非平稳反射布朗运动的精确模拟

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英文标题：
《Exact Simulation of Non-stationary Reflected Brownian Motion》
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作者：
Mohammad Mousavi, Peter W. Glynn
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  This paper develops the first method for the exact simulation of reflected Brownian motion (RBM) with non-stationary drift and infinitesimal variance. The running time of generating exact samples of non-stationary RBM at any time $t$ is uniformly bounded by $\\mathcal{O}(1/\\bar\\gamma^2)$ where $\\bar\\gamma$ is the average drift of the process. The method can be used as a guide for planning simulations of complex queueing systems with non-stationary arrival rates and/or service time.
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中文摘要：
本文发展了第一种精确模拟具有非平稳漂移和无穷小方差的反射布朗运动（RBM）的方法。在任何时间$t$生成非平稳RBM精确样本的运行时间由$\\mathcal{O}（1/\\bar\\gamma^2）$统一限定，其中$\\bar\\gamma$是过程的平均漂移。该方法可用于规划具有非平稳到达率和/或服务时间的复杂排队系统的仿真。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Exact_Simulation_of_Non-stationary_Reflected_Brownian_Motion.pdf (720.14 KB)

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关键词：布朗运动 非平稳 Applications Mathematical Differential

非平稳反射布朗运动的精确模拟Mohammad Mousavi*, Peter W.Glynn+2018年11月5日摘要本文提出了第一种方法，用于精确模拟具有非平稳漂移和微小方差的反射布朗运动（RBM）。在任意时间t生成非平稳RBM的精确样本的运行时间由O（1/？）γ一致限定，其中，？γ是过程的平均漂移。该方法可用于规划具有非平稳到达率和/或服务时间的复杂排队系统的仿真。*对应的作者。斯坦福大学管理科学与工程系，电子邮件：mousavi@stanford.edu，网址：www.stanford。埃杜/~穆萨维。+斯坦福大学管理科学与工程系，电子邮件：glynn@stanford.edu，网址：www.stanford。埃杜/~格林。1简介本文研究了具有非平稳漂移和极小方差的反射布朗运动（RBM）的精确模拟。我们对该模型的兴趣源于这样一个事实，即RBMis通常被用作单站队列的程式化表示（并且经常被用作提取重交通中队列的数值近似值的模型）；见伊格哈特和惠特（1970年）。在排队模型的许多（实际上是大多数）实际应用中，由时间、星期或季节性影响引起的到达率和/或服务时间要求存在非平稳性。此外，在某些情况下（如在生产或库存环境中），当产品进入市场或过时时，也可能存在与产品需求上升或下降相关的非平稳性。

在此类应用中，对工作量过程X=（X（t）：t的简化描述≥ 0）是假设它满足随机微分方程（SDE）dX（t）=u（t）dt+σ（t）dB（t）+dL（t），（1.1），其中L=（L（t）：t≥ 0）连续非递减过程是否满足i（X（t）>0）dL（t）=0≥ 0，B=（B（t）：t≥ 0）是标准布朗运动，且u=（u（t）：t≥ 0）和σ=（σ（t）：t≥ 0）是给定的（可测量的）确定性函数。请注意，这种风格化的模型允许分别指定瞬时漂移和波动率，这与排队文献中之前研究过的非平稳M（t）/M（t）/1模型不同（例如，参见Massey（1981）），其中瞬时漂移必须始终匹配瞬时波动率。假设X（0）=X，我们的目标是提供一种算法，用于生成复杂度在t内有界的X（t），至少当X完全清空时，几乎可以肯定（a.s.）。如果系数函数是平稳的（因此u（·）和σ（·）是常数），我们发送t→ ∞, 有证据表明，这是一个非平稳的模拟，精确模拟了正循环马氏过程。因此，我们使用术语“精确模拟”来指代我们的非平稳问题。当然，如果RBM具有平稳漂移和微小方差，则X的瞬态和稳态分布以闭合形式已知，无需进行模拟。在非平稳的情况下，跃迁密度p（t，x，y）dy(= P（X（t）∈ dy | X（0）=X）将被期望满足Kolmogorov正偏微分方程（PDE）sp（s，x，y）=σ（s）yp（s，x，y）-u（s）yp（s，x，y），0<s≤ t、 （1.2）受P（X（0）约束∈ dy |X（0）=X）=δX（dy）和σ（s）yp（s，x，0）- u（s）p（s，x，0）=0，0<s≤ t、 与静止情况不同，该偏微分方程没有已知的闭式解，需要进行数值求解。

