非平稳反射布朗运动的精确模拟

在过程Z从未上升到m级的情况下，Z的全局最大值为m，该过程可以终止。否则，可以根据水平仪m的命中时间生成样本α，并从α开始重复该程序。我们证明了在引理7.2中，程序在每次迭代中至少以一个常数概率终止。因此，全球最大值是在有限的预期时间内实现的。图4展示了这个想法。图1：算法2生成的Z（t）的样本路径。m1m201.2.2红色曲线代表主导过程Ut。过程Z不需要在灰线上进行模拟。为了实现这个想法，我们需要以下主要组件：i.）生成（tζ，ζ，β）的采样机制。这里，β是过程zt达到预定水平的第一次击中时间，ζ是过程在区间[α，β]内的最大值，而tζ是最大值出现的时间。ii.）检查Z（s）是否提升了水平m（β）=sup0的测试程序≤U≤有时，你会感到沮丧≥ β.在第5节中，我们描述并分析了一种解决i.）的算法。对于ii.）而言，我们构造了一个常裂布朗运动Uβ=（Uβs:s）≥ β） 主导Z（s）。LetUβs，d+Z（β）+B（s）- B（β）- （s）- β) · γ. （4.1）通过假设3.2，我们可以得出Z（s）≤ 所有人≥ β. 如果是βkUβks中的一个≤ m（βk）=sup0≤U≤这对所有人都适用≥ βk，那么m（βk）是Z的全局最大值。由于Uβ是一个恒定的漂移布朗运动，我们可以精确地描述它的首次击中时间分布（见引理7.2）。因此，我们可以很容易地检查Uβ是否达到m（β）级。下面，我们将详细说明算法。

可以生成（v）的精确样本∞, M(∞)) 通过设置t=∞.算法2：精确采样（vt，M（t），Y（t））1初始化k=1，ζ=α=0，ηt=0，并选择参数c>1和 > 0.2通过子程序5.1生成（tζ，ζ，βk）的样本，其中βk=inf{∧-1（t）≥ s≥  + αk:Z（s）≤ mk- cd}，（4.2）ζk=最大αk≤s≤βkZ（s），tζ是最大值出现的时间。3-如果ζk>mk，则更新mk+1=ζ和ηt← tζ。-否则，mk+1=mk.4样本αk+1=inf{s≥ βk:Uβks≥ mk}；如果∧，参见引理7.2.5-1（αk+1）<t，集k← k+1，然后重复步骤3中的步骤。否则，终止，并对t<∞ 以αk+1.6返回（λ）为条件-1（ηt），mk，Z（λ（t）））。在第7节中，我们证明了p（αk=∞) ≥ 1.- exp（2′γ（c- 1） d）。因此，算法终止于有限的迭代次数；称之为K。即使在t=∞; 见定理7.1。此外，它还表明βK≤ Li、 e，算法2生成的样本路径长度小于L，不依赖于t。注意，可以确定∧-1（αk+1）<tor not in log（αk+1），它与t无关。最后，值得一提的是，我们不需要在整个区间[0，βk]上模拟过程来计算sup0≤s≤βKZ（s），因为k=1，…，最大值不会出现在βk和αk+1之间，K-1.相比之下，上一节讨论的算法1要求在[0，L]上生成进程的完整路径（以L为条件）。

