利用参数外推利率期限结构

由于这是一个热门话题，荷兰UFR委员会最近的一份报告（2013年10月）提出了一个更具历史意义的最终水平，以及在最后一个流动点之后仍然可用的市场数据之间的平滑技术，该技术通过基于Vasicek模型的递减权重来考虑。通过绘制所有成熟度的点估计值，该技术的强度只能通过添加不确定性度量来评估，例如方差。通过建设，长期收益率是完全确定的，因为它是预先选择的。因此，这是否反映了市场的一致性非常值得怀疑。在之前用长期约束拟合收益率曲线的研究中，Smith，A.和Wilson，T.Research Notes，Baconand Woodrow，2001年。关于史密斯-威尔逊方法的技术说明，挪威金融监管局，2010年。Smith Wilson图7:Smith Wilson方法适用于2013年9月起的零曲线，其中最后一个液点为20年，达到UFR的时间为40年后，因此从2013年9月起为60年，UFR水平设定为4.2%，在3个基点内达到。红线表示原始输入，蓝线表示史密斯·威尔逊的外推曲线。我们看到，随着外推时间的增加，远期利率的依赖性下降，但是f（60→61）t确定不确定性界限仍然远远不是独立的。我们从数据中了解到，平均回复率较低，这表明最终水平的范围非常远且连续，从而导致极端的最终水平，而为了支持UFR方法，κ应该较大。8.2 Nelson-Siegel外推对于每个时间序列数据集，通过theNelson-Siegel方法（1987）获得不同的横截面外推。

该技术通过一条曲线来确定参数，并基于这些确定的参数来提取曲线。z（t）=β+β1- E-t/τt/τ+β1.- E-t/τt/τ- E-t/τ（19） 我们用最小二乘法拟合了零交换曲线的前20个数据点，并扩展了曲线。与Smith-Wilson方法相比，外推的方向相当灵活，导致长期利率低于UFR水平。这是因为与历史数据集相比，市场利率相对较低。Nelson-Siegel技术的另一个特点是，外推具有高度的波动性，因为每次报价发生变化时，整个外推都会受到影响。特别是，由于直线延伸，最后一个液速的移动会导致最终液位的大幅变化。Nelson Siegel图8:Nelson Siegel函数应用于1,2,3，。。。，通过最小二乘法校准，自2013年9月起为20年零利率。参数的估计值为τ=1.93，β=0.03，β=-0.03, β= -0.04. 从1到100的所有年利率都是根据这些估计值计算的。8.3贝叶斯外推现在，我们采用所述的贝叶斯方法，在参数不确定性假设下，我们通过有效的Vasicek模型对术语结构进行建模。我们选择5年和20年的横截面到期日作为数据跨越的完整时间。此外，在下面的图表中，我们使用2013年9月的零利率作为最后观察到的利率，其市场一致性长达20年，然后通过本文的方法延长曲线。贝叶斯外推（a）HPD和CI（b）平均值图9：图（a）显示了基于贝叶斯图的平均发展，用绿色表示，用基线红线表示95%的最高后验区域，用虚线表示95%的可信区域。因此，在同一条曲线上，如果没有绿色区域的平均值，则在同一条曲线上缩放。

曲线基于2002年至2013年9月的5年期和20年期掉期利率，而前20年期仅为2013年9月的掉期利率。从20年的最后一个独立点开始，外推开始，并绘制到100年的成熟期。费率以百分比表示。从外推中我们可以看到，在UFR水平保持不变的点之后，点估计具有更高的斜率，并且继续增加。本文采用的方法的优点是在正限制条件下增加了HPD和CI。这些范围显示，100年期利率在1%到10%之间，95%的置信度，这是一个经济现实的利率范围，但实际上表明缺乏一定的估计。UFR方法和Nelson-Siegel方法都属于不确定集。与其他两种方法相比，该模型只关注极长期利率，因此只使用相对较长的到期日作为输入，这是一种稳健的方法，并将输入和输出一致地联系起来。而NS方法使用相对较短的利率来预测长达一个世纪的利率。9鲁棒性在短期利率和零利率模型中，物理测量下的离散平均回归参数在结构上相似。因此，我们的离散估计可以与Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders（1992）和andAit-Sahalia（1996）对αh的离散估计进行比较，后者等于-κh.CKLS的估计范围为-0.18至-0.59，用于每月观察一个月的国债收益率，并基于每天观察一周的欧元汇率。Ait-Sahalia的平均回归范围为-0.014到0.038。

