在有噪声的Léevy模型中估计时间变化

在每种情况下∈ N、 0≤ T≤ s≤ 1，wehaveE[（ξs（u）- ξt（u）| F+t]=O（s）- t） 2α+n-1/2).此外，我们还有（iv）ct（u）≤ 3D，几乎可以肯定。引理3。在定理1的设置中，对于k=0，N- 1，你呢∈ R、 我们有[cos（ubXk）|Fk/n]=k/n（u）+O（n-1/4），Var[cos（ubXk）|Fk/n]=ρk/n（u）+O（n-1/4).引理4。在REM 1的设置中，对于k=0，N- 1和u∈ R、 我们有(-κbσku）|Fk/n]=ψk/n（u）+O（n-1/4），变量[exp(-κbσku）|Fk/n]=O（n-1/4).我们现在可以描述估计值bаl（u）和bψl（u）的行为。首先，我们将对第1项声明中提到的事件进行定义。We setEl={b k l（u）≥ ζ（u）}∩ {bψl（u）≥ ζ（u）}，其中常数ζ（u）=exp(-（κ+3）Du）。然后我们得到以下结果。引理5。在REM 1的设置中，对于l=0，N- 1.我们有：（i）E[b k l（u）- |l/n（u）|Fl/n]=O（n）-α);（ii）E[bψl（u）- ψl/n（u）|Fl/n]=O（n）-α);（iii）E[（b k l（u）- |l/n（u））|Fl/n]=ρl/n（u）/n+O（n-α);（iv）E[（bψl（u）-ψl/n（u））|Fl/n]=O（n-1/4);（v） 对于p=3,4,E[（b k l（u）- |l/n（u））p | Fl/n]=O（n）-α); 和（vi）P（Ecl | Fl/n）≤ 经验(-An1/8），对于常数a>0。证据我们首先注意到Bаl（u）-νl/n（u）=nXk∈KlZδ，k，其中随机变量szδ，k=cos（ubXk）- νl/n（u），k∈ 吉隆坡；我们将首先证明关于Zδ，k的一些事实。我们有| Zδ，k |≤ 2，andE[E[Zδ，k | Fk/n]| Fl/n]=E[（φk/n（u）- νl/n（u）+O（n）-1/4）|Fl/n]，使用引理3，=O（1）E[（|k/n（u）- |l/n（u））|Fl/n]+O（n）-1/2）=O（n）-2α），（6）使用单甲基丙烯酸甲酯2（ii）。我们也有E[Zδ，k | Fk/n]=Var[Zδ，k | Fk/n]+E[Zδ，k | Fk/n]=ρk/n（u）+（φk/n（u）- νl/n（u））+O（n）-1/4），使用单一MMA 3，soE[（E[Zδ，k | Fk/n]-ρl/n（u））|Fl/n]=O（1）E[（ρk/n（u）- ρl/n（u））+（νk/n（u）- |l/n（u））|Fl/n]+O（n）-1/2）=O（n）-2α). （7） 使用单一MMA 2（ii）。

我们现在可以证明这个定理。（i） 我们有- |l/n（u）| Fl/n]=nXk∈KlE[Zδ，k | Fl/n]=O（1）nXk∈KlE[|E[Zδ，k | Fk/n]| Fl/n]=O（n-α） ，使用（6）。（ii）结果与（i）类似，使用引理2（iii）和引理4。（iii）我们有E[Zδ，k | Fl/n]=ρl/n（u）+E[E[Zδ，k | Fk/n]-ρl/n（u）|Fl/n]=ρl/n（u）+O（n-α） ，使用（7）。同样地，对于k，k∈ Kl，k>k，我们有E[Zδ，kZδ，k | Fl/n]=E[E[Zδ，k | Fk/n]Zδ，k | Fl/n]=O（1）E[|E[Zδ，k | Fk/n]| Fl/n]=O（n）-α） ，使用（6）。我们推断出这是- |l/n（u））|Fl/n]=EnXk∈KlZδ，k+nXk，k∈Kl，k>kZδ，kZδ，k | Fl/n= ρl/n（u）/n+O（n）-α).（iv）对于k∈ Kl，通过一个类似的论点，我们有(-κbσku）-ψl/n（u））|Fl/n]=O（n-1/4），使用单MMA 4。结果如下。（v） 我们首先考虑p=3的情况。为了k∈ Kl，我们有[Zδ，k | Fl/n]=O（1），对于k，k∈ Kl，k>k，E[Zδ，kZδ，k | Fl/n]=E[E[Zδ，k | Fk/n]Zδ，k | Fl/n]=ρl/n（u）E[Zδ，k | Fl/n]+O（1）E[|E[Zδ，k | Fk/n]-ρl/n（u）|Fl/n]=O（n）-α） ，使用（6）和（7）。