加速股份回购：定价与执行策略

对于（i），让我们首先注意：γlog- un（x，q，S，A）- Y=inf（v，n）)∈γlogE“expγYn- Y+l（qn，q，vn）)!!#!.利用引理1，我们计算了差异Yn- Y:Yn- Y=σ√δtN-1Xj=nqj-N- jnQj+1-N- nnQS- Aσ√δt+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt.然后γ测井(-un（x，q，S，A））- Y=inf（v，n）)∈γlogE“expγσ√δtN-1Xj=nqj-1.-jnQj+1-1.-nnQS- Aσ√δt+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+l（qn，q，vn）)!!#!.利用θn的定义，我们得到un（x，q，S，A）=-经验-γ-Y- θnq、 S- Aσ√δt.为了证明（ii），我们首先证明了（6）中定义的θn，n+1满足以下方程：~un，n+1（x，q，S，A）=-经验-γ-Y-θn，n+1q、 S- Aσ√δt. （9） 为此，我们注意到：I=γlog(-联合国，n+1（x，q，S，A））- Y=infv∈RγlogE“expγYn+1- Y+θn+1Q- vδt，Sn+1- An+1σ√δt!!#!.差异Yn+1- Y可以用引理1计算，如上所述：Yn+1- Y=σ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1S-Aσ√δt+ LVN+1Vn+1δt.差异Sn+1- An+1可直接计算：Sn+1-An+1=Sn+1-nn+1A+n+1Sn+1=nn+1σ√δts- Aσ√δt+n+1.因此，我们有i=infv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1S-Aσ√δt+LVN+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1s- Aσ√δt+n+1!!#!.这给出了（9）。最后，我们将方程（7）和（9）插入到（4）中，得到（8）。（θn）有界的证明，允许我们直接从（4）计算这个动态规划方程，见附录A.3.2变量变化背后的基本原理，并与[12]命题2状态进行比较。要解决的问题实际上是维度3，三维是时间、库存q和价差Z=S-Aσ√δt.尤其是，银行的购买行为仅取决于s和A到Z。有趣的是，注意到这个结果与Jaimungalet al.在[12]中获得的结果之间的联系。在不同的框架下，在[12]中获得的最优策略仅取决于比率。

这些结果非常重要，因为它们可以减少变量的数量，从而显著提高数值方法的速度。在这两种情况下，相关变量是价格S相对于平均p大米A的相对位置。这与直觉一致：如果S低于A，则有购买股票的动机，因为在没有流动性成本的情况下，收益将是A- 最后，我们强调变量的变化是一个比率，而不是我们框架中的差异。这来自他们对对数正态价格回报的选择。他们确实考虑了一个具有年龄计量布朗运动f或S的连续时间框架，而我们选择了一个具有独立且正态分布价格增量的离散时间框架。为了找到最优清算策略和最佳停止时间，我们需要解一个递归方程来计算（q，Z）7→ （θn（q，Z））n.θn的定义服务于一个新的元素。它由三部分组成：θn（q，Z）=inf（v，n）)∈γlogE“expγσ√δtn-1Xj=nqj-1.-jnQj+1 |{z}风险项-1.-nnQZ{z}z术语+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+l（qn，q，vn）)|{z}流动性术语！！#！。（10） 风险术语对应于与支付相关的风险。如果n如果已经确定，这种风险可以通过均衡购买股票，直到= Nδt.然而，n这是一个停车时间，事前不知道。实际上，这意味着，为了对冲与收益相关的风险，策略（大致）取决于n的目标值, A根据Z的演变而变化的目标值：当S低于A时，我们希望尽早结束该过程，以从A和S之间的差异中获益，而我们预期如果S大于A，则为大。为了理解Z项，值得回顾的是，银行时间的确定性等价于QAn-Xn-qnSn-θnqn，Sn- σ√δt（这是等式（7））。

