在有噪声的Léevy模型中估计时间变化

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英文标题：
《Estimating time-changes in noisy L\\\'evy models》
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作者：
Adam D. Bull
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In quantitative finance, we often model asset prices as a noisy Ito semimartingale. As this model is not identifiable, approximating by a time-changed Levy process can be useful for generative modelling. We give a new estimate of the normalised volatility or time change in this model, which obtains minimax convergence rates, and is unaffected by infinite-variation jumps. In the semimartingale model, our estimate remains accurate for the normalised volatility, obtaining convergence rates as good as any previously implied in the literature.
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中文摘要：
在定量金融中，我们通常将资产价格建模为一个有噪声的伊藤半鞅。由于该模型不可识别，用时变Levy过程近似可用于生成性建模。在该模型中，我们给出了一个新的标准化波动率或时间变化估计，该估计获得了极大极小收敛速度，且不受无限变化跳跃的影响。在半鞅模型中，我们的估计对于标准化波动率仍然是准确的，获得了与文献中之前暗示的任何收敛速度一样好的收敛速度。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Estimating_time-changes_in_noisy_Lévy_models.pdf (385.92 KB)

2022-5-5 07:45:24 上传

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关键词：时间变化 Quantitative identifiable Applications Multivariate

在嘈杂的L’evy模型中估计时间变化萨达姆·D·布尔统计实验室或剑桥大学抽象定量金融中，我们通常将资产价格建模为嘈杂的It’Osemi鞅。由于该模型是不可识别的，通过时间变化的L’evy过程进行近似可用于生成性建模。我们给出了该模型中标准化波动率或时间变化的一个新估计，它获得了极小极大收敛速度，并且不受有限变化跳跃的影响。在半鞅模型中，我们的估计符合标准化波动率，得到的收敛性与文献中之前暗示的一样好。1简介在定量金融中，我们通常希望利用历史数据预测未来资产价格的分布；在定价或评估投资策略时，这个问题很重要。从经济角度考虑，我们知道原木价格必须由一个噪声半鞅给出；然而，该模型通常无法从价格数据中识别。因此，我们将考虑将原木价格建模为嘈杂的时间变化过程。我们注意到，该模型具有足够的通用性，能够描述价格数据的显著特征——随机波动性、跳跃和噪声——而Hillestill模型则非常简单，能够从数据中识别其参数。因此，它是生成模型半鞅模型的有用近似。我们的目标是估计该模型中的标准化波动率或时间变化过程。正如经验证据所表明的那样，以前的估计未能在UMP变化有限时达到最小收敛速度。

因此，我们将描述一个新的估计值，该估计值包含最小最大速率，且不受任意跳跃活动的影响。在我们的半正定化模型中，我们将进一步证明Emak3/Sack1的收敛性。2010年理学硕士：91G70（初级）；62G08、62G20、62G35（次级）。关键词：It\'o半鞅，L\'evy过程，微观结构噪声，波动性，时间变化。和之前文献中暗示的一样好。因此，我们的估计实现了两全其美：当时间变化近似值准确时，具有良好的收敛性，而当时间变化近似值不准确时，没有惩罚。我们首先描述我们将要考虑的统计模型。我们假设我们有一个单一的资产，其有效的对数价格由一个It’osemima鞅给出，Xt=X+Ztbsds+Zt√csdBs+ZtZRx（u（dx，ds）-1 | x |<1νs（dx）ds），（1）其中bt∈ R是一个漂移过程，ct>0是一个波动过程，νta跳跃测量过程，u（dx，dt）是一个泊松随机测量，强度为νt（dx）dt，上述分解与过滤Ft有关（我们参考Jaco d和Shiryaev，2003年的定义）我们注意到，假设（1）在定量金融中极为常见，其动机是经济无套利论点，如Indelbaeand Schachermayer（1994）。模型（1）再现了价格数据的共同特征，如随机波动性——由特征（bt、ct、Vt）对时间的依赖性给出——以及跳跃——由跳跃测量过程Vt的存在给出。然而，为了将该模型与价格数据相匹配，人们普遍认为我们还必须考虑第三个特征，即微观结构噪声。由于买卖价差、交易规模、交易成本和通信延迟等经济人为因素，资产的报价通常会偏离有效的市场价格。

