利用参数外推利率期限结构

因此，我们最终得出了u、~u、κ、~κ、σ、ρ、η、θ、∧和∧的公式。5最大似然估计我们可以将条件最大似然估计（cMLE）应用于方程（10）。请注意，我们以第一次观察为条件。在经典解释下，参数是渐近正态分布的，平均值等于cMLE，方差由二阶导数负期望的倒数得到。简单地最大化条件对数似然函数（见附录E）并保留Hessian矩阵将导致参数的渐近分布。分解的渐近方差用Delta方法近似。将其应用于欧元掉期利率，可得出表1中的估计值。第一列中所示的点估计是通过分析获得的，其中|κ由隐式函数表示。由于非线性，方差通过Deltamethod获得，如第二列所示。表1：基于cMLEEstimate标准误差κ0.2056 0.1083κ0.0201 1.4411u0.0103 1.0855u0.1338 37.4293θ0.07545 27.06∧-0.0817 57.1148∧-27.0356 210.5676σ4.710×10的参数噪声分解-51.864×10-3η 1.086×10-52.138×10-3条件最大似然法适用于5年期和20年期欧元掉期利率的自举零利率。标准误差是通过δ近似得到的。均值回归的不确定性是巨大的。由于所有重要参数都包含高变异性，因此无法从该表中得出有意义的结论。cMLE并不排斥正平均回归和均值的共同信念，但也不排斥负范围。迄今为止的文献中没有扩展不确定性的影响，因为如果人们对有限范围内的预测感兴趣，其影响还没有那么显著。

然而，如果外推的到期日在50年及以上，甚至高达100年，则影响很大。如果平均回归率（～κ）变为零，则最终远期利率（θ）变为负值，这缺乏可能的经济解释。因此，我们想量化平均回归参数的不确定性，因为零利率的灵敏度由此确定。作为一般性讨论，所有参数的不确定性都相当大，所有区间都包含负值。与贝叶斯方法的比较见第6节。较大的标准偏差导致在长视野上进行外推的时间间隔不切实际。6.贝叶斯方法通过将参数不确定性作为研究点，贝叶斯观点可以解决这个问题，因为贝叶斯方法规定了参数的概率密度。该算法易于实现约束。使用吉布斯取样器是因为数据的相似性函数是正态的，因此可以识别单独的后验分布。关于贝叶斯背景、先验选择和产生后验概率的方法，请参见Bauwens、Lubrano和Richard（1999）。通过吉布斯抽样，我们可以使用马尔可夫链蒙特卡罗模拟（MCMC）对后验密度进行取样和数值计算。这些抽签加在一起将收敛到联合分布。对于一个参数，后验分布取决于其他参数。迭代地，onedraw将以所有其他参数为条件，接下来另一个参数是drawnconditional，以其他参数的所有当前值为条件，等等。根据贝叶斯规则，可以导出条件后验分布。根据经济信念，假设平均回归参数为正。

当利率较高时，均值回归参数会根据经济行为降低利率，因为在利率较高时，经济会放缓，从而减少投资，从而降低货币需求，从而引发利率下降。另一方面，如果利率较低，投资成本相对较低，这会导致由于资金需求较高而导致利率上升。均值回归参数解释了这些运动，使其成为一个有用且现实的模型。因此，a的先验值是截断正态分布F（a）~ T N（ua，τa）（16），其中ua=0，τa=0.2。请注意，通过该选择，先前的平均值和标准偏差分别为E[a]=0.16和PVar[a]=0.12。此外，我们还假设零利率的长期平均值为正。此外，我们不会预先考虑两套到期日之间的任何依赖关系。先验ofm是二维截断正态分布F（m）~ tn（um，Ohmm） （17）微米=[-0.923, -ωm（1,1）=ωm（2,2）=0.2和ωm（1,2）=ωm（2,1）=0意味着平均值为E[m]=0.04和pvar[m]=0.039。超参数与均值和方差之间的差异是由于分布的截断部分，而标准正态分布的负部分被忽略在平均值中。这两种先验知识的范围都包括现实的、高于零的和大量不同的先验知识。截断法线的实现只需从一个拒绝负绘制的法线进行绘制即可。如果平均回归参数接近单位根，则接受率将极低。这将导致m从接近先验分布的位置以负超参数平均值绘制。