换言之，既然银行能赚到QAn-Xn-qn如果它现在能够购买qn股票并立即交付（并行使期权），那么函数θn表示与有限的可用流动性相关的成本。对于负值Z，Z项量化了f，因为可用流动性有限，且Z的均值回复在0左右，银行将无法完全受益于S和A之间的当前差异。θ是Z的递减函数，目标交付时间n越长, θnis越小，因为Z将有时间返回到0。同样，当Zis为正时，θnis在Z中减小这一事实很简单，因为对于Z的正值，情况自然会改善，因为均值回归现象。最后两项对应于（运行）执行成本和最终流动性成本。3.3 ASR合同的最佳策略和定价在本节中，我们坚持ASR合同的价格，以及如何利用提案2的e对其进行最佳对冲。让我们回到最初的问题。银行期初的价值函数isu（0，Q，S）=supv∈热湖X0,0，v，q0，Q，v，S0，S，S0，Si=supv∈雷- 经验-γQS0，S- X0,0，v- QS0，S- θ（Q）-vδt，0）i=supv∈重新-经验-γ-LvVVδt- θ（Q）-vδt，0）.因此，银行在时间0时的功能价值不取决于价格。这使我们能够从θ中获得ASR合同差异价格的以下公式：第3项。ASR合同的差异价格由∏=γlog给出(-u（0，Q，S））=infv∈RLvVVδt+θ（Q）-vδt，0）.因此，ASR合同的定价依赖于（θn）n的递推方程（8）的求解。我们可以将上述θ的定义推广到n=0的情况。

然后我们直接看到∏=θ（Q，0）。与这种差异价格相关的函数（θn）和递归方程（8）允许找到最佳策略。我们在下面的命题中描述最优策略：命题4。在时间0时，最佳策略包括发送大小为v的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RLvVVδt+θ（Q）-vδt，0）。在中间时间tn<T，如果银行尚未交付股份，则表示zn=Sn-σ√δt，最优策略包括以下内容：o如果n 6∈ N、 发送v码的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtqn-Qn+1n+1-Qn+1Zn+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Zn+n+1）!!#!.o 如果n∈ N、 比较θN，N+1（qn，Zn）和l（qn）。-如果θn，n+1（qn，Zn）<l（qn），然后发送一份v码的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtqn-Qn+1n+1-Qn+1Zn+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Zn+n+1）!!#!.– 如果l（qn）≤§θn，n+1（qn，Zn），然后在剩余的股票被购买后交付股票（假设在模型中是即时的，价格为Snqn+l4.引入永久性的市场影响4。1模型的设置在上述初始设置中，市场影响只是暂时的，归结为执行成本。在这一部分中，我们概括了前面的模型，以引入永久市场影响。为了引入永久性市场影响法案，我们需要估算ASR的收益：我们不考虑Sn+1是当天的VWAP[tn，tn+1]，而是假设它是当天的收盘价，因此A是自期权以来收盘价的平均值。这一近似值是可以接受的，并且通常由从业者在考虑ASR合同时做出。剩余待购买股份的数量仍在演变为qn+1=qn- vnδt，但其演化影响股票价格。在大多数文献中，在[2]和[8]之后，假设对价格的影响与Vnδt成正比。

在这里，根据市场影响的平方根定律，我们考虑一个更一般的形式，即[10]中提出的动态无套利模型的离散对应物（另请参见[1]中阿方西等人的工作）。为此，我们在负函数和递减函数F上引入一个n∈ Lloc（R+），我们写n+1=Sn+σ√δtn+1+（G（qn+1）-G（qn）），其中G（q）='Qqf（| q）-y |）dy.如果我们假设大小vnδt的顺序在区间[tn，tn+1]上均匀执行，这将导致现金账户的以下动态（见附录B）：Xn+1=Xn+Sn+1vnδt- qn（G（qn+1）-G（qn））+（F（qn+1）-F（qn））-σvnδt√′n+1，其中（（k，′k））kare i.i.d.随机变量，其动量生成函数定义为R+，E[（k，k）]=0，V[（k，k）]=√√而F（q）='Qqyf（| q-注释6。涉及F和G的术语与永久性市场影响有关，代表市场影响在订单执行过程中逐渐产生的事实。噪声项σvnδt√′n+1对应于这样一个事实，即当价格Sn+1为收盘价时，我们在一天内逐步执行，并最终执行。我们请读者参阅附录B以了解有关此模型的详细信息。在线性永久市场影响的情况下，该函数是一个常数函数。在这种情况下，影响只取决于交易量qn+1- qn=vnδtSo到目前为止，我们考虑了购买过程中的永久市场影响，但没有考虑交货时的影响。