显然，这比算法2的计算成本更高。在下一节中，我们将讨论第2步，为Z（t）超有限区间的最大值生成精确样本。5与时间相关的漂移布朗运动的精确采样本节描述了对单位波动率与时间相关的漂移布朗运动及其在特定时间间隔内的最大值进行采样的精确方法，该方法可用作算法2步骤2中的子程序。该方法使用了一种类似于贝斯科斯和罗伯茨（2005）的接受/拒绝机制。Beskos和Roberts（2005）针对某些一维差异开发了一个接受/拒绝方案，用于精确模拟依赖于状态的差异。Beskos等人（2006年）提出了基于细化机制的验收指标生成方法。此外，在陈和黄（2013）中，这一方案被扩展到了更广泛的分歧类别。Gieseckeand Smelov（2013）将他们的方法推广到具有状态依赖系数和跳跃强度的跳跃差异。在这里，我们为依赖时间的差异开发了类似的机制。回想一下Z=（Z（t）：t≥ 0）是一个布朗运动，漂移γ（t）随时间变化，因此t时刻的位置由z（t）=B（t）+Ztγ（s）ds给出。（5.1）本节的目的是在执行时间Tf或间隔（v，u）的第一次退出时间（其中v<0且u>0）之前，生成最大Z的精确样本。更正式地说，我们生成（tζ，supt）的精确样本≤Tf∧τv，uZ（t），τv，u），其中τv，u=inf{t≥ 0:Z（t）/∈ （v，u）}是Z从区间（v，u）的首次退出时间，tζ是Zover[0，Tf]最大值出现的时间∧ τv，u]出现。

我们可以假设TFI等于单位，在这种情况下，生成第一次命中时间的精确样本是可能的。其关键思想是生成标准布朗运动的候选样本路径，并将其作为过程Z的样本路径，其概率与两个过程定律之间的似然比成正比。在定理5.1中，我们计算这个似然比。接下来，我们构造aBernoulli随机变量I，其中I=1，接受概率与亲缘比成正比，这表明候选人的接受度。设F=（Ft:t）≥ 0）是（5.1）中工艺Z产生的过滤，τ是该过滤的停止时间。设P=P（z；s，t）为σ-场F′τ上的概率测度∧由路径{Z（u）导出∧ τ）：s≤ U≤ T∧ τ}. 定理5.1提供了一个公式，用于计算P与F′τ上的等效度量Q=Q（z；s，t）之间的似然比∧tunder哪个{Z（u）∧ τ）：s≤ U≤T∧ \'τ}是标准布朗运动的路径，在\'τ}处停止∧ t、 定理5.1。设Z（t）=B（t）+Rtγ（s）ds，γ（t）是一个连续可微函数，且¨τ是一个关于过滤F的有限值停止时间。然后对于任何事件B∈ F′τ∧t、 wehaveP（B）Q（B）=EQhexpγ(τ ∧ t） WQ′τ∧T-Z′τ∧tsγ（u）du-Z′τ∧tsγ（u）WQuduBi，（5.2），其中wqt是从WQs=Z（s）=Z开始的Q-布朗运动。该证明基于Girsanov定理和It^o公式。考虑一下超鞅=（M（t）：t≥ s） 定义的byM（t）=exp-Zt∧τsγ（u）dB（u）-Zt∧τsγ（u）duNovikov条件保证M是鞅。根据Girsanov定理，dQdPF′τ∧t=M（t），Q下为过程WQt∧τ=z+B（t∧ τ ) - B（s）+Rt∧τsγ（s）ds=Zt∧τ是一个标准的布朗运动，从Ws=z开始，到t结束∧ τ .

