最优投资组合中的状态约束微分对策

（26）用u（t）表示（26）的右边，这个二阶常微分方程的通解是f（t）=ce-κit+ceκit-4λκiZteκi（t-s） u（s）ds+4λκiZte-κi（t-s） u（s）ds，其中c-care常数和κi=pαiσ/2λ。显然，通过施加边界条件Y（0）=Y和Y（T）=0，可以唯一地确定这两个常数c和c。从现在开始，莱蒂*∈ Xdet（y，T）∩C[0，T]表示相应的解。现在我们将验证Y*确实是我们问题的最大化者。为了这个目的，让我来∈ Xdet（y，T）是任意的。首先使用（q，p）7的凹度→ Li（t，q，p | X）-i） 然后事实上*解欧拉-拉格朗日方程，我们得到li（t，Y）*（t） ，˙Y*（t） |X-i） )- Li（t，Y（t），˙Y（t）|X-（一）≥ 液体（t，Y）*（t） ，˙Y*（t） |X-i） ）（Y*（t）- Y（t））+Lip（t，Y*（t） ，˙Y*（t） |X-i） ）（Y*（t）-˙Y（t））=ddtLip（t，Y*（t） ，˙Y*（t） |X-（一）（Y）*（t）- Y（t））+Lip（t，Y*（t） ，˙Y*（t） |X-i） ）（Y*（t）-˙Y（t））=滴滴涕唇（t，Y）*（t） ，˙Y*（t） |X-i） （Y）*（t）- Y（t））.因此，ZTLi（t，Y*（t） ，˙Y*（t） |X-i） dt-ZTLi（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） dt≥ZTddt唇（t，Y）*（t） ，˙Y*（t） |X-i） （Y）*（t）- Y（t））dt=0，在最后一步中，我们使用了Y*（0）=Y（0）和Y*（T）=Y（T）。这证明了引理。定理2.2的证明。根据引理4.1，至多存在一个纳什均衡。现在我们将证明存在一个纳什均衡X*, . . . , 十、*确保每个策略*伊贝隆托克斯代特（xi，T）∩ C[0，T]。根据引理4.2，每个策略X*然后，i必须是二阶微分方程αiσXi（t）的解- 2λ¨Xi（t）=b（t）+γXj6=i˙X*j（t）+λXj6=i¨X*带边界条件的j（t）、（27）Xi（0）=xian（t）=0。（28）我们可以清楚地将n个微分方程（27）组合成向量X的n个耦合二阶线性微分方程组*:= （十）*, . . . , 十、*n） >。根据引理4.2，系统（27）、（28）的每个C-解都是纳什均衡。

因此，如果我们能证明n维两点边值问题（27），（28）的C-解的存在性，那么定理的断言就会成立。通过为导数˙X（t）引入辅助函数Y（t），让b（t）成为所有分量都等于b（t）的向量，并通过定义n×n矩阵A:=σdiag（α，…，αn），身份矩阵I=diag（1，…，1），以及所有条目都等于1的矩阵J，系统（27）可以重写如下：A.-γ（J）- 一） 0我X（t）Y（t）-0λ（J+I）i0˙X（t）˙Y（t）=b（t）. （29）显然，X是（27）的C-解当且仅当X˙X是（29）的C-解。特别是，带有边界条件（28）的（29）的everyC解产生了纳什均衡。现在考虑均匀系统（29），（28），b（t）=0，初始值x=·xn=0。相应的边界条件可以写成（X（0），Y（0），X（T），Y（T））>∈ 五、 （30）其中V R4nis是2n维线性空间v=（x，y，x，y）>∈ R4n | x=x=0.很明显XY=这是一个解决方案。事实上，这个平凡的解是唯一的解，因为每个解都必须是纳什均衡，而纳什均衡在引理4.1中是唯一的。因此，根据一般微分方程组线性边值问题的一般理论，两点边值问题（29），（30）对于每个连续的b:[0，T]都有唯一的C-解→ Rn（实际上对于每个连续的R2n值函数b（t）在（29）的右侧；见Kurzweil（1986，（9.22），第189页。利用这个事实，我们让XY当（29）中的b（t）被b（t）=（b（t），…）代替时，是（29），（30）的解，bn（t）forbi（t）=b（t）+t- tTαiσxi+γTXj6=ixj。然后检查一下*i（t）：=Xi（t）+t- tTxi，i=1，n、 解（27）、（28），因此是期望的纳什均衡。备注4.3。对于A:=σdiag（α。