对于κ的单时间序列估计，我们发现0.1604，因此与-0.1647 ·= -0.01373，在几乎为零（略负）到-0.02648的范围内，HPD 95%作为ait-Sahalia间隔的两个CKL的子集。作为稳健性检查，我们还将贝叶斯过程应用于输入的自然集的不同选择和先验的不同超参数。这些选择的结果的敏感性很小（敏感性分析见附录H）。此外，ACF、CUSUM和Geweke测试表明，模拟没有收敛问题（见附录I）。具有参数不确定性的连续自回归高斯函数模型是一种理论模型，通常可应用于不同的数据集，必要时可对模型进行调整和扩展。在这里，我们将该模型用作一个示例，因为没有用于参数不确定性外推的闭合形式解，但该解基于数值程序。10结论在均值和均值回归参数为正的条件下，考虑Vasicek模型中的参数不确定性的能力，使得贝叶斯设置对利率建模具有吸引力。我们通过使用由两种不同到期日的利率组成的数据集来推断利率的期限结构。在这个二元正态过程中，通过加上相关项或噪声项，隐含参数可以解析解。条件极大似然估计会导致roadth方差和负均值。零利率模型中参数不确定性的规定导致了实际的95%可信区间和最高后验概率区域。外推范围显示，根据20年至100年的外推，该比率可能在1%至10%之间。

因此，不确定性非常大，因此相信点估计是不合适的。其原因可以通过接近单位根的均值回归行为来解释。尽管外推所需的横截面平均回归参数的区间在0到0之间。04这对θ有很大的影响，并被证明是决定溢出的相关参数。但θ的极端不确定性不会在外推中增加。对于低均值回归，Vasicek模型不会在有限的时间跨度内收敛到θ，而对于较大均值回归，最终水平的不确定性较小。根据数据，推断包含非常宽的置信区间。如果一个人认为不确定性要小得多，那么他就间接地声称手头有更多的优先信息。因此，要么我们必须接受不确定性大小的问题，要么有更多我们不知道的可用信息，这些信息应该包含在先验中以缩小界限。综上所述，经典估计会导致不合理（通常为负）的长期收益率和极宽的置信区间，但合理的贝叶斯先验会导致更合理的外推。附录a关系P和Q假设在两个不同的概率测度下存在两个短期利率AR（1）模型，风险中性Q和风险完全P通过使用随机贴现因子（SDF），不同测度的参数之间的关系可以推导如下。让SDF床∧∧=-rtdt- λdwt这里λt=∧+因为在风险中性度量λ=0下，我们可以导出两个概率度量之间的关系。这里使用AR（1）的连续表示法，Vasicek模型来表示这种关系。drt=κ（u）- rt）dt+σdWt（1）价格的对数与短期利率r有关。

与Cochrane（2001）的注释类似，其中T=T+τ是债券的到期日，而tis处的价格（因此τ是剩余的到期时间）p（τ，T，r）=-A（τ）- B（τ）rt（2）因此，价格的（反对数）为（duffe and Kan（1996））P（τ，t，rt）=exp(-A（τ）- B（τ）rt）（3）通过它的LemmadP（τ，t，rt）=-B（τ）P-drt+A（τ）t+B（τ）trtP dt+B（τ）σP dtdP（τ，rt）P=-B（τ）drt+A（τ）t+B（τ）trtdt+B（τ）σdt基本定价方程状态集民进党- rtdt=-EdPPd∧-B（τ）κ（u）- rt）dt+A（τ）t+B（τ）trtdt+B（τ）σdt- rtdt=-B（τ）σ∧dt- B（τ）σ∧rtdt，按不带r的所有项排序-B（τ）κdt+A（τ）tdt+B（τ）σdt=-B（τ）σ∧dt=>A（τ）t=B（τ）[κu- σΛ] -B（τ）σ和包含r的项-B（τ）κrtdt+B（τ）trtdt- rdt=-B（τ）σ∧rdt=>B（τ）t=1- B（τ）[∑∧+κ]为了完整性，上述公式都是概率测度P的形式。

