加速股份回购：定价与执行策略

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英文标题：
《Accelerated Share Repurchase: pricing and execution strategy》
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作者：
Olivier Gu\\\'eant, Jiang Pu, Guillaume Royer
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this article, we consider the optimal execution problem associated to accelerated share repurchase contracts. When firms want to repurchase their own shares, they often enter such a contract with a bank. The bank buys the shares for the firm and is paid the average market price over the execution period, the length of the period being decided upon by the bank during the buying process. Mathematically, the problem is new and related to both option pricing (Asian and Bermudan options) and optimal execution. We provide a model, along with associated numerical methods, to determine the optimal stopping time and the optimal buying strategy of the bank.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑与加速股份回购合同相关的最优执行问题。当公司想要回购自己的股份时，他们通常会与银行签订这样的合同。银行为公司购买股票，并按照执行期内的平均市场价格支付，期限由银行在购买过程中决定。从数学上讲，这个问题是新的，与期权定价（亚洲和百慕大期权）和最优执行有关。我们提供了一个模型，以及相关的数值方法，以确定银行的最佳停止时间和最佳购买策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Accelerated_Share_Repurchase:_pricing_and_execution_strategy.pdf (315.92 KB)

2022-5-5 07:37:14 上传

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关键词：Quantitative Mathematical accelerated QUANTITATIV derivatives

加速股份回购：定价与执行策略*Olivier Guéant+Jiang PuGuillaume Royer§摘要在本文中，我们考虑与加速股份回购合同相关的最优执行问题。当企业想要回购自己的股份时，他们通常会与银行签订这样的合同。银行为公司购买野兔，并在执行期间以平均市价支付，期间长度由银行在购买过程中决定。从数学上讲，这个问题是新的，与期权定价（亚洲和百慕大期权）和最优执行有关。我们提供了一个模型，以及相关的数值方法，以确定银行的最佳停止时间和最佳购买策略。关键词：最优执行，ASR合同，最优停止，随机最优控制，效用差异定价。1简介关于最优执行的数学文献通常涉及执行成本和价格风险之间的权衡。价格风险可以根据不同的基准价格来衡量：如果是实施短缺（IS）订单，则为到货价格；如果是目标成交（TC）订单，则为当日收盘价格；如果是VWAP订单，则为给定时间段内的VWAP。在所有这些情况下，基准的定义（尽管不是其价值）都是事先知道的。然而，对于非常大的订单，尤其是当一家公司想要（重新）购买自己的股份时，通常会考虑一个基准价格，即一个时期内的平均价格*这项研究是在欧洲金融研究所支持下的研究倡议“最佳执行情况统计”的支持下进行的。

作者要感谢罗伯特·阿尔姆格伦（量化经纪人）、尼古拉斯·格兰查姆·德劳克斯（汇丰法国）、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（CFM）、特里·莱昂斯（牛津人）、拉姆齐·马格里比（汇丰法国）、胡延·范（巴黎迪德罗大学）、克里斯·罗杰斯（剑桥）和马修·罗森鲍姆（UPMC）对该主题的讨论。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、雅克·路易斯·利昂斯实验室、，gueant@ljll.univparis-狄德罗。fr——欧洲金融研究所。研究倡议“最佳执行和流动性统计”，蒋。聚氨基甲酸酯。2009@m4x.org§CMAP，巴黎理工学院，纪尧姆。royer@polytechnique.edu.period这是在执行过程中决定的。更准确地说，在加速股份回购合同的情况下，或者更确切地说，在支付后的固定名义加速股份回购（以下简称ASR）的情况下，银行必须在一组预先确定的日期中，在银行在执行过程中选择的行权日τ交付固定Q股。然后，作为股份交换，公司在τ日向银行支付每日VWAP价格[0，τ]期间的算术平均值。因此，ASR是一种亚洲类型的选项，带有Bermud a型锻炼日期。此外，由于交付数量通常很大，我们需要考虑市场影响和执行成本。因此，我们考虑的问题既是一个期权定价问题，也是一个最优执行问题。Rogersand Singh[17]以及Li和Almgren[16]主要考虑了期权定价和执行成本套期保值。

