最优投资组合执行的蒙特卡罗方法

通过假设，该矩阵具有满秩，因此我们可以找到平方根C=B1/2，即C=B。现在引入y（t）=（x（t），x′（t）），然后我们得到一个具有常数系数y′（t）的一阶系统=0 InB 0|其中{x}或{x}是矩阵的基本解≥0Aktkk！。我们有=Bk/20 Bk/2！对于k=0，2，4，0b（k）-1） /2B（k+1）/2！对于k=1，3，5。现在使用cosh（A）=Pk≥0A2k/（2k）！sinh（A）=Pk≥0A2k+1/（2k+1）！，我们可以写，C=B1/2，ψ（t）=cosh（Ct）sinh（Ct）C-1sinh（Ct）C cosh（Ct）！，因此（11）的一般解是y（t）=ψ（t）c。写出c=（c，c），然后原始问题（8）的边界条件给出（x（0）=cosh（C0）c+sinh（C0）c-1c=xx（T）=c osh（CT）c+sinh（CT）c-1c=0，紧接着c=X和c=-C sinh（CT）-1科什（CT）x.这里是新罕布什尔州（CT）-1表示sinh（CT）的矩阵逆。因此（8）的解由x（t）给出=科什（Ct）- 新罕布什尔州-1科什（CT）x=sinh（C（T）- t） ）新罕布什尔州-1x，我们使用了sinh（CT）的事实-1具有cosh（CT）的Commutes，假设C具有满秩，而B具有满秩。通过使用泰勒级数forsinh（A）和cosh（A）以及A=CT=V∧V的特征值分解，这两个矩阵很容易互换-1，即cosh（A）sinh（A）-1=V cosh（λ）V-1V正弦（λ）-1V-1和对角矩阵sinh（λ）-1和cosh（λ）通勤。q、 e.d.上述结果是针对区间0得出的≤ T≤ Tt的明显变化≤ s≤ T给出，x（T）=xtgiven，x（s）=Ohm（s）- t、 t- t、 Ξ，∑xt和v（s）=Ohm′（s）- t、 t- t、 Ξ，∑）xt，（12）heq:cci其中asΞ（s）和Ohm（s） 我们通常会想到Ξ=Ξ（t）和∑=∑（t）。这将在以下方面发挥作用。这些策略不适应市场参数的变化，我们将用CC来表示，CC是常数系数的缩写。

对于n=1和n=2的情况，我们有以下两个推论。hcor:1Ai推论1。假设n=1，即一项资产只有交易，且η（t）=η且σ（t）=σ常数，则0的最佳交易轨迹为≤ T≤ T由x（T）=sinh（u（T）给出- t） sinh（ut）x和v（t）=-cosh（u（T）- t） sinh（ut）ux，其中u=λσ/η。hcor:2Ai推论2。当交易两种资产，即n=2，且Ξ（t）=Ξ和∑（t）=∑常数时，0的最佳交易轨迹≤ T≤ T由x（T）=θ给出- θs（t）- θs（t）θ（s（t）- s（t）s（t）- s（t）θs（t）- θs（t）！x、 （13）heq:optvcc2aaindv（t）=θ- θs′（t）- θs′（t）θ（s′（t）- s′（t））s′（t）- s′（t）θs′（t）- θs′（t）！x、 2λΞ在哪里-1Σ =公元前=2λη+ 2ηη+ η- 4ηησσρ(η+ η) - 2σησ(η+ η) - 2ρσσησ(η+ η) - 2ρσσησσρ(η+ η) - 2ση我们设定D=a+4bc- 2ad+dandα=a-d、 β=a+d，u=β-√D、 u=β+√D、 θ=α-√D2c，θ=α+√D2c，s（t）=sinh（u（t）- t） sinh（ut），s（t）=sinh（ut- t） ）sinh（ut），s′（t）=-ucosh（u（T- t） ）sinh（ut），s′（t）=-ucosh（u（T- t） ）新罕布什尔州（ut）。证据证明如下：将特征值分解为B=λΞ-1∑=V∧V-1，那么C=V∧1/2V-1和sinh（C（T- t） ）=vsinh∧1/2（t- t） ）V-1和新罕布什尔州（CT）-1=V sinh（λ1/2T）-1V-1.对于2×2矩阵，可以进行分析，得到给定的结果。q、 最后，我们有以下推论。hcor:CCi推论3。假设Ξ（s）=Ξ和∑（s）=∑在t上是常数≤ s≤ T用x（s）表示t的最佳交易策略≤ s≤ T使用（7）发现，假设s=T时的资产水平为bext。作为命题2的结果，[t，t]上的代价函数（5）是xt的t个元素中的二次多项式。证据