同样地，对于k，k，k∈ Kl，k>k，k，我们有E[Zδ，kZδ，kZδ，k | Fl/n]=E[E[Zδ，k | Fk/n]Zδ，kZδ，k | Fl/n]=O（1）E[| E[Zδ，k | Fk/n]=O（n）-α） ，使用（6）。我们推断出这是- |l/n（u））|Fl/n]=EnXk∈KlZδ，k| 佛罗里达州/北区=O（1）nE“Xk∈KlZδ，k+Xk，k∈Kl，k>kZδ，kZδ，k+Xk，k，k∈Kl，k>k，kZδ，kZδ，kZδ，k | Fl/n#=O（n-α).对于p=4，通过一个类似的参数，我们得到了k，k，k，k∈ Kl，k>k，k，k，E[Zδ，k | Fl/n]，E[Zδ，kZδ，k | Fl/n]，E[Zδ，kZδ，k | Fl/n]=O（1），E[Zδ，kZδ，kZδ，kZδ，k | Fl/n]=O（n-α） 如果k>k，E[Zδ，kZδ，kZδ，k | Fl/n]=O（n-α).因此，我们获得了E[（b~nl（u）- |l/n（u））|Fl/n]=EnXk∈KlZδ，k| 佛罗里达/北=O（1）nE“Xk∈KlZδ，k+Xk，k∈Kl，k>kZδ，kZδ，k+Xk，k∈Kl，k>kZδ，kZδ，k+Xk，k，k∈Kl，k>k>kZδ，kZδ，kZδ，k+Xk，k，k，k∈Kl，k>k，k，kZδ，kZδ，kZδ，kZδ，k | Fl/n#=O（n-α).（vi）我们首先注意到，数量φl（u）=nXk∈KlE[cos（ubXk）|Fk/n]=nXk∈吉隆坡角k/n（u）+O（n）-1/4），使用单MMA 3，≥ 2ζ（u）+O（n）-1/4），使用单一MMA 2（iv）。

然后利用Azuma不等式，我们得到了p（b k l（u）≤ ζ（u）| Fl/n）≤ P（b k l（u）-~nl（u）≤ -ζ（u）+O（n）-1/4）| Fl/n）≤ 经验(-A′n1/8），对于常数A′>0。通过类似的论证，我们也得到了p（bψl（u）≤ ζ（u）| Fl/n）≤ 经验(-A′n1/8），对于常数A′大于0。结果如下。最后，我们可以证明定理1。第1项的证明。根据定义，我们得到了bcl（u）的估计值是F（l+1）/n-可测量的，并且事件∈ F（l+1）/n。ECL概率的界同样直接来自引理5（vi）。因此，仍需证明bcl（u）的均值和方差的界。我们将把bcl（u）中的误差分解为三个项，分别控制log（b~nl（u））、log（bψl（u））和bτl（u）中的误差。我们首先考虑log（bаl（u）），并定义随机变量zа，l=bаl（u）аl/n（u）- 1.然后我们得到了（log（b~nl（u））- 对数（l/n（u）））1（El）=对数（1+Z k，l）1（El）=（Z k，l）-Zа，l+Zа，l+O（Zа，l））1（El），使用泰勒定理，因为在El上，1+Zа，l≥ζ（u）~nl/n（u）≥ ζ（u）>0。（8） 为了将错误限制在log（b k l（u））中，我们现在将对z k，lterms进行期望。我们得到了E[Z~n，l1（El）|Fl/n]=Eb k l（u）аl/n（u）- 1 | Fl/n+ O（P（Ecl | Fl/n）），因为b k l（u）是有界的，且k l/n（u）≥ 2ζ（u）>0，=O（n）-α） ，使用单独的MMA 5（i）和（vi）。类似地，我们也有e[Z~n，l1（El）|Fl/n]=τl/n（u）+O（n-α） ，E[Z k，l1（El）| Fl/n]=O（n）-α） ，E[Z k，l1（El）| Fl/n]=O（n）-α） ，使用MMA 5（i）、（iii）、（v）和（vi）；因此，我们推导出[|Z|，l | 1（El）| Fl/n]≤ E[Z|，l1（El）|Fl/n]1/2E[Z|，l1（El）|Fl/n]1/2=O（n）-α） ，使用柯西-施瓦兹。现在，我们可以将错误绑定到log（b~nl（u））中。我们得出的结论是E[（log（b~nl（u））- 对数（μl/n（u）））1（El）|Fl/n]=E[（Zμ，l）-Z|，l+Z|，l+O（Z|，l））1（El）|Fl/n]=-τl/n（u）+O（n）-α） ，类似地，E[（log（b k l（u））- 对数（|l/n（u））1（El）|Fl/n]=E[（Z|，l+O（Z|，l））1（El）|Fl/n]=E[（Z|，l+O（|Z|，l |+Z|，l））1（El）|Fl/n]=τl/n（u）+O（n-α).接下来我们考虑err或in log（bψl（u））。