在他们的背景下，与关于交易成本的文献（例如参见[5,6,7,15]）相反，并与关于最优清算的文献（参见Almgren和Chriss[2]的开创性论文以及最近的两篇论文[9,18]）一致，作者认为，执行成本在执行量上不是线性的（与之成比例），而是严格凸的，以考虑流动性影响。罗杰斯和辛格考虑了一个惩罚执行成本和到期时均方误差的目标函数。在这个接近均值-方差的框架下，当非流动性成本为sm时，他们得到了最优套期保值策略的近似值。李安达格伦受最近在五只美国股票上观察到的锯齿模式（见[13,14]）的激励，认为这是一个具有永久和暂时影响的模型。在他们的模型中，他们假设执行成本是二次的，并考虑常数Γ近似。使用一个不同的目标函数，他们得到了对冲策略的封闭形式表达式。这两份文件都不考虑实物结算，而是现金结算，因此忽略了部分成本。此外，他们只考虑欧洲的回报，因此我们的问题更加复杂。在最近的一份工作文件中，Jaimungal等人[12]提出了一个加速股份回购合同的模型。有趣的是，他们设法将问题简化为3变量的PDE5，而初始问题是在维度5中。然后对他们得到的偏微分方程进行数值求解。我们的模型在很多方面与他们的模型不同。第一个重要差异与市场影响模型有关：在[12]中，作者只考虑了二次执行成本的情况，而我们提出了一个具有市场影响函数一般假设的模型，包括临时市场影响和永久市场影响。

另一个重要点是，他们的模型考虑了具有库存惩罚的风险中性代理的情况，而我们的模型更一般，因为我们在基于效用的框架中考虑了风险规避代理，从而允许差异定价。在我们提出的框架中，我们还设法将与问题相关的5变量Bellman方程简化为3变量方程，可以使用经典工具进行数值求解。我们的模型也不同于[12]中提出的模型，因为作者使用了一个连续模型，并用全球TWAP代替了每日VWAP价格的离散平均值。因此，我们避免了连续时间导致的计算困难（参见[12]中提到的数值问题）。在我们的离散时间模型中，我们考虑到，根据支付的定义，价格的日变化最近，Guéant和Pu[11]还提出了一种方法，在基于公用事业的框架中，在对市场影响的一般假设下，对普通期权进行定价和对冲。他们特别考虑了实际定居。以及自成立以来与每日VWAP价格算术平均值相关的支付。最后，一个微小的差异是，他们将其模型限制为ASR的一个变体，银行可以随时进行锻炼，而我们考虑的是百慕大锻炼日期的更现实的情况。在第二节中，我们介绍了模型的基本假设和第5维度中的贝尔曼方程。在第三节中，我们将展示如何从5个变量的贝尔曼方程到3个变量的方程。在第4节中，我们将介绍永久性市场影响。

在第5节中，我们开发了一种数值方法，用多项式大小的树来计算问题的解，并给出了数值例子。2模型的设置我们考虑的问题是银行被企业要求通过加速股份回购（ASR）成熟度合同回购0%以上的企业股份的问题。根据合同的定义，银行将在[0，T]的asub期限内购买该公司的股份，并可在合同规定的日期交付。交付时，公司收到股票，并支付Q股自成立以来的每日平均VWAP。2.1问题公式我们考虑一个离散模型，其中每个时间段对应一天（长度δt）。换句话说，如果间隔[0，T]对应于N天（T=NδT），我们认为子划分（tn）为0≤N≤n为tn=nδt，为了简单起见，我们用n索引变量。为了引入随机变量，我们考虑了一个过滤概率空间Ohm, （Fn）0≤N≤N、 P满足通常的要求。为了建模价格，我们从初始价格开始，我们认为价格的动态（在没有市场影响的情况下）由以下公式给出：N∈ {0，…，N- 1} ，Sn+1=Sn+σ√δtn+1，其中n+1是Fn+1-可测量的，其中（n）被认为是i.i.d。