根据It^o公式和γ（t）的微分假设，我们得到了γ（t）∧ \'\'τ）WQt∧\'\'τ=Zt∧τsγ（u）dWQu+Zt∧τsγ（u）WQudu+γ（s）Ws。因此∧\'\'τ=expZt∧τsγ（u）dB（u）+Zt∧τsγ（u）du= 经验Zt∧τsγ（u）dWQu-Zt∧τsγ（u）du= 经验γ（t）∧ \'\'τ）WQt∧τ-Zt∧τsγ（u）WQudu-Zt∧τsγ（u）du.因此，dPdQ=Mt∧\'\'τ=expγ（t）∧ \'\'τ）WQt∧τ-Zt∧τsγ（u）WQudu-Zt∧τsγ（u）duandP（B）=EQMt∧τI（ω）∈ B）= 情商Mt∧τBQ（B）。为了生成精确的Z样本路径，我们采用了Chen和Huang（2013）以及Giesecke和Smelov（2013）开发的定位方法。假设我们已经生成了一个精确的样本（Zu:u）≤ s） 对于一些随机或固定时间s<Tf∧ τu，v.定义τa=inf{t≥ 0:| Z（t+s）- Z（s）|≥ a} ，其中a=min{u-y |，| v-y |，θ}对于某些θ>0的情况。通过遵循接受/拒绝程序，我们生成了Z（t）：s≤ U≤ s+（τa）∧ )对于某些参数.首先，考虑（WQu:s）的样本路径ω≤ U≤ s+τa∧ ), 其中τa=inf{t>0:|WQt+s- WQs|≥ a} 。为了便于说明，我们表示Wu=WQu+s- 0的WQS≤ U≤ τa∧, 这是测度Q下的标准布朗运动。现在，给定一个样本路径ω作为候选，我们构造了一个贝努利随机变量I，其成功概率成正比（I=1 |ω）∝dP（ω）dQ（ω）=expγ（τ+s）Wτ-Zτγ（s+u）武都-Zτγ（u+s）du,式中τ=τa∧. 候选路径ω被接受为Z（t）：s≤ T≤ s+(∧τa）如果I=1；否则，我们重复这个过程。伯努利指标I可以通过对双随机过程的跳跃时间进行采样来构造。连续可微分假设意味着γ（·）和γ（·）在时间间隔[s，s+]. 设m=maxt∈[s，s]+]|γ（t）|，且＠m=最大值∈[s，s]+]|γ（t）|。Let0≤ φt=γ（s+t）Wt+ma≤ 2ma，每0≤ T≤ . 设V为强度为φt的双随机泊松过程≤ T≤ .所需指示器可通过在[0，τ]中对V的跳跃时间进行采样而生成。

双随机泊松过程在区间[0，τ]内不发生跳跃的条件概率Rτφtdt.设EAN和Ebe为两个独立的指数随机变量，其强度λ=ma- γ（τ+s）Wτ≥ 0和λ=-Zτ+ssγ（u）du+ma( - τ) ≥ 0.伯努利随机I的成功概率可由p（I=1 |ω）=exp定义(-Zτ+ssφudu）×P（E>τ）×P（E>τ）。观察dp（ω）dQ（ω）=exp(-Zτ（γ（u+s）武都+ma）杜×expγ（τ+s）Wτ- ~ma）×exp-Zτ+ssγ（u）du+ma（τ）- )经验（硕士） + ~ma）=exp(-Zτφudu）×expγ（τ+s）Wτ- ~ma）×exp-Zτ+ssγ（u）du+ma（τ）- )经验（硕士） + ~ma）=P（I=1 |ω）×exp（ma） + ~ma）。（5.3）生成指数随机变量EAN和Eis非常简单。强度φ的上限为2ma，这使得我们可以通过用强度2ma细化泊松过程来模拟V的事件时间。这些属性有助于为提案框架的接受测试生成伯努利指标。更准确地说，让κ，κ，κb<τ是速率为2ma的泊松过程的跳跃时间，wκibe是i=1，…，的候选样本路径的对应值，b、 设（U，U，…，Ub+2）为b+2均匀随机变量序列。我们接受候选路径if2maUi>γ（κi+s）Wκi+ma为1≤ 我≤ b（5.4）Ub+1<expγ（τ+s）Wτ- ~maUb+2<exp-1Zτ+ssγ（t）dt+am（τ）- ).按照Burq和Jones（2008）的方法，布朗运动WQI的出口时间τa的采样是可能的。此外，在Chen和Huang（2013）中，我们发现在τ之前的一系列实例中精确采样W是可能的。给出κ，κ，…，点的过程框架，κb，τ，我们可以对[0，τ]上的过程的最大值进行采样。对于每一个i=1，b、 观察到fwt=Wt+a是κi的布朗弯曲≤ T≤ κi+1激活t≤ τa。