通过一个类似的论证，我们可以得到e[（log（bψl（u））- log（ψl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n）-α） ，E[（log（bψl（u））- log（ψl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n）-1/4），使用MMA 5（ii）、（iv）和（vi）。最后，我们证明了bτl（u）上的界，定义了随机变量zτ，l=b~nl（2u）- l/n（2u）。然后我们有（bτl（u）- τl/n（u））1（El）=n1+1/n（2u）+Zτ，l2 k l/n（u）（1+Z k，l）-1+1аl/n（2u）2аl/n（u）！1（El）=n-2（1+1/n（2u））Zа，l+Zτ，l2аl/n（u）+O（Zа，l+Zа，lZτ，l）！1（El），使用（8），且φt（u）在下方有界。使用上面的MMA 5（i）、（iii）和（vi），我们也得到了e[Zτ，l1（El）|Fl/n]=O（n-α） ，E[Zτ，l1（El）|Fl/n]=O（n-1/8).因此，我们得出结论E[（bτl（u））- τl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n-1/8）E[Z|，l+Zτ，l+Z|，l+|Z|，l | Zτ，l | | Fl/n]，因为|t（u）在以下有界，=O（n）-1/4），使用Cauchy-Schwarz。同样地，E[（bτl（u）- τl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（n-1/4）E[Z k，l+Zτ，l | Fl/n]=O（n-3/8).因此，我们将误差限定在log（b~nl（u））、log（bψl（u））和bτl（u）中。结合这些结果，我们推断出E[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（1）E[（log（b|l（u））- 对数（ψl/n（u））+τl/n（u）- （对数（bψl（u））- 对数（ψl/n（u））+（bτl（u）-τl/n（u）））1（El）|Fl/n]=O（n-α） ，andE[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）|Fl/n]=O（1）E[（log（b|l（u））- 对数（ψl/n（u））+（对数（bψl（u））- 对数（ψl/n（u））+（bτl（u）- τl/n（u））+O（n-1/4）1（El）|Fl/n]=τl/n（u）+O（n-α).最后，可以检查这些结果在l=0，N-1和P∈ Sα，β（C，D）。5.2收敛速度的证明我们接下来证明了我们对回归估计ect（u）性能的结果。我们的论点来源于Tsybakov（2009），注意考虑到第1项陈述中的额外错误项，以及目标ct（u）的随机性。定理2的证明。

首先，我们将陈述一些关于局部多项式回归的事实，如定理1.7 inTsybakov（2009）的证明所示。由于设计点l/nare是一致的，因此对于大n，矩阵Vn（t）是可逆的，并且权重函数Wn，l（t）定义得很好。此外，权重Wn，l（t）满足：| Wn，l（t）|=O新罕布什尔州T-自然对数≤ H, （9） 在l=0，N- 1.N-1Xl=0 | Wn，l（t）|=O（1）；（10） 安德-1Xl=0T-自然对数pWn，l（t）=（1，p=0,0，p=1，…，N- 1.（11）我们现在证明我们的估计ect（u）的结果。我们必须首先定义定理陈述中给出的高概率事件E。我们是A，b=Tb-1l=aEl，集合E=E0，n。