方法。斯普林格。Kevorkian，J.和J.D.Cole（1996年）。多尺度和奇异摄动方法，应用数学科学第114卷。纽约：斯普林格·维拉格。Lagerstrom，P.A.（1988年）。《应用数学科学》第76卷，匹配渐近展开式。纽约：斯普林格·维拉格。想法和技巧。Lorig，M.（2013）。某些局部波动模型的精确微笑。定量金融13（6），897–905。Lorig，M.，S.Pagliarani和A.Pascucci（2013a）。默认情况下，L’evy类型进程的一系列密度扩展。出现在应用概率的年鉴中。Lorig，M.，S.Pagliara ni和A.Pascucci（2013b）。任何局部随机vol模型的隐含vol。arXiv预印本arXiv:1306.5447。Lorig，M.，S.Pagliarani，a和a.Pascucci（2013c）。Taylor级数定价方法和隐含vol-forLSV模型。ArXiv预印本ArXiv:1308.5019。默里，J.D.（2002年）。数学生物学。I（第三版），跨学科应用数学第17卷。纽约：斯普林格-维拉格。介绍。Pagliarani，S.和A.Pascucci（2012年）。局部挥发模型中跃迁密度的解析近似。分欧元。J.数学。10(1), 250–270.帕利亚拉尼，S.，A.帕斯库奇和C.里加（2013年）。局部L’evy模型中的伴随展开。暹罗金融时报。4, 265–296.樱井，J.J.（1994）。现代量子力学（修订版）。马丁·雷丁：艾迪森·韦斯利出版公司。范·戴克，M。

(1975). 流体力学中的摄动方法（注）。抛物线出版社，加利福尼亚州斯坦福。