加速股份回购：定价与执行策略

到期前交付的一组可能日期为N=[22,62]∩N.oV=400万股·天-1oQ=20000万股oL（ρ）=η|ρ| 1+φ，η=0.1欧元·股-1·天-1和φ=0.75。此外，我们强迫银行在交货时已经购买了所有存货。因此，我们使用l（q） =+∞1{q6=0}。我们对风险规避的选择是γ=2.5×10-7EUR-1.为了举例说明该模型，我们考虑了价格的三条轨迹。在众多的策略中，我们选择了一系列最优的策略。第一价格轨迹（图1）呈上升趋势，股票价格因此高于其平均水平（虚线）。这对应于正Z和银行h，因为没有理由快速交付股票。事实上，在这种情况下，银行的最佳策略是以较低的价格买入股票，以最小化执行成本，如图2.0 10 20 30 40 50 6035 40 45 50 55时间价格平均价格Z所示-15-10-5 0 5 10 15图1：价格轨迹10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15最优策略图2：价格轨迹的最优策略1第二个价格轨迹（图3）有下降趋势，因此股价低于平均水平。这相当于一个负Z，银行有一个不定期交付的动机。然而，当n=22（n的第一个日期）时，Z值不足以鼓励分娩。当n=36时，Z的轨迹和执行成本水平最终导致交付——见图4。

我们还发现，当Z在下降后增加时，出售股票甚至可能是最优的：这与等式（10）中的风险项一致，因为Z的增加推迟了目标交付时间.0 10 20 30 40 50 6035 40 45 50 55时间价格平均价格-15-10-5 0 5 10 15图3：价格轨迹20 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15最优策略图4：价格轨迹的最优策略2我们考虑的第三个价格轨迹（图5）对应于Z在0附近振荡。如前两个例子所示，我们在图6中看到，银行的行为以一种自然的方式与Z密切相关。当Z减小到负值时，A大于购买股票的成本（如果执行成本不太大），银行会加快购买过程。相反，当Z增加时，购买过程变慢，甚至变成销售过程（参见图6第16天）。如上所述，其基本原理是风险规避：当Z从一个低值变为一个高值时，目标交付时间会延迟一些，银行有动机跳转到一个允许对冲支付的轨道，如第3.1节末尾所述。但最有趣的现象出现在第28天之后：Z在0以下的偏移使银行在第28天持有Q股的投资组合成为最佳选择，即交付所需的全部股票。。。当时没有发生BUT交付。这家银行的确是百慕大银行的长期选择（实际上这里是美国人），有着复杂的支付方式，而且更愿意持有它而不是行使它。银行最终在最后时刻交付了股份。

在28日之后对基础资产的往返对应于降低期权的风险。0 10 20 30 40 50 6035 40 45 50 55时间价格平均价格-15-10-5 0 5 10 15图5：价格轨迹30 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15最优策略图6：价格轨迹的最优策略3除了最优策略，我们可以在参考案例中计算ASR合同的价格∏。这里，这个价格是负的，因为我们发现∏Q=-0.503.这意味着，在效用方面，与ASR合同的期权性部分相关的收益对于补偿（在效用方面）流动性成本和合同风险非常重要（见备注2）。5.2.2仅购买策略我们已经看到，银行的最佳策略可能涉及出售已购买的股票。乍一看，这可能看起来像是套利，但事实并非如此：这是ASR合同的支付效应和银行的风险规避的自然结果。我们在图7、8和9中展示了上述三个参考轨迹，如果我们限制允许的策略集只购买一个人，那么什么是最佳策略。0 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-505105ZBuy-仅限策略无约束策略图7：仅限购买策略与价格轨迹的无约束策略1这并不意味着价格在Q中是线性的。