不管概率测度如何，成分A和B的导数都是相等的，因此我们也知道，在风险中性测度λt=0下，A（τ）t=B（τ）[κu- σΛ] -B（τ）σ=B（τ）[κu]-B（τ）σB（τ）t=1- B（τ）[∑∧+κ]=1- B（τ）[＠κ]如果我们把这些项分别放在等于＠κ＠u和＠κ的括号中，我们得到＠κ=κ+σ∧＠u＠κ=κ- σ∧（4）零利率的一个有效推导P isdrt下短利率的Vasicek过程=-κ（rt）- u）dt+σdWtBy在Q下的伊藤引理这可以直接表示为t+s=rte--κs+-u（1- E-√κs）+σZt+ste-κ（t+s）-u） dWuZτrt+sds=Zτrte-κsds+Zτu（1- E-■κs）ds+ZτZt+stσe-κ（t+s）-u） dWuds=（rt）- ~u)(1 - E-§κτ）～κ+～uτ+ZτZt+stσe-κ（t+s）-u） dWuds（5）改变积分的阶数zτZt+stσe-κ（t+s）-u） dWuds=Zt+τtZτu-tσe-κ（t+s）-u） dsdWu=Zt+τt-σκ(1 - E-κ（t+τ）-u） )dWuLetM=EZτrt+sdsrt= （rt）- ~u)(1 - E-△κτ）△κ+△uτ（6）和letV=varZτrt+sdsrt=σ∧κZt+τt（1-E-κ（t+τ）-u） ）du=σ|κτ-1.- E-~κτ~κ-(1 - E-~κτ)2~κ!（7） 如果X~ N（M，V）然后E[eX]=eM+vtuse[E-Rτrsds]=e-M+V=e-τz（τ）τz（τ）=M-Vz（τ）=（rt- ~u)(1 - E-~κτ)~κτ+ ~u -σ2~κ-σ2~κ1 - E-~κτ~κτ-σ2~κ(1 - E-~κτ)2~κτLetb（τ）=1- E-~κτ~κτθ = ~u -σ2？κω=σ2？κ那么z（τ）=b（τ）rt- θ+ θ+τωb（τ）z（s）=b（s）rt- θ+ θ+sωb（s）z（s）=b（s）b（τ）z（τ）- θ+ θ+ωb（s）某人（s）- τb（τ）C有效关系短期利率和零利率短期利率在真实世界测量Pdrt=-κ（rt）- u）dt+σrdwt该期望意味着短期利率r和零利率zz（τ）=b（τ）之间存在线性关系rt- θ+ θ+τωb（τ）（8）因此过程dz也是一个Vasicek模型。

如果我们让DZT=-a（zt）- m） dt+σzdwt我们必须找到两个Vasicek模型的参数之间的关系，dz（τ）=db（τ）rt- b（τ）θ+θ+τωb（τ）(9)= -b（τ）κ（r）-u）dt+b（τ）σrdW（10）关系式（8），这里反过来重写，对于ztrt=z（τ）b（τ）的rtin项-θb（τ）-τωb（τ）+θ（11）插入（9）导致todzt（τ）=-κz（τ）- θ -τωb（τ）+θb（τ）- ub（τ）dt+b（τ）σrdWThusa=κm=θ+τωb（τ）- θb（τ）+ub（τ）σz=b（τ）σrD协方差分解表3：每个分解的关系corr噪声- E-~κτ1 - E-■κτ=rσ（11）σ（22）τ（1）- E-~κτ)τ(1 - E-~κτ)τ-(1 - E-~κτ)τ(1 - E-~κτ)τ=σ(11)- σ（22）σ（21）σ（11）~b（τ），σ（22）~b（τ）σ（21）b（τ）b（τ）ρσ（21）√σ(11)σ(22)η - σ(11)- σb（τ），σ（22）- σb（τ）表4：共同关系R和噪声κ-ln（1）- adh）hu（1- b（τ））m（τ）- (1 - b（τ））m（τ）b（τ）- b（τ）-ωτb（τ）（1）- b（τ））- τb（τ）（1）- b（τ））b（τ）- b（τ）~uθ+σ2κθb（τ）m（τ）- b（τ）m（τ）b（τ）- b（τ）-ωb（τ）b（τ）τb（τ）- τb（τ）b（τ）- b（τ）∧κ- ~u~κσΛ~κ - κσE条件最大似然估计如果我们不考虑贝叶斯方法，而是使用频率论方法，我们从基于Zt=Zt的相同似然函数开始-H- 啊(Zt)-H- m）+√hσe（1）和e（2）的皮重来自二元标准正态分布。似然函数isL（Z | m，a，∑）=（2πh |∑|）-N/2exp-2h（Zt）- Zt-h+ahZt-H- 啊ιm）（Zt）- Zt-h+ahZt-H- ιm）ah∑-1.其中尺寸为，Zt=[N×2]，m=[2×1]，a=[1×1]，∑=[2×2]h=[1×1]，ι=[N×1]。我们可以使用条件最大似然估计（cMLE）来获得κ和u的估计量，而不是使用贝叶斯定理的MCMC方法。请注意，在第一次观察的条件下，cMLE是在Zi给定的假设下工作的。作为一种数学约定，初始起点的边缘分布假定为一个接近1的狄拉克-德尔塔函数，这可以被视为不确定性消失的异常极限。