根据命题2，该策略的成本函数Ohm（s） =Ohm（s）- t、 t- t、 Ξ，∑）和Ohm′（s） =Ohm′（s）- t、 t- t、 Ξ，∑），由ZTT给出vT（s）Ξv（s）+λxT（s）∑x（s）ds=xTtZTtOhm′（s） ΞOhm′（s） +λOhm（s） T∑Ohm（s）ds！xt=xTtQ xtand是xt中的二次表达式之和，其系数是独立于xt的积分。因此，当假定常数Ξ和∑为初始资产位置x（t）中的二次多项式时，成本函数。q、 e.d.4动力学问题sec:dynprobic本节讨论更一般的情况，即Ξ（t）和∑（t）都随时间随机移动。在这种情况下，贝尔曼原理可以用于值函数（6），c（t，x，Ξ，∑）=minv（t）vT（t）Ξ（t）v（t）dt+λxT（t）∑（t）x（t）dt+Ec（t+dt，x+dx，Ξ+dΞ，∑+d∑）. （14） heq:OptProbi不幸的是，在一般情况下不可能找到问题的分析解决方案，必须使用数字技术。Inlamgren[2012]研究的一项资产在协调变化下的情况，简化为具有一个空间维度的PDE。使用标准技术可以有效地解决这个问题，并且在上述论文中使用了有限差分方案。增加资产数量和放弃协调变化条件会迅速导致一个多维问题，这对于有限差异技术来说是不切实际的（参见Alsologstaff和Schwartz[2001]）。4.1滚动地平线战略HSEC:Rhaith在Almgren[2012]中提出的所谓滚动ho rizon战略（RHS）提供了一种动态，但次优梯度策略不需要任何数值算法来计算。这个想法是在静态解中插入Ξ（t）和∑（t）的内在值，即（7）的解。从（12）我们可以写出RHS a v（t）下的瞬时交易率Ohm′（0，T- t、 Ξ（t），∑（t））x（t）。

因此，该算法假设当前市场参数在程序的剩余部分保持不变。当它们改变时，交易速度会使用新的值来改变。作者认为，只有在有限期内，并且只有当市场参数以适当的方式变化时（但没有具体说明如何变化），这种策略才是严格最优的。此外，它还声称提供了易于实现的合理近似。我们首先证明以下命题，即在什么条件下，RHS可化为静态解。提议3。考虑初始位置为x的n个资产的执行问题。如果λΞ-1Σ → 当矩阵为0nN×n时，RHS收敛到CC解。hprop:RHS2iProof。当λΞ-1Σ → 0n，常微分方程（8）的系统使s-tox′（t）=0，这导致解x（t）=x1.-tT,i、 例如，即使是当前的市场参数，交易也是线性独立的。因此，theRHS与静态解一致。q、 e.d.相反，以下命题（据我们所知，文献中尚未研究过）表明RHS何时变为最优，至少在n=1的情况下。提议4。假设n=1。那么对于λ′σ/’η→ ∞, 滚动视界逼近收敛到最优解的当且仅当βrδδ-ξ+δδβ-δδξ+βδ= 0. （15） heq：假设这个方程在协调变化下满足。hprop:RHSiProof。