最优投资组合中的状态约束微分对策

比较X的策略很有趣*正如阿尔姆格伦（Almgren，2003）所观察到的那样，我采用的是单一代理商的最优策略，而不是竞争对手*（t） =xsinh（κ（t- t） sinh（κt），其中xis为初始资产头寸，κ=pασ/2λ。这个公式也可以通过在（15）中取n=1得到。研究策略X的行为*, 十、*, 十、*, 我们需要以下基本事实，其证据留给读者。对于0<ν<1，函数x7-→sinh（νx）sinh（x）在[0]上严格递减，∞). （19） 从这个事实出发，X*（t） 是ασ的严格递减函数，如果x>0和0<t<t。从经济角度来说，这意味着当感知到的波动性风险增加时，代理人将更快地清算初始资产头寸，因为var（R（X*)) 根据下面的（23）和（24）与ασ成正比。所以第一个猜测是均衡策略X*当x>0时，也应该是ασ的递增函数。Lebedevaet等人（2012年）对大型内部人士执行区块的大型数据集进行了实证分析和测试。然而，在我们的均衡模型中，应用（19）到（16）得到的只是以下部分结果。提议2.8。如果x≥ 十、≥ 0，然后是X*（t） 是0<t<t的ασ的严格递减函数。事实上，ασ的单调性可能会在条件x的两人纳什均衡中被打破≥ x和x≥ 命题2.8中的0并不都令人满意；参见图1和图2。图3给出了单调性失效的直观解释。接下来，X*（t） 与γ无关，而两人均衡策略都是γ的非平凡函数。

这种依赖性的直观原因是，一个代理的清算策略产生的永久价格影响被另一个代理视为额外的价格趋势。此外，X*（t） 是λ乘以（19）的递增函数。λ中的单调性具有明确的经济直觉，即增加临时价格影响的交易成本会降低早期清算的收益，从而推动最优策略向线性清算策略转变，在风险中性情况下，线性清算策略在α=0时是最优的。Lebedeva等人（2012）对清算策略作为λ函数的单调性进行了实证检验和分析。在我们的平衡模型中，X的单调依赖性*（t） 通过应用（19）到（16）可以得到关于γ和λ，但只有当x=x时，我们才能得到以下结果。提议2.9。如果x=x≥ 0然后X*（t） =X*（t） 是γ的严格递减函数，对于0<t<t，是λ的严格递增函数。如图4和图5所示，如果命题2.9中的条件X=X不满足，则对γ或λ的单调依赖性可能会失效。对这些影响的直观解释类似于对ασ单调性失效的一种解释。例如，当λ在纳什均衡中增加且0<x时 x、 这两个代理都受到了降低策略弯曲度的激励，即在交易区间的第一部分以较慢的速度卖出，在第二部分以较快的速度卖出。因此，代理人2在[0，T]的第一部分产生的价格影响较小，在第二部分产生的价格影响较大。在均衡状态下，一个交易者产生的这种价格影响变化也为另一个交易者创造了第二种竞争激励，即在[0，T]的第一部分增加交易速度，并在第二部分竞争对手产生的不利价格影响增加时降低交易速度。

当代理1的位置小于代理2的位置时，第二个激励可以在数量上主导第一个激励，从而触发X的减少*（1） 在图4中观察到λ<0.05.0.51.01.52.02.53.00.3100.3150.3200.3250.3300.335图1:X*（1） 作为x=1.12、x=2.06、T=2和λ=γ=1的ασ的函数-0.020-0.015-0.010-0.0050.0050.010图2:X*（1） 作为x=0.7的ασ的函数，x=-图3：平衡策略X*i（t）（稳定）和交易利率˙X*i（t）（虚线）表示i=1（黑色）和i=2（灰色）作为t的函数∈ [0，T]表示ασ=0（左），ασ=0.8（中），ασ=3（右）；其余参数如图1所示。当ασ从0增加到0.8时，代理人2的波动风险增加相对较高，因此在[0，T]的上半年加快清算速度，而在下半年放缓。代理人1的波动性风险也会增加，但其增加幅度小于代理人2，并且只会导致清算速度的小幅度初始增加-˙X*（t） 。另一方面，由于代理人2的临时影响而增加的价格压力导致代理人1在[0，T]的上半年出现不利的资产价格，而后者的影响可能在一定程度上超过增加的波动风险。因此，对于代理商1来说，延迟时间间隔[0，T]的中心部分的销售是有益的，并通过加快接近终点的策略进行补偿。