这只是意味着，对于我们考虑的Q值，wefound∏Q=-0.503.01003004050600.0.20.40.40.60.6 0.8还有1.0次要买-15-10-505105ZBuy-仅限策略无约束策略图8：价格轨迹的仅限购买策略与无约束策略20102003004050600.0.20.40.40.60.60.8 1.0剩余购买时间-15-10-505105ZBuy-仅限策略无约束策略图9：仅限购买策略与价格轨迹的无约束策略3我们在图7、图8和图9中看到，当不允许往返时，银行通常会缓慢购买更多，以避免往返的需要。另一个不同之处是，在轨迹3的情况下，随着b银行更快地交付股票，这种差异变得更大。与期权相关的风险确实无法部分对冲，因为我们将策略限制为只购买策略。然后，银行决定在n=28时交付。为了量化受约束情况和不受约束情况之间的差异，我们可以将之前的价格∏与当策略集仅限于购买策略时受约束的价格∏进行比较。毫不奇怪∏约束Q=-0.486大于∏qa，所选风险规避参数γ的差异相当小。5.3比较静态我们现在使用五项树方法来研究参数对最优策略和ASR合同价格的影响。更准确地说，我们关注风险规避参数γ、非流动性参数η和波动性参数σ。5.3.1风险规避的影响让我们首先关注风险规避。我们考虑的参数为γ2×参考值为-9, 2.5 × 10-7和2.5×10-6.图10、图11和图12显示了γ对之前产生的三个参考股价轨迹的最优策略的影响。

我们看到，银行越是厌恶风险，其战略就越接近直线。这是很自然的，因为直线策略可以完美地对冲与支付相关的风险。在谱的另一端，当γ=0时，最优策略远离对角线，阻止银行立即购买的只是执行成本。有趣的是，当γ=0时，最优策略不涉及任何往返。最后，我们在图12上看到γ高（2.5×10-6） 同时阻止银行延迟交货。0 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zgamma=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6Z图10：价格轨迹中不同γ值的最优策略1名义Q的影响可以从η和γ的影响中推导出来。同样，体积曲线中的任何多重变化都可以分析为η的变化。然而，没有研究φ的影响，因为φ在不同股票中没有太大差异。第3节中得到的公式可以推广到γ=0的情况。事实上，归纳法很简单。0 10 20 30 40 50 600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zgamma=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6Z图11：价格轨迹中不同γ值的最佳策略20102004050600.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zgamma=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6图12：价格轨迹中不同γ值的最优策略3就价格而言，我们得到：γ0 2.5×10-92.5 × 10-72.5 ×10-6∏Q-0.621-0.609-0.503-0.190我们看到价格是风险规避参数γ的递增函数。这是很自然的，因为这个价格是一个考虑了风险的差异价格。

特别是，如果我们将γ设为不切实际的高值，则价格为正，这意味着对于γ=1，我们得到∏Q=0.015。与风险和执行成本相关的成本不能通过与ASR合同的可选性相关的价值来补偿。5.3.2执行成本的影响让我们来看看执行成本，更准确地说是非流动性参数η。我们考虑了我们的参考案例，p参数η有3个值：0.01、0.1和0.2。我们专注于我们的第三个价格指数（图13），因为它完美地显示了η的作用。韦恩迪德发现，股票流动性越高，q值达到0.01020030050600.0.20.40.40的速度就越快，还有1.0倍的时间可以买入-15-10-5 0 5 10 15泽塔=0.2eta=0.1eta=0.01z图13：价格轨迹中不同η值的最佳策略3就价格而言，η的影响很重要，因为η是执行成本的主要驱动因素。我们确实有以下价格：η0.01 0.1 0.2∏Q-0.554-0.503-0.461股票的流动性越低，银行在购买过程中的成本就越高。5.3.3挥发物的影响使我们得以完成挥发物的影响。我们考虑了我们的参考案例，参数σ有3个值：0.3、0.6和1.2。我们关注第二条价格轨迹，因为它允许我们理解波动性的作用。我们在图14中看到的是，波动性越高，往返的大小就越重要。这与风险厌恶有关：波动性越高，在Z增加后，跳上对应于更好对冲的轨道的动机就越重要。