事实上，实证研究证实，高频价格数据波动太大，无法用有效的价格过程来解释（Andersen等人，2000年；Mykland and Zhang，2005年；Hansen and Lunde，2006年）。微观结构噪声的一个流行模型是假设在零平均误差下观察到对数价格。因此，我们认为，N- 1，（2）在一段时间间隔[0，T]内，误差εj满足E[εj | FT j/n]=0。（我们参考Jaco d等人，2009年对该模型的讨论。）不幸的是，观测结果不足以确定模型（1）的参数。即使给予无声的观察，也让时间视界→ ∞, 步长T/n→ 0时，我们通常无法识别漂移过程bt或跳跃测量过程νt。因此，在下文中，我们还将考虑一个时变的L′evyprocess模型。在这里，我们假设对数价格xt=LRt，（3）为L’evy p rocessLt=L+bt+√cBt+ZtZRx（u（dx，ds）- 1 | x |<1ν（dx）ds），带漂移b∈ R、 波动率c>0，跳跃测量值ν，泊松随机测量值u（dx，dt），强度为ν（dx）dt，时间变化过程rt=Ztrsds，由速率过程rt>0给出。Carr和Wu（2004）推广了模型（3），byCont和Tankov（2004）也讨论了其应用。直观地说，该模型描述了根据活动率rt变化更快或更慢的价格；这个比率可以被认为是交易活跃度和交易量、投资者流动性和总体经济不确定性等因素的累积效应。形式上，时变模型（3）是半鞅模型（1）的子集，它满足s可分离条件BT=brt，ct=crt，νt=νrt。

（4） 例如，这个条件要求跳转度量由速率过程rt控制，并且不包含特殊的跳转成分。由于这些参数仅定义为一个乘法常数，我们还必须为rt选择一个归一化。在下文中，为了简单起见，我们将把rt设置为一个积分（尽管我们也将讨论替代的归一化）。同样地，使用（4）我们可以定义为CrtCds；（5） 我们注意到，这个定义对半鞅模型（1）也有意义。可分性条件（4）可以被认为类似于加法模型中的可加性条件。我们采用一个完全非参数的模型，这是很难做到的，并将其限制在一个低维的模型上，而低维的模型则不然。由于我们的小模型（3）反映了价格数据的显著特征——随机波动性、跳跃和噪声，它可能会很好地近似于完整模型（1）。此近似值在各种设置中都很有用。如果我们希望预测未来资产价格的分布，例如定价期权或评估投资策略，我们必须为数据建立一个生成模型。我们已经知道，我们无法确定完整模型（1），因为我们无法确定其参数Bt和νt。正如我们将在下文中看到的，模型（3）的p参数都可以从价格数据中确定；因此，它既可以直接用作生成模型，也可以作为识别合适的参数替代者的起点（Carr和Wu，2004；Cont and d Tankov，2004）。为了使模型（3）符合数据，我们必须估计时间范围t的参数b、c、ν和rt.I→ ∞, 步长T/n→ 0时，可以使用标准技术估计漂移B和波动c。