本文为数值求解上述偏微分方程提供了一种高效的计算方法，尤其是当感兴趣的时间范围t较大时，这种方法更具吸引力。如上所述，X可用作研究具有非平稳动力学的队列的基础模型。但在许多应用中，我们更愿意使用“更细的颗粒”和更现实的模拟模型，而不是RMB本身，作为所考虑的真实世界系统的数学描述。人们直觉地认为，这样的模型会“失去记忆”，也就是说，t时刻的分布往往对t时刻的状态不敏感- u、 只要u足够大。在存在这种不敏感的情况下，可以（例如）在时间t将系统初始化为空状态- u并仅在[t]上执行细颗粒模拟- u、 而不是[0，t]，从而产生显著的计算节省。因此，确定适当的u值具有重要意义。虽然估计基础详细模型的“记忆损失”将是一个极大的挑战，但我们将在第2节中通过耦合论证论证，即简化RBM模型的“记忆损失”很容易估计。然后，可以使用非平稳RBM的模拟来确定详细模型应选择多大的u（可能是通过将RBM的Ub值乘以系数2，以考虑模型近似误差）。因此，非平稳RBM可以被视为更复杂的详细排队模拟的模拟规划工具，这与Whitt（1989）和Asmussen（1992）认为具有平稳动力学的RBM是规划稳态排队模拟的合适工具的观点相同。我们顺便注意到，当u（·）和σ（·）是周期性的（具有相同的周期）时，我们的问题会出现一种特殊情况。

对于这样的周期模型，各种理论结果是众所周知的；例如，见哈里森和莱蒙（1977年）、海曼和惠特（1984年）、阿斯穆森和托里松（1987年）、班波斯和沃兰德（1989年）。此外，当u（·）和σ（·）是随机的（但与B=（B（t）无关）：t≥ 0），模拟X的问题简化为在u和σ条件下考虑的确定性情况。这样，我们的方法可以用非马尔可夫u和σ覆盖（例如）RBM。本文的剩余部分组织如下：第2节讨论了如何规划具有非平稳输入的排队模型的模拟。第3节和第4节介绍了时间相关RBM的主要模拟方法。第5节和第6节解释了实施细节。第6节分析了算法。第7节给出了数值结果。2非平稳排队模型的规划模拟此处的目标是研究非平稳RBM X“丢失内存”的速率。鉴于我们在导言中的讨论，我们希望具体回答以下问题：我们必须选择多大的u才能使RBM在时间t开始-空闲状态下的u（即系统中没有工作负载）的分配时间t将接近RBM初始工作负载x的时间0？为了0≤ s≤ t、 let（Xs（t）：t≥ s） 是（1.1）的解，条件是Xs（s）=0，并让k·k为总变差范数。另外，设置^vt=sup{r∈ [0，t]：X（r）=0}如果X在[0，t]上不访问0，则vt=-∞.提议2.1。为了0≤ s≤ t、 kP（Xs（t）∈ ·) - P（X（t）∈ · | X（0）=X）k≤ P（~vt）≤ s | X（0）=X）。命题2.1回答了我们的问题：对于给定的误差容限, 我们应该选择你这样≤ T- u | X（0）=X）=P（t- ■vt≥ u | X（0）=X）≤ .命题2.1的证明。LeteY（t）=Ztu（s）ds+Ztσ（s）dB（s）fM（s，t）=- infs≤R≤0的teY（r）≤ s≤ T

众所周知，以X（0）=X为条件的SDE（1.1）的解可以用Ey进行明确的比较；具体来说，X（t）=X+eY（t）+sup0≤s≤tmax-十、-安永(s),0; （2.1）例如，见哈里森（1985）的第20页。关系（2.1）可以用asX（t）重新表示=eY（t）+fM（0，t）iffM（0，t）≥ x、 eY（t）+x如果M（0，t）≤ x、 （2.2）我们可以通过注意到Xs（t）可以类似地表示为Xs（t）=eY（t）+fM（s，t）来耦合Xs到x。因此，Xs（t）=X（t）whenverfm（s，t）=fM（0，t）≥ x、 但是fM（s，t）=fM（0，t）≥ 当x在[s，t]上访问0时，这相当于evt≥ s、 因此，X和Xs之间的耦合建立了thatP（Xs（t）∈ · , ■vt≥ s） =P（X（t）∈ · , ■vt≥ s | X（0）=X，证明了supbP（Xs（t）∈ B）- P（X（t）∈ B | X（0）=X）≤ P（vt<s（0）=X）。因此，为了规划排队模拟，要模拟的关键随机变量（rv）是t- 另一方面，当X本身是利益的最佳模型时，我们的重点是X（t）。因此，我们在本文中的目标是有效地模拟这对（t- ■vt，X（t））。特别是，我们感兴趣的是生成（t）的算法- ■vt，X（t））具有独立于t的计算复杂性。为了实现这一目标，可以方便地使用（t）的分布等价表示- ■vt，X（t））。为了这个目的，莱蒂？（r） =eY（t）-eY（t）- r） 是Ey的时间反转（时间从时间t反转）。我们现在表示t- 按时间反转Y？计算vt和X（t）？。注意x（t）=sup0≤s≤泰？（s） ，如果有，0≤s≤泰？（s）≥ x+Y？（t） x+Y？（t） ，如果有，0≤s≤泰？（s） <x+Y？（t） 。（2.3）至于∧vt，它是（在{fM（0，t）事件中）≥ x} ）r的最大值∈ [0，t]其中（r）=inf0≤s≤雷伊（s）。因为vt是这样的最大值，并且y是连续的，所以eY（v）>inf0≤s≤泰（s）。为了v∈ [vt，t]。