然而，σ几乎不影响最佳交货日期，因为A和S都受到σ的影响。0 10 20 30 40 50 600.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0剩余购买时间-15-10-5 0 5 10 15Zsigma=0.3sigma=0.6sigma=1.2Z图14：价格轨迹的不同σ值的最佳策略2就价格而言，我们得到了以下图表。我们看到σ是价格的一个非常重要的驱动力。σ0.3 0.6 1.2∏Q-0.251-0.503-0.914当σ增加时，价格下降，因为可选性成分的值更高。然而，由于风险厌恶，也可能出现相反的效果。事实上，在我们的数学关系（σ）中，后一种效应似乎只在非现实的σ值上占主导地位≥ 30).结论在本文中，我们提出了一个模型来确定银行与企业签订ASR合同的最佳策略。我们的离散时间模型嵌入了问题涉及的主要影响因素，除了提供最佳策略外，还允许确定合同的差异价格。我们的模型的主要局限性之一是每天只做一个决定，因此银行的行为不受日内价格变化的影响。考虑当日价格变化需要考虑S的连续模型以及a的离散时间价格波动，这样就不可能简化为三维问题。附录A：定义（θn）n时（θn）的界限≥0在第3节中，没有任何东西可以先验地保证函数只具有有限的值。我们现在提供边界，以证明函数θn–因此∏是有限的。9号提案。n<n，q∈ R、 Z∈ R、 θn（q，Z）≤γgγQ- Q1.-nN+γN-1Xj=n+1gγQ1.-jN-Q1.-nNσ√δtZ+LqVn+1δtVn+1δtw，其中g表示随机变量σ的累积量母函数√δt。证据

给定n<n，q和Z∈ R、 我们考虑的策略包括在时间Tn发送一份规模为q的订单，并等待到期日T交付股份，具体如下所示：vn=q/δtvj=0J∈ {n+1，…，n- 1} n= n我们有：θn（q，Z）≤γlogE“expγσ√δtqn+1-N-1Xj=nQ1.-jNj+1- Q1.-nNZ+LqVn+1δtVn+1δt！！#！≤γgγQ- Q1.-nN+γN-1Xj=n+1gγQ1.-jN-Q1.-nNσ√δtZ+LqVn+1δtVn+1δt这里我们使用了（j）jare i.i.d.随机变量这一事实。位置10。我们还提供了θn的下限：N≤ NCn，Dn∈ R+，θn（q，Z）≥ -CnZ+- DnProof。我们用阿克沃德归纳法证明了这个命题。对于n=n，CN=0和DN=0，这一观点是正确的l ≥ 0.我们有n∈ {1，…，N-1} ，θn，n+1（q，Z）=单位为fv∈RγlogE“expγσ√δtQ-Qn+1j+1-Qn+1Z+LvVn+1Vn+1δt+θn+1Q- vδt，nn+1（Z+n+1）!!#!≥ -σ√δtQn+1Z+infv∈RE“θn+1Q- vδt，nn+1（Z+n+1）#.假设我们有Cn+1，Dn+1∈ R+这样q、 Z∈ R、 θn+1（q，Z）≥ -Cn+1Z+-Dn+1。然后∧θn，n+1（q，Z）≥ -σ√δtQn+1Z+E“-Cn+1nn+1（Z+n+1）+- Dn+1#≥ -σ√δtQn+1Z+- Cn+1nn+1Eh（Z+n+1）+i- Dn+1≥ -σ√δtQn+1Z+- Cn+1nn+1EhZ+++n+1i-Dn+1≥ -σ√δtQn+1Z+- Cn+1nn+1Z+- Cn+1nn+1Eh+n+1i- Dn+1≥ -Cn+1nn+1+σ√δtQn+1Z+-Cn+1nn+1Eh+n+1i+Dn+1.让我们定义n=nn+1Cn+1+σ√δtQn+1≥ 0Dn=nn+1Cn+1Eh+n+1i+Dn+1≥ 0然后θn（q，Z）=min{l（q） ，θn，n+1（q，Z）}≥ 最小{0，~θn，n+1（q，Z）}≥ 最小{0，-CnZ+- Dn}=-CnZ+-Dn。附录B：永久市场影响的离散时间模型在第4节中，我们介绍了永久市场影响的离散时间模型。