一些作者（Figueroa-L\'opez，2009年，2011年；Belomestny，2011年；Belomestyand Panov，2013年）也考虑了L\'evy测度的估计，而Figueroa-L\'opez的包容性方法的扩展也可能是inVetter（2014年）。在下文中，我们将特别关注利率过程rt的估计。我们首先注意到，可以直接观察到促成这一过程的一些因素，特别是交易活动和交易量。虽然此类信息在实践中可能有用，但我们可以预期，并非所有此类因素都是可观察的，可观察因素与有效价格之间的关系可能不明确，尤其是在考虑微观结构影响后。因此，在下文中，我们将仅限于直接从价格数据估算RTP。虽然之前的工作已经在各种环境下提供了这种估计（Winkel，2001；Woerner，2007；Rosenbaum和Tankov，2011；Figueroa-L\'opez，2012），但这些作者没有考虑我们的环境（2）和（3）。即使考虑到微观结构噪声，我们也不能在这里应用它们的方法来获得极大极小收敛速度。估计RTI的另一种方法是首先使用识别（4），然后在半鞅模型（1）中估计波动率Ct。许多作者描述了在跳跃测量过程νt的各种假设下解决这个问题的方法。如果不存在跳跃，可以使用多尺度估计器（Zhang等人，2005年；Zhan g，2006年）、实现的核（Barndor ff-Nielsen等人，2008年）或预平均（Jacodet等人，2009年；Podolskij和Vetter，2009年b）来覆盖综合的波动率。

使用核估值器（Kristensen，2010；Mancini等，2014）、傅立叶级数（Munk和Schmidt-Hieber，2010b；Reiss，2011）或小波（Ho ff-mann等，2012）可以恢复像Ewisebe一样的即期波动率。在每种情况下，这些方法都可以达到极大极小收敛速度，相当于观测sizen的ctunder高斯白噪声-1/4. 事实上，可以证明这种联系是一种正式的统计等价关系（Reiss，2011）。然而，当存在跳跃时，我们必须在估计ct之前考虑它们。这样做的方法包括跳跃阈值法（Mancini，20012009；Fan and Wang，2007；Jing等人，2011），双功率变化（Barndor ff Nielsen and Shephard，2004；Podolskij and Vetter，2009a，b；Hautsch and Podolskij，2013），以及特征函数（Todorov and Tauchen，2012；Jaco d and Reiss，2014；Jacod and Todorov，2014）。不幸的是，如果跳跃是有限变化的，通常这些方法无法达到相同的收敛速度。即使对有效价格进行了无害的观察，我们也知道CTSUFF的极小值收敛速度，除非我们假设有限的变化部分是标度β-稳定过程（Jaco d和Reiss，2014；Jacod和Todorov，2014）。尽管如此，经验证据表明，价格数据确实包含有限的变化跳跃（Ait-Sahalia和Jacod，2009；Jing等人，2011）。因此，在下文中，我们将构建一个新的速率过程rt估计。我们将证明，我们的估计在两个模型中都取得了很好的收敛速度，并且在时变模型中不受任意跳跃活动的影响。我们的估算将分三个阶段进行。我们将首先获得价格增量的预平均估计值，以及微观结构的估计值，如Jacod等人所述。

（2009）或波多尔斯基和维特（2009b）。然后，我们将构建现货波动率的局部估计，通过估计价格过程的特征函数得出。虽然我们的方法将类似于前几位作者所考虑的方法（Todorovand Tauchen，2012年；Jacod和Reiss，2014年；Jacod和Todorov，2014年），但获得最小最大速率所需的精确构造将是新的。最后，我们将使用非参数回归的标准工具，平滑我们对波动率的局部估计。虽然很多这样的应用程序都是可能的，但我们将使用局部多项式，如Tsybakov（2009）所述。我们还将讨论如何从数据中自动选择所需的各种参数。然后我们将证明关于估计收敛速度的结果。我们注意到，我们的结果将适用于两种设置：一种标准的非参数设置，其中假设XT的特征是固定的，并且是固定的；以及在定量金融中更自然的设置，这些特征本身由具有局部有界特征的半鞅描述。对于simp licity，我们的结果将集中在h高频情况下，固定时间范围T=1。然而，我们注意到，模拟结果也可以在→ ∞, 前提是步长T/n→ 0.在时变L’evy模型（3）中，我们将证明我们的程序以极小极大收敛速度估计RTF，与噪声水平为n的高斯白噪声模型中的RTF相同-1/4. 我们的结果将适用于任意跳跃活动，并且不知道L’evy参数b、c和ν。在一般半鞅模型（1）中，我们将证明我们的程序继续估计rt。虽然这个问题的下界仍然未知，但我们将获得的收敛速度与以前工作中暗示的一样好。