在经典解释下，参数是正态分布的，平均值等于cMLE，方差由二阶导数负期望的倒数得到。与贝叶斯方法的不同之处在于，这种分布是基于重复采样的假设实现的，而贝叶斯方法是以一个有限的样本为条件的，这使得在有限的数据点上是有价值的，这通常是结构间模型的情况。条件对数似然为`=logl（Z | m，a，∑）∝ -Nlog |∑|-2h（Zt）- Zt-h+ahZt-H- 啊ιm）（Zt）- Zt-h+ahZt-H- ιm）ah∑-1（12）参数a、m和∑的最大似然解与最小化普通最小二乘的解相同。因此我们得到acmle=tr（（ιm- Zt-h）Z） tr（h（ιm）- Zt-h） ιm- Zt-h） ）麦克尔=(Z+ahZt-h） ιahN∑cMLE=（Zt- Zt-h+ahZt-H- 啊ιm）（Zt）- Zt-h+ahZt-H- 现在，如果我们取条件对数似然的二阶导数，我们可以导出渐近方差。二阶导数得到一个矩阵，如果我们取负期望，它就是信息矩阵。逆矩阵产生a，m的渐近协方差矩阵。因此，渐近分布区域~阿森acMLE，trΣ-1cMLEh（ιmcMLE）- Zt-h） （ιmcMLE）- Zt-h）-1.M~阿森麦克尔，Σ-1cMLENacMLEh-1.在向量∑cMLE的Hessianmatrix（对角线项的负表达式的逆）上，通过通常的程序得到∑cMLE的渐近方差（Magnus和Neudecker（1988））。向量∑cMLE）=（σ（11），σ（21），σ（22））由于σ（12）=σ（21），存在一个与向量∑cMLE等价的复制矩阵的预乘。设D+=（DD）-1D。

然后Magnus和Neudecker给出了半向量化方差的一般结果，得到了渐近分布vech（∑）~阿森向量∑cMLE，2D+（∑cMLE） ∑cMLE）D+F超参数条件后验分布条件后验分布分别为，F（a | Z，m，∑）∝ f（Z | Z，a，m，∑）f（a）~ Nuca（Z，m，∑），τca（Z，m，∑）f（m | Z，a，∑）∝ f（Z | Z，a，m，∑）f（m）~ Nucm（a，∑，Z），Ohmcm（a，∑，Z）f（σ）-1 | Z，a，m）∝ f（Z | Z，a，m，∑）f（σ）-1)~ Wψc∑（Z，a，m），νc∑（Z，a，m）其中下标a、m或∑表示先验均值和（协）方差，前面的c表示条件后验均值和（协）方差。这些后超参数都是依赖于其他参数的函数。uca=tr（σ）-1.Z（ιm）- Zt-h） ）+uaτa·htr∑-1（ιm）- Zt-h） ιm- Zt-h） ）+τaτ-2ca=htr（σ）-1（ιm）- Zt-h） ιm- Zt-h） ）+τaucm=OhmM-∑1+1-1.-1·OhmM-1um+a∑-1ι(Zt+ahZt-h）Ohm厘米-1=OhmM-1+aT∑-1.ψc∑=ψ∑+h-1(Zt+ahZt-H- 啊ιm）(Zt+ahZt-H- ahιm）νc∑=ν∑+NG最大似然外推cmle外推（a）所有模拟（b）平均值图10：基于2013年9月20年到期的最后一个流动点，τ=5，τ=20。红色虚线表示95%的置信区间，绿色虚线表示21至100年的到期日估计值。H.对于不同的横截面数据选择，鲁棒性检验结果相似。τ=10，τ=20的噪声。表5：τ=10，τ=20平均HPD95磅HPD95 ub CI95磅CI95 ub St的修正值。