然后我们注意到，从定理1，我们得到了（Ec | F）≤N-1Xl=0E[P（Ecl | Fl/n）| F]=O（n3/8）exp(- An1/8）≤ 经验(-A′n1/8），对于常数A，A′>0。类似地，对于l=0，N- 1，k≥ l、 我们有（Eck，n | Fl/n）≤ 经验(-A′n1/8）。（12） 接下来，我们将估计值bcl（u）分为偏差和方差部分。L etbcl（u）=cl/n（u）+bc1，L（u）+bc2，L（u），（13），其中偏差项bc1，L（u）=E[（bcl（u）- cl/n（u）1（E）| Fl/n]P（E | Fl/n），当P（E | Fl/n）=0时，设置bc1，l（u）=0，方差项bc2，l（u）由（13）定义。我们同样可以将回归估计ect（u）分为偏差和方差部分。Letect（u）=ct（u）+ec1，t（u）+ec2，t（u）+ec3，t（u），（14）其中估计量偏差和方差ec1，t（u）和ec2，t（u）由eck，t（u）=n给出-1Xl=0Wn，l（t）bck，l（u），k=1，2，回归系数biasec3，t（u）=n-1Xl=0Wn，l（t）cl/n（u）- ct（u）。为了限制ect（u）中的误差，我们必须证明所有三项eck，t（u）都很小。我们从估计偏差ec1，t（u）开始，注意到对于largen，|bc1，l（u）|=1（E0，l）E[（bcl（u）- cl/n（u）1（El，n）|Fl/n]P（El，n | Fl/n）=O（1）E[（bcl（u）- cl/n（u））1（El，n）| Fl/n]，使用（12），=O（1）（E[（bcl（u）- cl/n（u））1（El）| Fl/n]+P（Ecl+1，n | Fl/n）），因为（bcl（u）- cl/n（u））1（El）有界，=O（n）-α） ，（15）使用（12）和定理1。

因此我们有| ec1，t（u）|≤N-1Xl=0 | Wn，l（t）| | bc1，l（u）|=O（n）-α） ，使用（10）和（15）。接下来我们考虑估计方差ec2，t（u）。我们首先注意到E[bc2，l（u）1（E）| Fl/n]=E[（bcl（u）-cl/n（美国）- bc1，l（u））1（E）| Fl/n]=0，andE[bc2，l（u）1（E）| Fl/n]=O（1）（E[（bcl（u））- cl/n（u））1（E）|Fl/n]+bc1，l（u））=O（n-1/8），使用（15）和定理1。因此我们有E[ec2，t（u）1（E）| F]=EN-1Xl=0Wn，l（t）bc2，l（u）1（E）！|F=N-1Xl=0Wn，l（t）E[bc2，l（u）1（E）| F]=O（n-1/8)N-1maxl=0 | Wn，l（t）|N-1Xl=0 | Wn，l（t）|！=O（n）-2α），使用（9）和（10）。最后，我们确定了回归偏差ec3，t（u）。设m表示比α大的整数sm。使用泰勒定理，对于t∈ [0,1]和l=0，N-1，我们得到了cl/n（u）=ct（u）+m-1Xr=1（t-l/n）rr！c（r）t（u）+（t-l/n）嗯！c（m）tl（u），对于某些tl∈ [0，1]介于t和l/n之间。我们推导出E[ec3，t（u）| F]=EN-1Xl=0Wn，l（t）（cl/n（u）- ct（u）！|F,使用（11），=EN-1Xl=0Wn，l（t）（t）- l/n）嗯！（c（m）tl（u）- c（m）t（u）！|F,再次使用（11），=O（h2m）n-1Xk，l=0 | Wn，k（t）| Wn，l（t）| 1T-千牛,T-自然对数≤ H×E[| c（m）tk（u）- c（m）t（u）| c（m）tl（u）- c（m）t（u）| | F]，使用（9），=O（h2α）n-1Xl=0 | Wn，l（t）|！，使用Cauchy-Schwarz，=O（n）-2α），使用（10）。结合这些结果，我们得到E[（ect（u）- ct（u）1（E）| F]=O（1）E[（ec1，t（u）+ec2，t（u）+ec3，t（u））1（E）|F]=O（n-2α），根据需要。对于Lrisk，我们同样获得[kect（u）- ct（u）k1（E）|F]=EZ（ect（u）- ct（u））1（E）dt | F=ZE[（ect（u）-ct（u））1（E）|F]dt=O（n-2α).最后，我们可以检查这些速率在t上是否一致∈ [0,1]和P∈Sα，β（C，D）。现在我们可以推导出描述ert（u）和ect（u）性能的推论。滚动1的证明。我们首先确定0<C≤ D、 并证明了在假设P∈ Sα，β（C，D）。对于t∈ [0,1]，我们有| ect（u）- ct|≤ |ect（美国）- ct（u）|+|ct（u）-ct |和定理2 | ct（u）- ct（u）|=Op（n）-α).因此，它仍然受| ct（u）的约束- ct |。