如果标准化截断参数高于某个treshhold指数拒绝采样（Geweke，（1991））使情况在数值上可解。在一维情况下，σ的先验值来自逆伽马分布。无信息先验是f（σ）∝σ（通过变量规则的变化，这对应于ln（σ）上的统一先验）。伽马分布的多变量版本是威斯哈特分布。∑=σ∑的逆的先验-1) ~ W（ψ∑，ν∑）（18）通过让逆Wishart先验的超参数变为零，我们保持对∑的非信息性或差异性使用。理论上，自由度应该大于或等于矩阵的维数，以确保绘图是可逆的，前提是超参数∑ψ是可逆的。因此，最小的数字是2。虽然我们只从后验分布中得出，但为了安全起见，我们设定了可逆性∑=3。自由度可以解释为之前的样本大小（Gelmanand Hill（2007））或之前的平均值与数据进行比较的权重。协方差矩阵ψ∑的协方差矩阵设置为标准偏差0.01，相关性设置为0.95。基于不等式（14）的条件，即∧κ保持非负，在这个阶段被包括在模型中。条件后验分布和推导可在附录F中找到。后验超参数都是依赖于其他条件参数的函数。程序1。绘制长期零利率平均值（a）如果条件后验平均值意味着低接受概率，则使用指数拒绝抽样（b）如果两种测量下的短期利率平均值和该绘制所暗示的零利率平均值为正，则接受2。

如果条件后验平均值意味着低接受概率，则绘制零率的平均回归参数（a），使用指数拒绝抽样（b）如果阳性，则接受3。绘制协方差矩阵（a），如果它意味着短期利率的正均值回归参数7经验应用，则接受。在本节中，我们将贝叶斯算法应用于前面描述的10万次模拟的数据。输出表基于协方差矩阵的噪声分解。显示所有图纸的平均值，然后报告95%的最高后验概率区域（HPD95）和95%的可信区间（CI95），以及最后一列中的标准偏差。∑的参数化不会导致这两种分解之间的巨大区别，因此我们不显示基于相关分解的结果。表2：参数噪声分解平均HPD95 lb HPD95 ub CI95 lb CI95 ub St.Dev.κ0.1647 2.7854×10-50.3177 0.020404 0.3521 0.0862~κ 0.0205 1.6054×10-30.0383 3.3314×10-30.0407 0.0096u 0.0087 -7.3514×10-30.0259 -5.8714×10-30.0280 0.0080~u 0.2224 1.0174×10-30.4630 0.04430 0.6904 1.2155θ -5.575 -0.3382 0.2261 -1.1327 0.1539 328.2Λ-0.1611 -0.7297 0.4984 -0.6624 0.6002 0.2972Λ-20.9735 -44.7955 2.3546 -48.8694 0.1319 12.7564σ4.8574×10-53.3154×10-56.5454×10-53.4334×10-56.7204×10-58.4214×10-6η 1.0854×10-58.4224×10-61.3444×10-58.5954×10-61.3684×10-51.3004×10-6对于τ=5，τ=20，求出了所有1000000的平均值，其中κ是数值解。第二列和第三列显示了95%最高后密度区域的下限和上限，而第四列和第五列分别显示了95%可信区域的下限和上限。最后一列是基于图纸的标准偏差。密度（a）（b）图3：τ=5和τ=20的密度。

由于较大的不确定性，这两个参数的完整数据集非常广泛，因此将|u和θ的曲线图调整为可见质量密度。密度（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）图4：图3续。θ的密度很难确定，因为范围非常广。如果我们在不画10000个最小的图的情况下绘制图，则可以在图4c中观察到身体的质量。这也解释了与Frequentist方法相比，相对较大的标准偏差，但是HPD和CI要小得多。可以得出的结论是，长期平均值的不确定性非常大。因此，对长期到期的trustpoint估值是不可靠的。θ的质量在一个合理的范围内，但由于一些异常的异常值，平均值和标准偏差分别为负值和较大。这些异常值的原因是单位根问题。从CMLE上看不到这种差异，因为这两个输出是估计值和标准偏差。贝叶斯输出的密度显示为非正态形状。平均回归变为零，意味着过程中的滞后率变为1- √κh）→ 1表示√κ→ 0，提出了单位根的问题。一般AR过程中的单位根问题意味着滞后变量前面的标量变为1导致过程的方差变为1。当∧κ接近零时，θ根据其宽区间是非常不确定的，这意味着当均值回归非常慢时，模型不知道收敛到哪个水平。由于在最终水平达到一致之前的一段时间内，收敛率非常低，因此长期平均值的不确定性没有影响。

然而，如果收敛速度增加，长期平均值将收敛到哪个水平就变得越来越明显，而且由于它更快地向这个水平移动，了解这个水平的重要性也增加了。这种模式可以在图5中识别出来。散点图（△κ，θ）显示，对于△κ的较小值，最终水平的不确定性以θ（i）的广泛分布为特征。实际上，θ在很大程度上取决于κ，如果横截面平均回归为零，则最终水平为负。为了更好地看到相关性，我们将图拆分为低值的κ和宽轴的θ，并将图拆分为相对高值的κ。因此，我们感兴趣的是参数|κ，我们想测量均值回归的不确定性，因为这是决定外推的因素。κ的两个95%贝叶斯区间显示在（0,0.04）范围内。然而，CMLE方法对这个比率极不确定。尤其是所有的Bayesian间期显示了感兴趣的参数的合理范围，这也指出了单一估计标准误差的差异。下一节将展示方差的影响以及独立参数方差对外推的难以追踪的影响。平均回归约为0.02，正如预期的那样，低于物理测量。正如Bauer（2011）所说，如果一个人相信没有套利，那么两个概率度量的参数应该彼此接近，这证实了他发现的有利模型限制∧为零。”因为敏感性（a）缩放低值κ（b）缩放大值κ图5：基于所述数据集和成熟度τ=5和τ=20绘制θ（i）与κ（i）的散点图。通常，许多横截面观测都是可用的，Q动态可以精确估计”。