因此，我们的估计达到了两全其美的效果：当时变近似值准确时收敛，当时变近似值不准确时收敛。在第2节中，我们将给出我们估计的结构，在第3节中，描述我们考虑的具体假设。在第4节中，我们将陈述我们关于收敛速度的结果，第5节给出证明。2局部特征函数估计在本节中，我们将定义对波动率和利率过程的估计。如引言所述，我们的估计分为三个阶段：预平均、现货波动率估计和平滑。我们从预平均步骤开始，然后使用constructionofReiss（2011）继续。我们必须首先将时间间隔[0,1]细分为若干相等的单元。为了定义n，我们选择n，n∈ N表示N，所以~ H-1mn（2m）-1） /8，m=1，2，对于带宽h，h>0，设置n=nn。然后，我们将[0，1]分成n个小单位，并在每个小单位上计算出Xt增量的预平均估计值bxkof。我们将计算xkby，将观察到的增量与标度函数Φn（t）进行积分；wede FINEΦn（t）=√nΦ（nt），Φ（t）=2sin（2πt）。标度函数Φ的具体选择受到了byReiss（2011）的启发，他指出，在高斯环境中，这种形式的函数最能有效地从噪声数据中提取信息。我们在每个周期中都包含一个正弦周期，而不是一个完整的周期；这种选择使我们能够确保预平均增量近似对称分布，这是我们在建模有限变化jum ps行为时需要的特性。我们现在可以定义预平均增量Bxk。对于k=0。

N-1，定义指数集Jk=（n/n）[k，k+1）∩Z、 让bxk=Xj，j+1∈Jkpj（Yj+1）- Yj），pj=Φn（j/n）。估计值BxkThus将观察到的X在时间间隔[k，k+1）/n内的增量平均。我们还可以确定该时间间隔内微观结构的估计值bσk。我们设定σk=n2nXj，j+1∈Jk（Yj+1）- Yj），与观测值的实际二次变化成正比。接下来，我们将描述我们的现货波动率估计步骤。我们将[0，1]细分为更大的仓位，并在每个仓位上构造波动率ct的估计bcl（u）。虽然我们的方法将基于局部特征函数估计，类似于前几位作者（Todorovand Tauchen，2012；Jacod和Reiss，2014；Jacod和Todorov，2014）所考虑的方法，但获得最小最大速率所需的精确构造将是新的。对于l=0，N-1，我们定义了ind ex集合Kl=n[l，l+1）∩Z、 以及Xt增量的特征函数的局部估计值，由b~nl（u）=nXk给出∈Klcos（ubXk）。我们注意到，因此，bаl（u）将bxk在时间间隔[l，l+1）/n内的余弦取平均值。我们还可以确定微结构噪声相应贡献的估计值bψl（u）；我们设定bψl（u）=nXk∈Klexp(-κubσk），κ=4πnn。如果对数价格Xt和噪声εj是高斯的，那么通过考虑它们的特征函数，我们将期望b k l（u）≈ 经验(-（cl/n+κσl/n）u），bψl（u）≈ 经验(-κσl/nu）。然后我们可以重新排列这些数量，以获得一个估计值-乌洛格b~nl（u）bψl（u）事实上，这样的估计是有偏差的。然而，我们可以给出cl/n的修正估计bcl（u）；我们定义（u）=-乌洛格b~nl（u）bψl（u）+bτl（u）！，其中，偏差校正项bτl（u）=n1+bаl（2u）2 bаl（u）- 1..因此，我们确定了现货波动率的bcl（u）估计值。