，αn），单位矩阵I，和所有中心相等于1的矩阵J，letM：=0λ（J+I）i0-1.A.-γ（J）- 一） 0我.andf（t）：=-0λ（J+I）i0-1.b（t）.有了这个符号和Z（t）：=（X（t），Y（t））>，系统（29）现在可以写成˙Z（t）=mz（t）+f（t）。（31）注意J=nJ，因此（J+I）（I）-n+1J）=I=（I-n+1J）（J+I）。因此0λ（J+I）i0-1=0iλ（I）-n+1J）0,因此我=0iλ（A）-n+1JA）γλ（I）-n+1J）. （32）推论2.3的证明。让X*, . . . , 十、*nbe定理2.2中构造的均值-方差优化的唯一纳什均衡。当X*-i={X*, . . . , 十、*我-1，X*i+1，十、*n} 已确定，IThagentPerceivesx*-i（t）：=S（t）+γXj6=i（Xj（t）- Xj（0））+λXj6=i˙Xj（t），t∈ [0，T]，作为“未受影响”的价格过程。它的形式是*-i（t）=S+σW（t）+Ztbi（S）对于确定性和连续函数bi:[0，t]→ R.作为过程SX*-ihas独立增量和SX*-都是指数矩，也就是eβSX*-信息技术< ∞ 无论如何∈ R和t≥ 在Schied等人2010年提出的定理中∈X（xi，T）E[uαi（R（X | X-i） ）]=supX∈Xdet（xi，T）E[uαi（R（X | X-i） ）]。但对于αi>0和X∈ Xdet（xi，T）我们有[uαi（R（X | X-i） ）]=αi1.- E-αiE[R（X | X-i） ]+αivar（R（X | X-（一）,这表明，CARA效用最大化等价于相应均值-方差函数的最大化。αi=0的相应结果是明显的。推论2.4的证明。让∑（t）：=Pnj=1Xj（t）并重写（7）得到ασXi（t）+γ˙Xi（t）- λ¨Xi（t）=b（t）+γ˙∑（t）+λ¨∑（t），因此为（10）。然后求和意味着（9）。现在我们准备定理2.5的证明。引理4.4。对于α=··=αn=α>0，来自（32）的矩阵M有四个实特征值θ+，θ-, ρ+, ρ-由（12）给出。

有人检查（34）是否暗示-κi（t-s） 美国→ 0作为t↑ ∞. 因此，当lettingc:=4λκiZ∞E-κisu（s）ds（37）和c:=y- c、 我们可以看到相应的函数Y*答案（35）。接下来，通过（35）、（36）和（37），Y*（t） ，˙Y*（t） ，和–Y*（t） 是以下函数的线性组合：u（t），e-κit，中兴通讯-κi（t-s） u（s）ds，Z∞teκi（t-s） 美国。我们有中兴通讯-κi（t-s） | u（s）| ds dt=κiZT | u（s）| ds-κiZTe-κi（T-s） | u（s）| dsandZTZ∞teκi（t-s） |u（s）|ds dt=κiZ∞（eκi（s）∧T-（s）- 1） |u（s）|ds，由（34）收敛到T的有限极限↑ ∞. 因此，这就是R∞|˙Y*（t） |+|¨Y*（t） |dt<∞.同样地，我们得到了∞|Y*（t） |dt<∞. 加上事实证明*是连续的，并且趋向于零↑ ∞, 我们得到了∞（Y）*（t） ）dt<∞ 而反过来又是Y*∈ Xdet（y，∞) ∩ C[0，∞). y的最优性*下面是引理4.2证明的第二部分。定理3.1的证明。第一个结果表明，正如引理4.1所示，均值-方差优化最多可以有一个纳什均衡。此外，如推论2.3的证明所示，均值-方差优化的纳什均衡也是CARA效用最大化的纳什均衡。现在，我们来证明给定初值x的纳什均衡的存在性，xn∈ R.设M为备注4.3中定义的2n×2n矩阵。正如引理4.4的证明中所观察到的，具有特征值τ的M的任何特征向量必须为vτv对一些人来说∈ 注册护士。我们将在下面展示，在这两种情况下，（a）和（b），都存在一个基础v，n n和数τ，τn<0（不一定不同），因此vτv, . . . ,vnτnvn是M的特征向量。假设这个事实是给定的，让c，cn∈ R应使cv+··+cnvn=（x，…，xn）>和definez（0）：=cvτv+ ··· + cnvnτnvnZ（t）：=etMZ（0）。我们用X表示*（t） Z（t）的前n个分量。