我们有| ct（u）- ct |=nuZRZ（1）- 因为(√nΦ（w）ux）dwνt（dx）=O（n-1） ZR（1）∧ nx）νt（dx）=O（n-1） ZR（1）∧ （nx）β/2）νt（dx）=O（n-(2-β） /2）ZR（1）∧ |x |β）νt（dx）=O（n-(2-β） /2）=O（n）-(2-β)/4)).因此，我们得出结论| ect（u）- ct |=Op（n）-α); （16） 通过一个类似的论点，Lerror，kec（u）也是如此-ck。我们可以进一步检查这些限制是否有条件地保持在F上，并在所有t上保持一致∈ [0,1]，P∈ Sα，β（C，D）。接下来我们考虑P∈ Sα，βγ（C，D），对于某些γ∈ [0, 1].在扩展的概率空间上创建一个进程XSt，t∈ [0,1]，这肯定与Xtat times t一致∈ [0，S]。泰晤士报∈ [S，1]，我们要求XT是关于FTA和F+t的L'evy过程，具有特征三重态（bS，cS，νS）。同时创建观测ysj=XSj/n+εSj，j=0，N- 1，j/n在哪里≤ S、 误差εSj=εj。当j/n>S时，我们要求误差εSj是F+j/n-可测量的，并且等于±。有条件地Ohm, Sα，β（C，D）中的x和ysjl定律成立，因此我们可以将（16）应用于ecSt（u）。我们得到| ecSt（u）- 计算机断层扫描∧S | 1(Ohm) = Op（f（C，D）n-α） （17）在γ，C和D中一致，对于函数f（C，D）>0。我们现在考虑P的情况∈ 假设给定任意序列δn>0，δn→ ∞. 如果我们选择Cn→ 0，Dn→ ∞ 慢如n→ ∞, 我们将得到f（Cn，Dn）=O（δn）。

自从P∈ Sα，β，我们还有P∈ 对于某些γn，Sα，βγn（Cn，Dn）→ 0; 允许Ohm0，n∈ 范德森∈ [0,1]表示相关事件和停止时间。应用（17），我们推导出| ecSnt（u）- 计算机断层扫描∧Sn | 1(Ohm0，n）=Op（δnn）-α).辛塞普(Ohm0，n∩ {Sn=1}）≥ 1.- γn→ 1，这意味着| ect（u）- ct |=Op（δnn）-α).由于这个结果适用于任何发散序列δn，我们得出结论| ect（u）- ct |=Op（n）-α).同样，Lerror的结果也类似。接下来，我们假设P∈ Tα（C，D），并限制估计ert（u）的准确性。我们首先确定它的归一化常数nn-1Xl=0bcl（u）=n-1Xl=0fWn，l（t）bcl（u），其中权重fwn，l（t）=1/n。由于这些权重满足h=1频带的（9）和（10），我们得到nn-1Xl=0（bcl（u）- cl/n（u））=N-1Xl=0fWn，l（t）（bcl（u）- cl/n（u））= Op（n）-α） ，像在奥雷姆2一样争论。我们也有nn-1Xl=0cl/n（u）-Zct（u）dt！= EN-1Xl=0Z（l+1）/nl/n（cl/n（u）- ct（u））dt！≤ E“n-1Xl=0Z（l+1）/nl/n（cl/n（u）- ct（u））dt#，根据詹森不等式，=n-1Xl=0Z（l+1）/nl/nE[（cl/n（u）- ct（u））]dt=O（n-2α).我们由此推断nn-1Xl=0bcl（u）-Zct（u）dt= Op（n）-α). （18） 根据定理2，我们还有| ect（u）- ct（u）|=Op（n）-α). （19） 结合这些结果，我们得到| ert（u）- rt|=ect（u）nPn-1l=0bcl（u）-ct（u）Rct（u）dt= Op（n）-α） ，sinceRct（u）dt≥ C>0。我们可以再次检查，这个极限在F上有条件地成立，并且在整个t上一致地成立∈ [0,1]，P∈ Tα（C，D）。如上所述，我们得出P的结论∈ Tα，| ert（u）- rt |=Op（n）-α).如上所述，我们还可以得出结论，这些结果同样适用于Lerror-ker（u）-rk。最后，我们对P的ert（u）的性能进行了限制∈ Sα，β（C，D）。