支持这一说法，我们发现与历史测量相比，k的标准偏差小得多。然而，对∧等于0的限制正好在可信区间的边缘，因此预先提出这个条件需要非常有用的先验知识。请注意，分析型VAR（1）模型不包括两个指标之间依赖性的直接优先权，因为我们预先假设没有相关性。较长视界上的未知速率和较近视界上的已知速率之间的收敛速度来自关系式（8）。我们只需要b（s）b（τ）的平均回归参数。对这个比率的解释可以用波动性和收敛速度来表示。首先，该比率是s年到期利率与τ年到期利率的相对波动率√var[y（τ）]=vol[y（τ）]=b（τ）σ。Henceb（s）b（τ）=vol[y（s）]vol[y（τ）]。其次，它显示了它向长期平均值移动的速度。比率行为如图6所示。很小，明天的利率很大程度上取决于今天的利率。这种关系会随着时间的推移而下降，这可以在左边的图中看到。平均而言，预测的60年到期日与20年的最后一个流动点之间的比率为0.7，这表明这两个到期日之间的关系仍然存在，与UFR和Smith-Wilson方法论的观点相反，60年是一个恒定的最终水平。5年和20年利率之间的相关性ρ为0.77。既不能太高而无法捕捉曲率，也不能太低，这可以更容易地用误差项η来解释。平均噪声项为1.1×10-5表明基于这两个成熟度的模型不会产生太多噪声。正如已经指出的那样，输入选择与标准曲率研究相比是相对长期的。

这支持了收敛性（a）随时间的收敛速度（b）密度图6：左边是所有不同的κs的平均值，其中τ=20是最后一个液点∈ (τ + 1, τ + 2, ...) = (21, 22, ..., 100). 红色虚线代表95%的最高后验概率区域，蓝色虚线代表95%的可信区间，绿色虚线代表平均值。右图显示了基于所有模拟的固定外推点s=60的密度。一个因式分解，实现了该方法的目标，该方法对极远的数据集感兴趣。N-到期一年期远期利率f（N→N+1）和观察到的零率（Cochrane（2001））具有以下极限值。如果到期日为整数，则最终远期利率（UFR）将变小→∞f（N）→N+1）t=θ到期日观测到的零利率τ与当年远期利率之间的平均回归参数为τe-κN（1）- E-~κ)(1 - E-通过简单地根据正向速率重写z（τ）的表达式得到。考虑到最近关于UFR的争论，τ被设置为最后一个液点和外推周期。荷兰养老基金遵循Solvency II规则的常见选择是最后一个流动点为20，达到UFR的时间为60年。y（20）和f（60）之间的平均逆转率→61）约为36%。与我们刚才讨论的两个零利率之间的关系类似，如果外推的远期利率移得更远，零利率和远期利率之间的依赖性就会减小。这一总体趋势与模拟的UFR技术一致，尽管60年后仍然存在依赖性。8外推常用的外推方法有Nelson-Siegel法和Smith-Wilson法。Nelson-Siegel（NS）函数根据一组较短的到期利率推断收益率曲线的长端。

长端的表现相当稳定，这是实践者欣赏的特征。然而，今天的外推不同于明天的外推，因此，对于每个横截面，长端的波动率都较高，得到了不同的曲线。还要注意的是，最终水平高度依赖于最后观察到的速率，因此意外的变化会导致长期的高度不确定性。这种技术的高度可变性提高了模型的动力，该模型在很长的一端横截面移动到固定速率。史密斯-威尔逊（SW）方法是一种插值方法，它充分利用了极限常数水平的思想。作为对模型的一种解释，我们可以分别用NS、Vasicek和SW对模型进行从易失到恒定的排序。我们想要衡量的是长期利率的不确定性。因此，无论数据显示的是长期到期的恒定水平，还是高波动性的外推。8.1 UFR外推养老基金和保险公司关于长期债务定价的最新发展正在讨论中。在一些国家，中央银行采用UFR，如Solvency II所述。我们将Smith-Wilson平滑技术（Thomasand Mar（2007）和挪威（2010）的一些实施说明）应用于2013年9月的swapcurve，UFR为4.2%，最后一个液点为20年，通过偏离大气3个基点来接近UFR，并在60年后达到UFR。图表显示了基于这些输入选择的曲率，加上由少数更长期限的报价利率组成的掉期曲线。