均值为0，方差为1，矩母函数定义在R+上。为了坚持对加速股份回购合同支付的定义，我们认为≥ 1、SNI是该期间的每日VWAP[tn-1，tn]，这个VWAP在tn时已知。我们还介绍了过程（An）n≥1代表[0，tn]期间每日Vwaps的算术平均值：An=nnXk=1Sk。我们还可以考虑SNI是第n天的收盘价，然后用d天收盘价的平均值来近似A的支付。为了购买股票，我们假设银行每天都会发送一份当天执行的订单。bank在[tn，tn+1]上发送的命令的大小被表示为vnδt，其中假设过程v是自适应的。因此，在时间tn（表示为qn）时仍需购买的股份数量验证：（q=Qqn+1=qn）- vnδt，N≤ N- 银行为收购[tn，tn+1]股份支付的价格假定为VWAPprice Sn+1执行成本。为了模拟执行成本，我们引入了一个函数L∈C（R，R+）验证g:oL（0）=0，oL是一个偶数函数，oL在R+上增加，oL是严格凸的，oL是渐近超线性的，即：limρ→+∞L（ρ）ρ=+∞.银行支出的现金由流程（Xn）0建模≤N≤定义人：X=0Xn+1=Xn+vnSn+1δt+LVN+1Vn+1δt其中Vn+1δt是该时期的市场容量[tn，tn+1]。我们假设过程（Vn）是F-可测的。备注1。在应用中，L通常是幂函数，即L（ρ）=η|ρ| 1+φ，φ>0，或形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|φ，ψ>0的函数。换句话说，执行成本共享的形式为η|ρ|φ+ψ，其中ρ是参与率。Almgren等人在[3]中进行的实证研究支持了这种形式的临时市场影响函数。然后我们引入一个非空集N {1, . . .

N- 1} 对应于银行可以选择是否将股份交付给公司的时间指数（请注意/∈ n因为银行在时间tN=T时别无选择：如果银行事先没有这样做，它将被迫在终端时间T时交货）。实际上，这个集合的形式通常是{n，…，n- 1} 其中n>1。在时间n∈ N∪{N} 在交付时，我们假设剩余待购买股份（qn) 可以购买相当于qn的现金锡+ l（qn）) 哪里l 是一个函数，假设是凸的，偶数的，在R+上增加，并验证l(0) = 0.可以设置l 在0之外足够高，以防止q与0不同时交付。考虑到Convex指示器l（q） =+∞1q6=0也是可能的。因此，银行面临的优化问题是：sup（v，n)∈AE[-经验(-γ（QAn）- Xn- qn锡- l（qn）)))] , （1） 其中A是一组可接受的策略，定义为：A=n（v，n)v=（vn）0≤K≤N-1is（F）-适应，n是a（F）-停止时间取N值∪{N} OA和WHERγ是银行的绝对风险规避参数。解决这一问题需要确定银行的最佳执行策略和最佳停止时间。我们使用该效用最大化设置来确定ASR合同的差异价格。定义1（ASR合同的价格）。我们将SRC合同的差异价格∏定义为∏：=infnpsup（v，n）)∈AE[-经验(-γ（p+QAn）- Xn- qn锡- l（qn）)))] ≥ -1这正是与编写ASR合同相关的确定性等价物的相反价值。备注2。对银行而言，ASR合同的主要利益在于其期权性部分。银行可以在其选择的日期交付股份，因此可以受益于执行价格与自成立以来的平均价格之间的差异。因此，如果没有执行成本，ASR的价格∏将为负。