该模型来源于连续时间内的以下模型：o待分配股份的数量演变为：dˇqt=-ˇvtdt.o价格具有以下动态：dˇSt=σdWt+f（|Q）- qt |）vtdt.o现金账户演变为：dˇXt=vtˇStdt+Lˇvtˇvt！ˇVtdt。通过求解上述随机微分方程，我们得到s<t:St-ˇSs=σ（Wt）-Ws）+^tsf（|Q）- 71qr |）71vrdr=σ（Wt-Ws）-^qtqsf（|Q-y |）dy=σ（Wt）-Ws）+G（qt）-G（qs）。写出Sn=Stn，我们得到：Sn+1=Sn+σ√δtn+1+（G（qn+1）-G（qn）），其中n+1=Wtn+1-Wtn√δ是一个标准正态随机变量。这符合第3.3节模型的设置。现在来谈谈我们的现金账户s<t:Xt-ˇXs=^tsˇvrˇSrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr。通过分段积分，我们得到：ˇXt-ˇXs=^tsˇvrˇSrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr-^ts（ˇqs）- ˇqr）f（| Q）- ˇqr|）ˇvrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr+qtˇqs（ˇqs）- y） f（| Q）-y |）dy+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr+ˇqs^qtˇqsf（|Q-y |）dy-^qtˇqsyf（|Q- y |）dy+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=（ˇqs）- ˇqt）ˇSt-^ts（ˇqs）- ˇqr）σdWr- ˇqs（G（ˇqt）-G（qs））+（F（qt）- F（qs））+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr。现在，写Sn=Stn，Xn=xtn，假设vt和vt在[tn，tn+1]上都是常数，分别等于Vn+1和Vn，我们得到：Xn+1- Xn=Sn+1vnδt- σvnδt√′n+1-qn（G（qn+1）- G（qn））+（F（qn+1）-F（qn））+LVN+1Vn+1δt，其中′n+1=√δt′tn+1tn（r- 德弗里斯这样说n+1，′n+1~ N0,√√. 这符合第4节模型的设置。我们完成本附录的重点是最终成本中涉及的术语。

如果我们考虑两次s和t，且s<t且ˇqt=0，那么：ˇXt-ˇXs=^tsˇvrˇSrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=ˇqsˇSs+^tsˇqrσdWr+^tsˇqrf（|Q- ˇqr|）ˇvrdr+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr=ˇqsˇSs+^tsˇqrσdWr+F（0）- F（qs）+^tsLˇvrˇvr！ˇVrdr。如果s对应于交付时间，那么我们可以考虑购买剩余的待购买股份（即qn）在我们的模型中）交换qn锡+ F（0）- F（qn）) 加上风险流动性溢价l（qn）).参考文献[1]A.阿方西、A.席德、A.斯林科、Ord er book resilience、价格管理和正向投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1），511-533，2012年。[2] R。Almgren，N.Chriss，投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3月5日至40日。[3] R。阿尔姆格伦、C·图姆、E·豪普特曼、李浩。直接估计股票市场的影响。风险，18（7）：58-622005。[4] R。E.贝尔曼，动态规划。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1957年。[5] G.Barles，H.M.S on er，具有交易成本的期权定价和非线性BlackScholes方程，金融与随机，2369-3971998。[6] J.Cvitani'c，I.Karatzas，《交易成本下的套期保值和投资组合优化：阿马丁格尔方法》，数学金融，6133-165，1996年。[7] J.Cvitani'c，H.Ph am，N.Touzi，《反作用成本下超级复制问题的封闭式解决方案，金融与随机》，3（1），35-541999年。[8] J.Gatheral，无动态套利和市场影响，定量金融，第10卷，第7期，第749-759页，2010[9]O.Guéant，最优执行和大宗交易定价：一般框架，预印本，[10]O.Guéant，永久市场影响可能是非线性的，预印本，2013[11]O.Guéant，J.Pu，期权定价和带有执行成本和市场影响的期权定价，预印本，2013[12]S.J aimungal，D.Kinzebulatov，D.Rubisov，最优加速股份回购，预印本，2013[13]C.-A.Lehalle，S。