为了说明交货时的原因，我们认为∈ N∪{N} ，剩余待买的野兔（qn）) 可按总消费额购买锡+ F（0）- F（qn）) + l（qn）) 哪里l 如上所述，是一个罚函数，假设为b econvex，偶数，在R+上增加，并验证l(0) = 0.银行面临的优化问题则略有不同：sup（v，n)∈AE[-经验(-γ（QAn）-Xn- qn锡- F（0）+F（qn）) -l（qn）)))] , （11） 4.2类似于一个三维问题的简化为了解决这个问题，我们如上所述在时间tn:un（x，q，S，A）=sup（v，n）引入问题的值函数)∈安- 经验- γQAn，A，Sn- Xn，x，vn-qn，q，vnSn，S，vn-F（0）+F（qn，q，vn）) - l（qn，q，vn）)i、 其中状态变量定义为0≤ N≤ K≤ N和k>0，通过：Xn，x，vk=x+（F（qn，q，vk）- F（q））+k-1Xj=nvjSn，S，vj+1δt-qn，q，vjG（qn，q，vj+1）- G（qn，q，vj）+ LvjVj+1Vj+1δtqn，q，vk=q-K-1Xj=nvjδtSn，S，vk=S+G（qn，q，vk）- G（q）+σ√δtk-1Xj=nj+1An，A，Sk=nkA+kk-1Xj=nSn，S，vj+1与该问题相关的贝尔曼方程如下：un（x，q，S，A）=-经验(-γ（QA）- 十、-qS- F（0）+F（q）- l（q） ）如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验(-γ（QA）- 十、-qS- F（0）+F（q）- l（q） ））, 如果n∈ N、 ■un，N+1（x，q，S，A）否则，（12）式中■un，N+1（x，q，S，A）=supv∈热润+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，S，vn+1，An，A，Sn+1i、 （13）关于保证不存在动态套利的定义的基本原理，请参见附录B。使用与第3节中使用的变量类似的变量变化，我们将问题简化为3维：位置5。

为了n≥ 1，un（x，q，S，A）可以写成（x，q，S，A）=-经验-γ质量保证-十、- qS+F（q）- θnq、 S- Aσ√δt, （14） 其中θ由归纳定义为：θn（q，Z）=l（q） +F（0）如果n=n，最小值θn，n+1（q，Z），l（q） +F（0）如果n∈ N、 §θN，N+1（q，Z）否则，（15）带：§θN，N+1（q，Z）=infv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z-σvδt√′n+1-Qn+1（G（q-vδt）- G（q））+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1Z+n+1+G（q- vδt）- G（q）σ√δt!!#!. （16） 4.3 ASR合同的最优策略和定价在第3.3节中，我们可以从（θn）和递归方程（15）推导出ASR合同和最优策略的价格。差异价格∏隐含定义为：u（0，Q，S）=-经验(-γ (-Π)) .根据前面的计算，我们得到：位置6。在存在永久市场影响的情况下，ASR合同的间接价格∏由∏=infv给出∈RγlogE“expγ-σvδt√′- Q（G（Q-vδt）- G（Q））+LvVVδt+θ（Q）-vδt，0）！！#！=infv∈Rnγh-γvδt√- Q（G（Q-vδt）- G（Q））+LvVVδt+θ（Q）-vδt，0）o，其中h是随机变量σ的累积量母函数√δt′。p屋顶与命题2的想法相同。与此不同的价格相关，我们可以展示一个最优策略。7号提案。

在时间0时，最佳策略包括发送大小为v的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈Rnγh-γvδt√- Q（G（Q- vδt）- G（Q））+LvVVδt+θ（Q）-vδt，0）o.在中间时间tn<t，如果银行尚未交付股份，则表示zn=Sn-σ√δt，最优策略包括以下内容：o如果n 6∈ N、 发送v码的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z-σvδt√′n+1-Qn+1（G（q-vδt）- G（q））+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1Z+n+1+G（q- vδt）- G（q）σ√δt!!#!.o 如果n∈ N、 比较θN，N+1（qn，Zn）和l（qn）+F（0）。-如果θn，n+1（qn，Zn）<l（qn）+F（0），然后发送大小为v的订单*δt，v*∈ 阿格明夫∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z-σvδt√′n+1-Qn+1（G（q-vδt）- G（q））+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1Z+n+1+G（q- vδt）- G（q）σ√δt!!#!.– 如果l（qn）+F（0）≤§θn，n+1（qn，Zn），然后在剩余的股票被购买后交付股票（假设在模型中是瞬时的）。5数值方法和示例我们现在给出了在没有永久市场影响的情况下的数值方法。在这种情况下，如果我们同等地指定（n）定律，这个问题确实可以用多项式大小的树来解决。这些树不是金融中使用的大多数树方法（例如C ox-Ross-Ru-binstein模型）中的经典重组树，而是以O（N）表示的节点卷总数，其中N是时间步数。我们提出的模型是基于五项树的。利用这些树，我们进行比较静力学，以分析这些参数的作用。5.1五项树方法的描述为了获得问题的解决方案，我们需要首先为创新过程（n）选择一个特定的分布≥1.一个简单的例子是一个简单的抛硬币模型，n=±1，概率为50%-50%。