实践中的一个重要问题是了解与期权成分相关的收益是否补偿了流动性成本和合同风险，即∏是正还是负。2.2值函数和Bellman方程在本节中，我们介绍了与初始问题（1）相关的值函数，并通过相关的Bellman方程描述了其演变。也就是说，我们定义为：un（x，q，S，A）=sup（v，n)∈安-经验-γQAn，A，Sn- Xn，x，vn- qn，q，vnSn，Sn- l（qn，q，vn）)i、 （2）式中，Anis是时间t定义为：An=n（v，n)v=（vk）n≤K≤N-1is（F）-适应，na（F）-停止时间取（N）中的值∪ {N} )∩{n，…，n}o，我们将在下面看到，udoes不依赖于A。这与Anis仅定义为n的事实是一致的≥ 1.状态变量定义为0时≤ N≤ K≤ N和k>0，通过：Xn，x，vk=x+k-1Xj=nvjSn，Sj+1δt+LvjVj+1！Vj+1δtqn，q，vk=q-K-1Xj=nvjδtSn，Sk=S+σ√δtk-1Xj=nj+1An，A，Sk=nkA+kk-1Xj=nSn，Sj+1标记3。我们可以将值函数限制为q∈ [0，Q]。很容易看出，涉及[0，q]之外的q值的策略是次优的。现在我们介绍与动力学问题（2）相关的贝尔曼方程。为此，我们引入For n>n:~un，n+1（x，q，S，A）=supv∈热润+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1i、 （3）然后我们有：位置1。以函数族（un）0为例≤N≤由（2）定义。然后它是与之相关的贝尔曼方程的唯一解：un（x，q，S，A）=-经验(-γ（QA）- 十、-qS- l（q） ）如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验(-γ（QA）-十、-qS- l（q） ））如果n∈ N、 联合国，N+1（x，q，S，A）否则。（4） 我们参考[4]来证明这个结果。备注4。

初始时间在这里起着特殊的作用，如n=0，An，a，Sn+1=A0，a，S=S0，S=S+σ√δt。随后，udoes不依赖于A，并写入：u（x，q，S）=supv∈热湖X0，x，v，q0，q，v，S0，S，S0，Si、 3简化为三变量方程3。1变量的变化为了降低问题的维数，我们在命题2中引入了一个变量的变化，主要包括用（标准化的）分布z:=S来写p问题-Aσ√在这之前，让我们从引理开始。引理1。一个人≤ N≤ K≤ N、 如果Yk:=Yn，X，A，S，v和Y定义为asYk=- QAn，A，Sk+Xn，x，vk+qn，q，vkSn，Sk，Y=- QA+x+qS，那么我们有：Yk- Y=σ√δtK-1Xj=nqj-1.-jkQj+1-1.-nkQS- Aσ√δt+K-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt.证明。为了便于阅读，我们省略了所有的上标。一方面，我们有：Ak- A=nkA+kk-1Xj=nSj+1- A=1.-nk（S）- A） +σ√δtk-1Xj=n1.-jkj+1。另一方面，我们有：Xk- x+qkSk- qS=k-1Xj=n（qj- qj+1）Sj+1+k-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+qkSk- qS=k-1Xj=nqj（Sj+1- Sj）+k-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt=k-1Xj=nqjσ√δtj+1+k-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt。根据这些方程，我们得到了结果。现在我们为下一个命题介绍变量的关键变化。为了n≥ 1，q∈ [0，Q]和Z∈ R、 我们定义：θn（q，Z）=inf（v，n)∈γlogE“expγσ√δtN-1Xj=nqj-1.-jnQj+1-1.-nnQZ+N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt+l（qn，q，vn）)!!#!, （5） 和∧θn，n+1（q，Z）=infv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1n+1-Qn+1Z+ LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Z+n+1）!!#!. （6） 结果如下：位置2。为了n≥ 1.我们对问题（2）进行了以下描述：（i）un（x，q，S，A）Verifiesun（x，q，S，A）=-经验-γ-Y- θnq、 S- Aσ√δt. （7） （ii）由θnis满足的贝尔曼方程：θn（q，Z）=l（q） 如果n=n，最小值θn，n+1（q，Z），l（q）如果n∈ N、 θN，N+1（q，Z）否则。（8） 证据。