利用参数外推利率期限结构

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英文标题：
《Extrapolating the term structure of interest rates with parameter
  uncertainty》
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作者：
Anne Balter, Antoon Pelsser, Peter Schotman
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  Pricing extremely long-dated liabilities market consistently deals with the decline in liquidity of financial instruments on long maturities. The aim is to quantify the uncertainty of rates up to maturities of a century. We assume that the interest rates follow the affine mean-reverting Vasicek model. We model parameter uncertainty by Bayesian distributions over the parameters. The cross-sectional and time series parameters are obtained via the restricted bivariate VAR(1) model. The empirical example shows extremely low confidence in long term extrapolations due to the accumulated effect of the mean-reversion`s behaviour close to the unit root.
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中文摘要：
极长期负债的定价市场一直在应对长期金融工具流动性的下降。其目的是量化一个世纪内到期利率的不确定性。我们假设利率遵循仿射均值回复Vasicek模型。我们通过参数的贝叶斯分布来建模参数的不确定性。横截面和时间序列参数通过受限二元VAR（1）模型获得。经验例子表明，由于均值回归行为接近单位根的累积效应，长期外推的置信度极低。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Extrapolating_the_term_structure_of_interest_rates_with_parameter_uncertainty.pdf (964.38 KB)

2022-5-5 07:30:39 上传

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关键词：利率期限结构 期限结构 利率期限 Quantitative Applications

用参数不确定性推断利率期限结构*马斯特里赫特大学+肖特曼，彼得马斯特里赫特大学佩尔瑟，安顿§马斯特里赫特大学该版本：2013年12月18日摘要定价极长期负债市场一贯处理长期金融工具流动性下降的问题。其目的是量化一个世纪内到期利率的不确定性。我们假设利率遵循有效均值回复的Vasicek模型。我们通过参数上的贝叶斯分布来建模参数不确定性。横截面和时间序列参数通过受限二元VAR（1）模型获得。经验样本显示，由于均值回归行为接近单位根的累积效应，长期外推的可信度极低。关键词：Vasicek，VAR（1），ATSM，利率模型，期限结构，参数不确定性，贝叶斯，外推*电话：+31433884962。电子邮件：a。balter@maastrichtuniversity.nl+荷兰马斯特里赫特536211LM Tongersestrat电话：+31433883862。电邮：p。schotman@maastrichtuniversity.nl§电话：+31433883899。电子邮件：a。pelsser@maastrichtuniversity.nl1引言定价极长期负债市场在不完全市场中一直面临定价的困难。由于金融工具的流动性随着时间的推移而下降，衍生品市场是不完整的。长期负债必须由养老基金和人寿保险公司定价，因为预期寿命超过了流动资产的成熟期。因此，我们在本文中寻找一种将收益率曲线外推到未来的方法。在大约二三十年的时间里，欧洲市场是流动的，而养老金基金则需要期限长达一个世纪的利率。

因为基金有义务计算未清偿负债的适当现值，以确定基金的“健康状况”。目前的利率很低，是什么导致了低的资金比率，并引起了所有世代的关注。因此，我们研究了在非常远的一端推断利率期限结构的方法，重点是不确定性的大小。由于其可操作性，短期结构模型（ATSM）被两个学术界以及金融从业者广泛使用。因为我们对曲率的长端感兴趣，所以水平因子是决定形状的主要因素。经济理论和历史数据强调了一种反复出现的模式，即高利率向下移动，低利率同时上升到一个恒定水平。Vasicek模型基于这些波动，是我们用于长期到期的模型。将价值推向恒定最终水平的参数对长期利率的外推有很大影响。因此，我们对这个参数的绝对值和不确定性感兴趣。大多数文献关注的是期限长达10年的收益率，而在这段时间内，这种影响并不受高度关注。然而，50年至100年的利率是养老基金需要的标准期限，主要由均值回归参数决定。数据显示，均值回归很低，接近单位根。此外，对于均值反转的低值，最终利率显示出极大的不确定性。由于这两个参数都是外推的关键，我们对平均值回归的总影响感兴趣。我们研究了Vasicek模型（1977）中的参数不确定性。由于不确定性通过定义参数的分布而适用，因此对该问题采用贝叶斯解释。

在最后一个流动点之后，按照Vasicek模型计算累积空头利率的确定性等价物，是用于利率曲线外推的方法。我们在一组由长期债券利率和一组构造性先验组成的数据集上确定后验概率。为了强调曲率的极长端，与标准期限结构模型相比，液体输入成熟度也被选择为中长期。我们将Vasicek外推与Nelson-Siegel（NS）方法和Mith-Wilson（SW）方法以及最终远期利率（UFR）进行比较。就波动性而言，我们可以将NS模型的横截面排名为极度波动性，而SW is通过构造在长端没有不确定性，Vasicekmodel介于两者之间。本文的结构如下。第2节描述了理论有效性模型。第3节描述了数据。然后，我们在第4节中进一步说明了计量经济学模型和协方差矩阵的分解。在第5节中，使用了频繁条件最大似然法，在第6节中，解释了贝叶斯方法。而贝叶斯技术的经验应用和模型运行，包括对结果的讨论，可在第7节中找到。第8节包含与Nelson-Siegel和Smith-Wilson UFR方法相比的经验应用的外推。然后进行了讨论和一些稳健性注释，最后，结论构成了第10.2节的有效期限结构模型。Vasicek模型描述了一个自回归过程，并收敛到长期平均值。由于其实际的经济应用和分析的可处理性，它得到了广泛的应用。在这个模型下，许多资产定价的估值都可以解析求解，即。