为了获得更复杂的价格动态，我们考虑（n）n的以下分布≥1：n=+2有概率+1有概率0有概率-1.概率-2.概率利用Bellman方程（8）和（6），我们看到n<n的θn（q，Z）的计算需要θn+1的值·,nn+1（Z+k）为了k-in{-2.-1, 0, +1, +2}.因此，为了数值求解贝尔曼方程，我们使用了一棵树。问题是，没有任何东西可以先验地确保节点数量不会随着时间步数呈指数增长。事实上，我们将讨论节点数量的增长是如何在时间步数上是二次的而不是指数的。为了了解这一点，我们从变量的变化开始。8号提案。θnca可以写成：θn（q，Z）=Θn（q，n（Z+n-1） ，其中（Θn）满足递归方程：Θn（q，ζ）=l（q） 如果n=n，Θn（q，ζ）=minn，n+1（q，ζ），l（q）oif n∈ N、 ΘN（q，ζ）=ΘN，N+1（q，ζ），否则，式中ΘN，N+1（q，ζ）=infq∈RγlogPj=0pjexpγσ√T（j）- 2)Q-qn+1-Qn+1ζn- （n）-1)+LQ- ~qVn+1TVn+1t+n+1（~q，ζ+nj）！！！，（17） 选择d分布来匹配标准正态分布的前四个时刻：E[n]=0En= 1En= 0En= 3这意味着整个树中的节点数是时间步数N的三次函数，其中（pj）由下式给出：p=p=p=p=p=p=证明。

我们首先定义了1≤ N≤ N为：ΘN（q，ζ）=θNq、 ζn- （n）-1).然后使用满足（θn）0的贝尔曼方程（8）≤N≤N、 我们有：Θn（q，ζ）=l（q） 如果n=n，Θn（q，ζ）=minθn，n+1q、 ζn- （n）-1), l（q）如果n∈ N、 ΘN（q，ζ）＝θN，N+1q、 ζn- （n）-1)否则现在，我们使用θn，n+1的定义来计算θn，n+1q、 ζn- （n）-1):θn，n+1q、 ζn- （n）-1)= infq∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1ζn- （n）-1)+LQ- ~qVn+1δtVn+1δt+θn+1q+nnζn- （n）-1)+ n+1!!#!.注意到θn+1q，nn+1ζn- （n）-1)+ n+1= Θn+1q，ζ+nn+1+2,我们得到：△θn，n+1q、 ζn- （n）-1)=Θn，n+1（q，ζ）。这就是结果。新变量ζ是节点的索引。为了计算∏，我们需要计算Θ（·，0），它是用Θ（·，0）、Θ（·，1）、Θ（·，2）、Θ（·，3）和Θ（·，4）计算的。通过归纳，我们看到，在步骤n，我们需要Θn（·0），Θn（·1），Θn（·，2n（n）-1)). 特别是，树的每一级节点的数量都以二次方式演化。在树中的每个节点（n，ζ），我们使用经典优化方法计算值Θn（0，ζ），Θn（δq，ζ），Θn（Q，ζ），其中δQ是我们网格中两个连续值之间的步长。除了这些值之外，我们还在每个节点（ζ，n）设置一个布尔值表，其中n∈ N确定银行是否应交付股份。5.2示例5。2.1参考场景我们现在转向上述树方法的实际使用。我们考虑以下无永久市场影响的参考情况，即对应于库存总SA的四舍五入值。本案例将用于概述本文的其余部分S=45EURoσ=0.6EURo天-1/2，相当于大约等于21%的年波动率T=63个交易日。