因此，vtey=0≤s≤泰（s）。因为eY（·）在[0，t]上有一个唯一的极小值，~vt=arg min（eY（s）：0≤ s≤ t） 。那么v是什么呢？t=t- 在哪里？t=arg maxY（s） ：0≤ s≤ T.我们的结论是- ■vt=五、tif sup0≤s≤泰？（s）≥ x+Y？（t）∞ 其他的（2.4）因此，随机向量（t- ■vt，X（t））由五、t、 sup0≤s≤泰？（s） Y？（t）.最后，请注意（Y？（s）：s≥ 0）与过程y（s）=Zsu（r）dr+Zsσ（r）dB（r）具有相同的规律，其中u（r），u（t- r） σ（r）=σ（t- r） 对于r≥ 因此，本节的其余部分与生成三元组（vt，M（t），Y（t））（D=（v？t，sup0）有关≤s≤泰？（s） Y？（t） ）），其中m（t）=max0≤s≤tY（s）（2.5）vt=arg max（Y（s）：0≤ s≤ t） ，and d=表示分布均匀。假设漂移函数和波动函数是周期性的。在不丧失普遍性的情况下，我们假定周期为一。在此周期设置中，u（·）=u（n+b-·) σ（·）=σ（n+b）-·)与n无关∈ Z+代表0≤ B≤ 1，我们上面的论点证明了（n+b- 根据（vn+b，M（n+b），Y（n+b））的联合分布可以确定vn+b，X（n+b））。此外，如果zu（s）ds<0，（2.6）那么Y（t）→ -∞ a、 s.as t→ ∞, 存在有限价值的rev的vb∞和Mb∞使（vt，M（t））→ （vb）∞, 兆字节∞)作为t→ ∞. 此外，X（n+b）=> 兆字节∞作为n→ ∞. 因此，如果（vt，M（t），Y（t））能够以独立于t的复杂度生成，那么就可以得到一个能够生成（n+b）的算法- 复杂度与n无关的vn+b，X（n+b））。

此外，如果Mb∞可以进行采样，这将转换为（X（n+b）：n平衡的精确采样算法≥ 0).这自然会导致本章要解决的关键问题的以下重新表述：在适当的假设下，提供生成M的算法(∞) 在有限的预期时间内，生成（vt，M（t），Y（t）），其复杂性与t无关。对于μ（·）和σ（·）的非周期性规范，Y（t）→ -∞ 作为t→ ∞ a、 在美国，我们可以将上述问题的解决方案视为为为rv X（0）提供了一个精确的采样算法，假设UmingX当时已初始化-∞ 并根据漂移进行演变(-r） 波动率σ(-r） 弗尔∈ (-∞, 0]. 我们注意到Y（t）的一个充分条件→ ∞ a、 s.这是RTu（s）ds吗→ -∞,Rtσ（s）ds→ ∞, 和qrtσ（s）ds·log log（Rtσ（s）ds）Rtu（s）ds→ 0as t→ ∞. 这是根据B的重对数定律得出的ZtσdB（s）：t≥ 0D=BZtσ（s）ds: T≥ 0. （2.7）为了简化本文提示中的符号，我们将分别用u和σ表示u和σ。3我们在第2节中提出的第一个算法，我们在本文中的兴趣是有效地模拟三重态（vt，M（t），Y（t）），其中Y由Y（t）=Ztu（s）ds+Ztσ（s）dB（s）给出。（3.1）我们假设：假设3.1。函数u（s）和σ（s）是可区分的，对于t，σ（t）>0≥ 0.设置∧（t）=Ztσ（s）并设∧-1（·）是其函数的倒数。考虑到（2.7），Y与（Z∧（t））：t具有相同的定律≥ 其中z（t）=Ztγ（s）ds+B（t）（3.2）和γ（t），u（λ）-1（t））σ（λ）-1（t））。Setm（t），max0≤s≤tZ（s）ηt，arg max（Z（s）：0≤ s≤ t） 。因为（vt，M（t），Y（t））D=（λ）-1（η∧（t）），m（λ（t）），Z（λ（t）））（3.3）表示t≥ 0和（v）∞, M(∞))D=（λ）-1(η∞), m(∞)),因此，我们的问题归结为（ηt，m（t），Z（t））和（η）的研究∞, m(∞)). 我们现在进一步假设：假设3.2。