贴现债券定价、贴现债券期权、上限、利率、互换期权。然而，在这里，我们将在参数不确定性的假设下对利率的期限结构进行拟合，这使得问题只能在数值上解决。对于时间步长，Vasicek模型的转移密度与1阶离散时间自回归过程（AR（1））相同，因此这两个过程将交替使用，以便于数学和实现。无论我们处理的是短期利率的过程还是零利率的过程都是相同的，因为一方的Vasicek导致另一方的Vasicekmodel由于一种有效关系而产生一对一的对应。Vasicek模型的均值回复连续时间随机微分方程（SDE），在现实世界概率测度下，短利率r isdrt=-κ（rt）- u）dt+σdWtWe我们使用以下模型，因为数据是以零速率（zt）dzt=-κ（zt）- m） dt+σb（τ）dWt（1）通过欧拉分解和连续性校正，零速率的直接表达式为zt+h=zt-1.- E-κhκh（zt- m） +σr1- E-2κh2κet+h（2）其中et~ N（0，1）是iid。为了进行预测，我们切换到风险中性概率度量Q。由于作为贴现因子计算的短期利率的预期累积对应于零利率，分析公式用较短的到期时间τ表示到期时间为s的零利率。让随机贴现因子（SDF）、Radon Nikodym导数（RN）或定价核（PK）定义为D∧∧=-rtdt- λtdW（3），其中λt=∧+∧rt（4），主要用于Duffee（2002）提出的其他模型中。

这决定了债券价格自然对数的有效关系，用yieldsasz（τ）=-τA（τ）-τB（τ）rt（5）基本定价方程意味着这两个指标之间的关系是（见附录A）~κ=κ+σ∧u∧κ=μκ- σ∧（6）式中，tilde表示无风险度量Q，没有tilde的变量来自历史度量P。短期利率的过程可以在两种度量下表示。在风险中性测度下，通过求解期望方程，可以实现从短期利率到零利率的过渡-Rτrsdsi=e-τz（τ）（7）intoz（τ）=b（τ）rt- θ+ θ+τωb（τ）（8），其中b（τ）=1- E-~κτ~κτθ = ~u -σ2~κω=σ2~κ函数b（τ）量化长期收益率对短期利率r的敏感性，ω是短期利率和τ的无条件方差→ ∞ 收益率收敛于θ，即长期平均值，等于短期利率减去有限期内凸度调整的风险中性平均值。所有零利率都是当前短期利率和长期收益率的加权平均值加上凸度调整。推导如附录B所示。上述公式可用于表示两种不同产率的相关性。对于s>τz（s）=b（s）b（τ）z（τ）- θ+ θ+ωb（s）某人（s）- τb（τ）（9） 我们将把这个表达式称为外推方法。收敛速度b（s）b（τ）代表某一未来收益率相对于报价收益率和流动收益率向长期平均值的均值回归。它也可以解释为相对进化性，vol[z（s）]vol[z（τ）]=b（s）b（τ），这是s增加时从1到0的递减函数。其目的是确定长期利率，同时接受参数估计误差。

在经典计量经济学中，渐近分布近似于有限样本。通过定义真实参数的分布来合并不确定性是一种包含不确定性的方法。在我们描述添加参数不确定性的模型之前，我们首先简单地显示数据。之后，我们更详细地指定模型，并应用两种不同的模型来量化不确定性。3数据德国央行网站上提供了期限为1年至50年的每月零息欧元掉期利率。样本期为2002年1月至2013年9月，每个到期日有140个数据点。在20年到期之前，平均期限结构的收益率一直在增加，20年到期之后，对于更长的到期日，它会略微向下倾斜。短期至中期债券的初始驼峰形状可从http://www.bundesbank获得。de/Navigation/EN/Statistics/Time series数据库只能用多因素模型来解释。然而，我们感兴趣的是长时间的自然曲线是平滑的，没有驼峰。自此以后，一个单因素模型（如AR过程）可以捕捉到这一点。图1显示了2013年9月的平均期限结构和期限结构，描述了当前极低利率的情况。欧元互换利率（a）水平（b）波动性图1：左边的图表显示了到期日为1、2、3、。。。，从2002年1月到2013年9月，历史平均为50年。蓝线表示历史平均值，而红色虚线表示2013年Seotember的期限结构。右边的图表显示了相同期限和时间序列的平均波动率。