Devroye（2010）中的Maxmeanderalgorithm生成了布朗均值最大值的精确样本，以及最大值出现在恒定预期时间内的时间。5.1程序概述为了方便读者，我们总结了我们的基本算法，用于生成特定时间间隔[0，~τ]内与时间相关的BM最大值的精确样本，其中~τ=Tf∧ τu，v.设ζ=sup0≤T≤ττZ（t）和tζ是最大值出现的时间。该算法生成三元组（tζ，ζ，Z)τ）。该程序可用作算法2步骤2中的子程序。初始条件为ζ=0，tζ=0，n=1，s=0，选择θ>0，然后 < Tf（见备注5.2）。子程序1：精确采样（tζ，supt≤)τZ（t），Z)τ1集a=min{u- Z（sn）|，v- Z（sn）|，θ}.2样本τa=inf{t≥ 0:| Wt |≥ a} )；参见Burq和Jones（2008）。3个跳跃时间κ，κ，κb<τa∧min{Tf-sn，} 速率为2ma的泊松过程。集κb+1=τa∧ min{Tf- sn，}.4样本Wκ，Wκ，Wκb，Wκb+1，Wτa；参见陈和黄（2013）第11页。5接受/拒绝提案框架Wκ，Wκ，如果条件（5.4）成立，Wκb，Wκb+1，Wτaas是骨骼样本（Zsn+κ，Zsn+κ，…，Zsn+κb，Zsn+κb+1）。-如果提案被拒绝，请转至步骤2。-如果建议书被接受，则设置sn+1=sn+τa∧ min{T- sn，}, 然后继续。6对于i=1，b、 样本μi=supκi≤T≤κi+1wt和tui，以τaas为条件的[κi，κi+1]上最大值的位置——布朗曲流的最大值；参见Devroye（2010）中的MaxMeavder算法。如果ζ<ui，则更新ζ← ui和tζ← tui.7如果sn+1<t，则增加n← n+1，然后转至步骤1。否则，停止并返回（tζ，ζ，Zsn+1）。图2：子例程1生成的Z（t）在[sn，sn+1]上的采样路径。snsn+k1sn+k2sn+k3sn+k4Γ0- aΓ0Γ0+a1.2.3.4该算法的运行时间可以由O（1/| |γ|）限定。下面的定理说明了这个结果。假设5.1。

假设θ- θ（~m+m/2）≥ 2 log 2，其中m=supu≥0γ（u）和m=supu≥0γ（u）。定理5.2。假设3.1、3.2和5.1保持不变。对于每个y>0，让τ-y=inf{t≥ 0:Z（t）≤ -y} 。生成样本路径骨架的运行时间（Z（t）：0≤ T≤ τ-y） 通过使用子程序，1可以用O来限定y+d+θ|γ|在期待中。证据设N为程序终止前的时间间隔数[sn，sn+1]。此外，假设τn=sn+1- n=1，N.根据引理5.3，我们可以证明E[R]，生成样本路径骨架的运行时间的期望值（Z（t）：0≤ T≤ τ-y） [R]≤ cmθemθ+ ~mθ（1+)E[N]（5.5）对于某些常数c。通过使用引理5.4，我们可以束缚E[N]。我们有ep[τ-（y+θ）]≥ E“NXn=1τn#≥ E“∞Xn=1I（n≤ N） EP[τN | Z（sn）]#≥ E[N].最后一个不等式来自引理5.4。因此，E[N]≤EP[τ-（y+θ）]。设∧τy+θ=inf{t≥ 0:B（t）-t·γ≤ y+θ+d}是主导恒裂谷布朗运动的第一次击中时间。很明显，τy+θ≤ ■τy+θ+dby假设（3.2）。从可选样本Theorem（Karatzas and Shreve（1991，第19页））中，我们可以得出以下结论：-（y+θ）]≤ EP[~τy+θ+d]≤y+θ+d |γ|。因此，我们得到[N]≤4（y+θ+d）|γ|. （5.6）根据不等式（5.5）和（5.6），我们得出结论E[R]≤4（y+θ+d）|\'γ| cmθemθ+ ~mθ（1+).因此，预期运行时间ER=Oy+θ+d |γ|.备注5.2。为了最小化运行时间期望的上限，我们可以选择 =mθ并选择θ，使假设（5.1）成立。试错法也可能有助于选择最佳方案 θ。引理5.3。假设（5.1）成立。生成（Z（t）：sn的基尔顿的运行时间预期≤ T≤ sn+1）isO（maema+ ~ma（1+)).证据