存在d>0和‘γ>0，使得ztsγ（u）du≤ D- （t）- s） ·0的γ≤ s≤ t、 假设3.2在（2.6）中的周期设置中明显简化。我们首先注意到ηtca可以在假设3.2下有界。观察ηt≤ η∞= arg max（Z（s）：s≥ 0)≤ sup{s≥ 0:Z（s）≥ Z（0）}=sup{s≥ 0:Zsγ（u）du+B（s）≥ 0} (3.4)≤ sup{s≥ 0:B（s）≥ γs- d} ，L.ButL=1/inf{r≥ 0:B（1/r）≥ γ/r- d} =1/inf{r≥ 0:rB（1/r）≥ γ - dr}D=1/inf{r≥ 0:B（r）+dr≥ γ}（3.5），1/H，自（rB（1/r）：r≥ 0）D=（B（r）：r≥ 0); 例如，见《卡拉扎斯和什里夫》（1991年，第104页）。我们得出结论，p（ηt）≥ u）≤ P（1/H）≥ u） =P（H）≤ 1/u）。鉴于H的逆高斯分布（见Karatzas和Shreve（1991）的第297页），我们得出了ηt概率的以下分析界。提议3.3。在假设3.1和3.2下，P（ηt≥ u）≤Z1/uγ2πx1/2exp-（dx）- γ）2xdx。这个界限可以直接用于帮助规划前面讨论的排队模拟。总的来说，我们预计这一界限会非常宽松，因此我们将通过在时间t将系统初始化为空状态来更好地估计u的近似值（对于X（t））- u） 通过模拟ηtitself。然而，高估值（3.4）和（3.5）也非常有助于模拟ηt。具体而言，η和m（t）由（Z（s）：0确定≤ s≤ 五十） 在t中是一致的，因此它们（η（t），m（t））的生成只涉及在有限的时间范围内模拟Z，与t无关。考虑到这种算法的第一步涉及生成L，（Z（s）：0≤ s≤ 五十） 必须以L为条件进行模拟。幸运的是，关于B，conditionalon L的分布，我们了解了很多。

以L（B（s）为条件≤ 0≤ s≤ 五十） 独立于（B（s）：s≥ 五十） ，（B（s）：0≤ s≤ 五十） D=√LB（s/L）+γs-sdL:0≤ s≤ L,和（B（L+s）：s≥ 0）D=（β（s）：s≥ 0），其中（B（s）：0≤ s≤ 1） 是一个布朗桥过程，并且（β（s）：s>0）有一个分布givenbyP（β（·）∈ A） =P（B（·）∈ A | B（t）≤ γt代表t≥ 0).详见Bass（2011）第161页。这些结果导致以下采样程序（ηt，m（t））：算法1：精确采样（ηt，m（t））1从逆高斯分布生成随机变量H，平均值为u=’γ/d，形状参数λ=’γ；设置L=1/H，y=L′γ- d、 2让r=min{L，t}，在B（L）=y的条件下绘制布朗桥B（r）的样本，并计算Z（r）。3在Z（r）的条件下，绘制（ηr，m（r））的样本；见第6节。注意，对于t≥ 五十、 我们有m（t）=m（L）和ηt=ηL。因此，该算法的运行时间不依赖于t。在下一节中，我们开发了一种更高效的算法，在该算法中，我们不需要在整个区间[0，L]上模拟Z来计算过程的最大值。4我们提出的第二种算法在本节中，我们提供了一种精确的采样方法来生成三元组（vt，M（t），Y（t）），其复杂度与t无关。特别是，该方法可用于生成（v∞, M(∞))通过指定t=∞. 如上所述，通过利用（3.3）中的时间变换∧（·），可以有效地生成（ηt，m（t），Z（t））的样本。该算法的核心思想是构造一个随机不相交区间（α，β）的有限序列，（αK，βK）使得Z的整体最大值出现在其中一个间隔上。假设我们可以生成一个样本路径Z，直到β，使得Z（β）大大低于m，即样本路径在[0，β]上的最大值。