结合（16）、（18）和（19），我们有nn-1Xl=0bcl（u）-Zctdt, |ect（美国）- ct |=Op（n）-α).如上所述，我们得到| ert（u）- rt |=Op（n）-α） ，这可以扩展到P∈ Sα，β和Lerror-ker（u）-rk。最后，我们还可以证明估计率的下界，这是Munk和Schmidt Hieber（2010a）结果的简单推论。证据3。我们从第（i）部分开始，并求助于Reom 2.1 inMunk和Schmidt Hieber（2010a）的证明。作者在与我们的α，β（C，D）相似的条件下，给出了ct的还原率下限。Munk和Sch midt Hieber认为σt=σ>0是一个确定性常数，ctis是确定性的，bt=νt=0。然后，他们为波动性构造了大量的选择cω，t，以至少n的速率彼此分离-α. 他们进一步证明，在一个这样的波动率函数cω，T下，我们不能一致地估计ω。因此，这就是为什么不估计c*tof ctcan满足YKC*- ck=op（n）-α).可以看出，当C<1<D时，它们的模型位于Sα，β（C，D）∩T表示大n，所以它们的下界也适用于该设置。通过重新标定它们的波动函数cω，t，我们也可以得到一般0<c<D的相同结果。一个点态下界可以用类似的论证来证明；我们在下面给出了一个证明。为波动率定义两种选择，c0，t=1，c1，t=1+hαK（（1- t） /h），其中h=n-1/2（2α+1）和K:R→ R是一个光滑的非负函数，满足K（0）=1，K（1）=0。我们注意到，当C<1<D时，对于大n，这些模型位于Sα，β（C，D）范围内；如上所述，通过重新缩放，我们可以使用一般的0<C<D。我们还可以使c0,1和c1,1以n的速率分离-α.

因此，我们无法始终区分Cf和cgiven Yj。我们首先转向一个信息量更大的模型，在这个模型中，我们额外观察到一个有效的价格Xt，时间t=(1 - h） n/n、 给定Xt，观测Yj，j≤ nt独立于Yj，j>nt；此外，前者在c和c下分布相同。因此，我们只需要考虑观测值Xt和Yj，j>nt。托蒙克和施密特·希伯也提出了类似的观点，可以证明这些观察结果不足以区分c和c，从而建立了我们的下限。对于第（ii）部分，可以检查速率函数rω，t=cω，t/Rcω，sds是否再次以Lnorm或pointwise以至少n的速率分离-α. Wethus得出结论，我们的下限也适用于rt.5.3技术证明。我们现在给出我们的技术引理的证明。我们从引理1的一个简单证明开始，我们的结果证明了具有局部有界特征的c`agl`ad It`o半鞅满足我们的假设。引理1的证明。对于D>0，我们定义事件Ohm以及具有所需特性的停止时间。当D<2时，我们可以设置Ohm= . 当D≥ 2.我们开始Ohm= {Z|≤ D} ，andS=sup（s）∈ [0,1]：|Zs |≤ R、 |bZ，s |+Z1≤|x |<3R | x |νZ，s（dx），cZ，s+Z | x |<3RxνZ，s（dx）≤ D/2），其中R∈ [0，D]有待确定。然后我们必须在活动上展示这一点Ohm, Zt∈ I1/2（D，S），带P(Ohm∩ {S=1}）→ 1作为D→ ∞.在…上Ohm, 我们首先注意到，sin ce Zt是c`agl`ad，条件|Zt∧S|≤ D根据R和S的定义建立Zt∈ I1/2（D，S），将Zt拆分为一个可预测项ZP，t=Zt-bZ，sds+Zt-Z1≤|x |<3RxνZ，s（dx）ds，鞅termZM，t=Zt-√cZ、sdBZ、s+Zt-Z | x |<3Rx（uZ（dx，ds）- νZ，s（dx）ds）和大跳跃项zj，t=Zt-Z | x|≥3RxuZ（dx，ds）。因此，我们有zt=ZP，t+ZM，t+ZJ，t。此外，停止的进程zt∧S=ZP，t∧S+ZM，t∧S、 自从停止大跳跃以来，术语ZJ，t∧S=0。