b的期望值，时间间隔[0，τa]内发生的速率为2ma的泊松过程的事件数∧ ] is2maEQ[τa∧ ].每i=1，…，从布朗弯曲处取样，步骤3中的b+1在恒定时间内是可能的。因此，为每个候选样本路径生成骨架的运行时间为iscma（1+EQ[τa∧ ])对于某些常数c，接受每个候选样本路径的概率isP（I=1）=exp(-文科硕士 - ~m）。因此，在接受发生之前生成的候选样本路径的预期数量为exp（ma+ ~m）。因此，生成（Z（t）：sn的骨架的预期运行时间≤ T≤ sn+1）位于莫斯迈玛+ ~ma（1+EQ[τa∧ ]) ≤ cmaema+ ~ma（1+)对于一些常数c.引理5.4。在假设（5.1）下，我们有ep[τn | Z（sn）]≥ /4，其中τn=inf{t≥ 0:| Z（t+sn）- Z（sn）|≥ θ}.证据通过应用定理5.1和等式（5.3），我们得到了PSUPU≤/2 | Z（u+sn）- Z（sn）|≥ θ!= EQ“Isupu≤/2 |吴|≥ θ!P（W）∈ dω）Q（W）∈ dω）#≤ exp（mθ）/2+~mθ）Qsupu≤/2 |吴|≥ θ!≤ 2 exp（mθ）/2+~mθ- θ/).最后一个不等式来自杜布的鞅不等式。根据假设（5.1），我们可以得出p（τn≥ /2） =Psupu≤/2 |祖+sn- Z（sn）|≤ θ!≥ 1/2.因此，我们有ep[τn | Zsn]≥P（τn）≥ /2) ≥.6依赖于时间的漂移布朗桥的精确采样本节提供了一种精确的方法，用于对单位波动率依赖于时间的漂移布朗桥的最大值以及该最大值出现的时间进行采样。我们将依赖于时间的裂谷布朗桥定义为一个依赖于时间的布朗运动，给定过程开始和结束时的规定值。设ZBr，r=（Z（t）：0≤ T≤ r） 当Zr=y时，它是一个依赖于时间的漂移布朗桥。回想一下z（t）=B（t）+Ztγ（u）du。本节的目的是生成最大ofm（r）=sup0的精确样本≤s≤rZ（s）以Z（r）=y和出现最大值的时间η为条件。

正如我们在算法1中提出的那样，以Z（r）=yc为条件对联合变量（ηr，m（r））进行采样的过程可以用作生成（η）精确样本的子程序∞, 监督≥0Z（t））作为算法2的替代。虽然，正如我们前面讨论的，算法2比这种方法更有效。以Z（r）=y为条件生成（ηr，m（r））的精确样本的过程类似于子程序1，即依赖于时间的布朗运动的精确样本。主要区别在于，它使用布朗桥而不是标准布朗运动作为候选样本路径。我们接受这个候选者作为ZBr的样本路径，R的概率与两个过程定律之间的相似比成正比。定理6.1计算这个似然比。与子程序1类似，按照本地化方法，ZBr、rcanbe的采样路径在时间间隔内逐段生成[sn，sn+ ∧ τa]式中τa=inf{t≥ 0:| Z（t+sn）- Z（sn）|≥ a} 对于适当的参数a和 并给出（sn，Z（sn））。假设sn+ < r、 采样Z（sn+) 给定Z（r）=y很简单。设x=x-Zsn+γ（u）du，~y=y-Zrγ（u）du。注意这一点Z（sn+) ∈ dx | Zr=y，Z（sn）= PB（sn+) ∈ dx | B（r）=y，B（sn）,这是标准布朗桥的分布。布朗桥的抽样是众所周知的，人们可以方便地生成Z的抽样( + sn）给定Zr=y和Z（sn）。因此，必须在时间间隔[sn，sn+ ∧ τa]给定Z（sn）和Z（sn+). 通过使用时移，我们可以假设sn=0。