如定理2.2和备注4.3的证明所示，X*（t） 将求解耦合的Euler–Lagrange方程组（27），该方程组由Emma 4.6提供，在有限的视界环境下，只要组件响应容许策略并满足引理4.6的可积条件，就足以实现最优。但是X的每个组成部分*（t） 通过构造递减指数函数seτt，…，的线性组合，eτnt，所以这些条件显然是满足的。现在，我们考虑情况（a）。那么θ-和ρ-（12）中的定义是严格否定的，因此v，VNMA遵循引理4.4。从证明的前一部分可以看出，X的每个分量*（t） 可以写成asX*i（t）=ci（θ）-)eθ-t+c（ρ）-)eρ-t、 再次∑（t）：=Pnj=1X*j（t）和定理2.5的证明一样，首先得出∑（t）=Pni=1xieρ-然后是C（ρ-) =nnXj=1xjand ci（θ）-) = 十一- c（ρ）-).这建立了（22），并在假设（a）下完成了定理3.1的证明。现在我们转向案例（b）。我们可以假定σ=1，但不失一般性。当n=2时，系统（31）矩阵M的特征多项式为χ（τ）：=τ-2γ3λτ-γ+ 2λ(α+ α)3λτ+αα3λ.它的导数χ有三个不同的根，t，t+，t-, 由t=0，t±=3γ±p33γ+48（α+α）λ12λ给出。首先注意，这是一个严格正的局部最大值，因为χ（t）=αα3λ>0，χ（t）=-2αλ + 2αλ + γ3λ< 0.接下来，t+>0，t-< 0和χ（t-) =864λ- 96λα- αα+ α- 168γλ(α+ α) - 69γλ+16γλ（α+α）p48λ（α+α）+33γλ+11γp48λ（α+α）+33γλ.如果我们能证明χ（t-) < 那么根据中值定理，χ将精确地有两个不同的严格负根。然而，通过直接检查我们前面的公式不容易确定χ（t-) < 0

但是，我们已经知道，对于α=α，矩阵xm正好有两个严格负（尽管不一定是不同的）特征值ρ-θ-. 所以在这种情况下，两个特征值都必须是严格负的χ根。我们还知道χ（0）>0，limτ↓-∞χ(τ) = +∞, 而那不是-是χ的唯一严格负临界点。因此我们必须有χ（t）-) ≤ 当α=α时为0。现在假设α6=α，让α：=（α+α）。然后α+α=α+α和α- αα+ α- α=(α- α） 因此，χ（t-) < χ（t）-), 其中χ表示M的特征多项式，当α和α都被α取代时。作为t的公式-在这个替换下是不变的，我们必须有χ（t-) ≤ 根据前面所说的，我们得出χ（t）-) < 从上一段可以看出，M有两个截然不同的严格负特征值τ和τ。因此，存在相应的形式特征向量vτv和vτv. 但是，我们仍然需要排除vand vare线性依赖的可能性来完成证明。为此，请注意，从（32）可以看出，我们必须有λA.-n+1JAw+τγλ我-n+1Jw=τw（38）表示wτw是M的特征向量，特征值为τ。首先假设w的分量wand wof w加起来不等于零：w+w6=0。然后，取向量方程（38）的内积得到方程αw+αw- τ（τw+w）=γw+λ。τ中的二次方程有两个可能的根τ±=-γ±qγ+12λαw+αww+w6λ，其中一个必须等于τ。Asτ-< 0<τ+由此得出我们τw对于与τ不同且符号与τ相同的任何eτ，不能是mf的特征向量。现在让我们考虑一下w=-w、 取方程（38）的内积与向量-1.使用要求w，w6=0得到方程α+α+2τγ=2τλ，它独立于wand w。它有根γ±pγ+4λ（α+α）2λ，它们又有不同的符号。

因此，我们的结论与w+w6=0的情况相同。推论3.3的证明。由（22）可知X*i（t）的符号与ρ相同-- θ-=γ2λ-2nn+1+p1+ξ-RN- 1n+1+ξn+1,式中ξ=4ασλ/γ。右边是ξ的严格递增函数，当ξ=8时，右边为零。参考Almgren，R.（2003），“具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行”，应用数学金融10，1-18。Almgren，R.和Chriss，N.（2000），“投资组合交易的最佳执行”，风险杂志3，5-39。Bertsimas，D.和Lo，A.（1998），“执行成本的最佳控制”，金融市场杂志1，1-50。Brunnermeier，M.K.和Pedersen，L.H.（2005），《掠夺性交易》，金融杂志60（4），1825-1863年。Carlin，B.I.，Lobo，M.S.和Viswanathan，S.（2007），《偶发性流动性危机：合作和掠夺性交易》，金融杂志652235-2274。Carmona，R.A.和Yang，J.（2011），《掠夺性交易：关于波动性和流动性的游戏》，预印本。网址：http://www.princeton.edu/rcarmona/download/fe/PredatoryTradingGameQF。Pdfecchi，M.，Marini，M.和Zezza，P.L.（1980），“非紧区间上常微分方程组的线性边值问题”，Ann。小地毯Pura应用程序。(4) 123, 267?285.Gathereal，J.和Schied，A.（2013），《市场影响的动态模型和订单执行算法》，载于J.-P.Fouque和J.Langsam主编，《系统风险手册》，剑桥大学出版社，第579-602页。Kurzweil，J.（1986），《普通微分方程》，应用力学研究第13卷，爱思唯尔科学出版社，阿姆斯特丹。《实域中普通微分方程理论导论》，由Michal Basch翻译自捷克语。Lachapelle，A.，Lasry，J.-M.，Lehalle，C.-A.&Lions，P.-L。

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