利率以百分比表示，到期日以年为单位。图1b显示了从15年后的到期日开始向上倾斜的模式，这在历史数据中既不常见，也不被理论期限结构模型所捕捉。在所有均值回复模型中，AR模型意味着，对于更长的到期日，波动率曲线向下倾斜。对这一意外趋势的一种解释是，非常长期的掉期价格包含更多的噪音，因为在时间线的这一端，市场流动性差。完整的数据集可以解释为面板数据。其中，我们通过考虑固定到期日来确定时间序列，从而得出一组140个该到期率的历史观察值。如果历史上的某个时间点是固定的，则可以找到该时期的完整横截面术语结构。由于我们对曲线的很长一端感兴趣，我们也只使用相对较长的到期日作为模型的输入。参见图2中[2002年1月：2013年9月]期间5年期和20年期利率的历史发展。时间序列数据图2：蓝线是2002年1月至2013年9月5年期掉期利率的时间序列路径，红线显示20年期利率的历史发展。4.经济计量模型为了计算长期平均数，我们需要知道随机贴现因子∧∧的过程。推导长期均值的一种方法是计算风险中性和物理概率测量下的长期均值和均值回归参数。由于这两个指标之间的关系取决于风险的市场价格，因此知道λtorκ和u是等价的。我们将在这里应用后一种方法，对SDF的限制是Cochrane和Piazzesi（2009）的方法。

Joslin、Singleton和Zhu（2011）表明，如果不限制风险定价，基于历史的估计不会在风险中性估计中添加信息。为了从至少两种不同的到期日中得出横截面测量Q历史数据下的参数。对于单一利率时间序列，不可能识别横截面参数。对于多个到期日，参数被过度识别。使用离散AR（1）过程作为连续Vasicek模型的等价物，可以扩展到更高的维度，因此，双变量Vasicek模型具有双变量AR（1）模拟。在这个双变量过程中，两个成熟度的平均值是不一样的，而平均回归参数对于这个过程应该是唯一的，并且施加了唯一的一维变化。此后，将单因素模型视为遵循VAR（1）过程“zt（τ）zt（τ）#=”zt-h（τ）zt-h（τ）#- 啊“zt”-h（τ）- m（τ）zt-h（τ）- m（τ）#+√hσ“e（1）te（2）t#（10）Zt=Zt-H- 啊(Zt)-H- m）+√hσet（11），其中e（1）和e（2）来自协方差矩阵为∑SIMUL=σ∑=σ=∑（11）σ（21）σ（21）σ（22）#的二元标准正态分布。κ和σareaDRAW=1的连续性误差修正-eκhκ和√hσDRAW=q1-E-2κh2κσ。理论模型将具有由关系式（9）暗示的协方差矩阵，∑模型=σ“b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）#（12）这个矩阵排名第一。然而，由于观察到产量下降，因此存在一些噪音。短期Vasicek模型的5个参数u、u、κ、κ和σ被过度识别。实际数据无法准确识别理论矩阵。将该噪声作为相关项或额外噪声项包括在内。相关系数为ρ→ 1和噪音计将进入η→ 如果数据的行为越来越像手头的单因素模型，则为0。在实证研究中，两种方法都被采用。

De Jong（2000）在他的多因素状态空间模型中指定了一种度量恐怖。请注意，需要更多的到期日来确定使用卡尔曼滤波器估计的参数。在De Jong’spaper（2000）中，单因素模型显示了对一般术语结构的严重误判。包括三个因素（分别是水平、陡度和曲率（Littermand Scheinkman（1991）））似乎最能反映历史数据的变化（Dai和Singleton（2000））。更具体地说，Litterman和Scheinkman（1991）表明，约90%的变化可以用第一个因素来解释，但我们只对期限结构的极端长期结束感兴趣，其中一个因素满足所需的特征。为了强调De Jong、Litterman和Scheinkman以及本文中建模的不同领域，De Jong、Litterman和Scheinkman都包括短期到期，其中我们的模型不包括5年以下的利率。由于相关分解和噪声分解非常相似，我们将根据误差分量η分解协方差矩阵。∑η=∑模型+Iη=σ“b（τ）+ηb（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）b（τ）+η#（13）首先可以用数值方法得到#κ，在此基础上，其他参数是解析可解的≥ 0<=>σ(11)- σ(22)σ(21)≥ 0（14），因为分子大于零的条件是由ρ-分解施加的，σ（11）≥ σ（22），我们加上条件σ（21）>0。用m（τi）表示零速率的期望值。如果我们知道公式b（τi）和模拟值m（τi），那么二元过程会产生两个关于两个未知数θ和u的方程。“m（τ）m（τ）#=”b（τ）1- b（τ）b（τ）1- b（τ）#“#θ#+ω”τb（τ）τb（τ）#（15）由于我们已经推导出θ和#u之间的关系，我们也知道隐含的随机贴现因子。