这种影响导致中间资产头寸X的增加*（1） 如图1所示。当ασ进一步增加时，波动性风险的增加占主导地位，因此X*（1） 开始再次下降。0.10.20.30.40.50.6-0.10-0.050.050.10图4:X*（1） 作为λ的函数，x=0.2，x=4，T=2，ασ=1，γ=0.3.0.51.01.52.02.53.00.3380.3400.3420.3440.346图5:x*（1） 作为x=0.86、x=0.28、T=2、ασ=1和λ=1.3纳什均衡在有限时间范围内的函数，我们考虑有限时间范围内的均值-方差优化和CARA效用最大化[0，∞). 从财务上讲，这个问题对应的情况是，没有一个代理面临实质性的时间限制。为了简化讨论，我们从一开始就假设漂移b（·）完全消失。然后，未受影响的价格过程由t的S（t）=S+σW（t）给出≥ 这里，我们需要假设σ6=0。如果只有一个代理是活跃的，那么我们就处于Schied&Sch¨oneborn（2009）的情况，其中讨论了在有限的时间范围内最大化收入的预期效用的问题。正如这里所讨论的，一个策略（X（t））t≥0应满足以下可接受条件，以便为单个代理明确效用最大化问题：oX适用于过滤（Ft）t≥0;o X是绝对连续的，在这个意义上X（t）=X（0）+Rt˙X（s）ds对于某些渐进可测量过程（˙X（t））t≥0为什么∞（˙X（t））dt<∞ P-a.s。；（20） oX有界且满足Hz∞X（t）dti<∞ 和极限↑∞（X（t））t log t=0 P-a.s.（21）在这个意义上是可容许的，并且对于给定的X满足X（0）=X的所有策略的类别∈ R将被X（X，∞). 和前面一样，我们用Xdet（x，∞) 所有确定性策略的子类在X（X，∞).

当使用容许策略X时，受影响的价格过程为X（t）=S（t）+γ（X（t）- X（0））+λ˙X（t）。Schied&Sch¨oneborn（2009年，第3.1节）显示，X∈ X（X，∞) areP-a.s.被定义为限制器（X）：=- 极限↑∞ZT˙X（t）SX（t）dt=xS-γx+σZ∞X（t）dW（t）-λZ∞（˙X（t））dt（另见下面的引理4.5）。此外，对于（5）中的α>0和uα，唯一的策略是在X上最大化期望效用E[uα（R（X））]∈ X（X，∞) 是byX给的*（t） =x exp- trασ2λ, T≥ 0;参见Schied&Sch¨oneborn（2009）中的推论4.4。因为R（X）是X的高斯随机变量∈Xdet（x，∞), 我们可以看到e[uα（R（X））]=a1.- E-αE[R（X）]+αvar（R（X））, 十、∈ Xdet（x，∞),所以X*也使均值-方差函数E[R（X）]-X上的αvar（R（X））∈ Xdet（x，∞).当n个投资者采用可接受的策略X，X，Xn，受影响的价格SX，。。。，Xn（t）是（6）给出的增益，如有限时间范围的情况。从下面引理4.5可知，X，X，…，的可容许性，XNguarante表示，P-a.s.存在以下限制：R（Xi | X-i） ：=- 极限↑∞ZT˙Xi（t）SX，。。。，Xn（t）dt。均值-方差优化和CARA效用最大化的纳什均衡现在可以通过取T=∞ 定义2.1。这是我们关于纳什均衡存在唯一性的结果。定理3.1。假设以下两个条件之一成立：（a）n∈ N是任意的，α=··=αN=α>0；（b） n=2，α和α是不同的且严格正的。那么，对于所有的x，xn∈ R、 存在唯一的纳什均衡（X*, . . . , 十、*n） 对于有限时间范围内的平均方差优化。此外*, . . .

十、*n） 也是有限时间范围内效用最大化的纳什均衡。在案例（a）中，byX给出了最优策略*i（t）=（xi）- xn）eθ-t+xneρ-t、 （22）其中xn=nPnj=1xjandρ-θ-如（12）所示。在情况（b）中，四阶方程τ-2γ3λτ-γ+2λσ（α+α）3λτ+σα3λ=0在(-∞, 0），以及平衡策略X*（t） 还有X*（t） 是指数函数eτ和eτt的线性组合。一方面，有限时间范围内的平衡策略结构似乎比有限时间情况下的更简单。另一方面，定理3.1的假设比定理2.2的假设更具限制性。需要更严格的假设，因为所有的解X（t），系统（7）的Xn（t）是指数函数的线性组合，我们只能取±∞ 0代表t↑ ∞. 我们必须挑出那些限制为0的。为此，我们不能将标准结果应用于非紧区间边值问题解的存在性，如Cecchi et al.（1980）中的结果，其中要求t=∞ 包括整个空间。相反，我们在这里证明了与某个非对称矩阵M的负特征值相关的特征空间是非常丰富的。对于n>2，我们只能在α=···=αn时理解这些特征空间。在定理3.1第（a）部分的情况下，考虑相应的纳什均衡mx（T），对于定理2.5中构造的有限时间间隔[0，T]。然后，我们从（13）和（14）中得出结论↑∞X（T）i（T）=X*i（t），对于i=1，n和t≥ 0，其中X*如（22）所示。最后，让我们在定理3.1的（a）部分讨论纳什均衡的一些定性性质。卡林等人。

（2007）和Sch¨oneborn&Schied（2009）研究，除其他事项外，如果代理1清算大量股票都没有初始资本（即，对于I6=1，xi=0），是否会导致其他代理进行掠夺性交易或提供流动性。在这里，掠夺性交易指的是一种策略，在该策略中，资产以最初的高价缩短，然后在代理1的出售策略使资产价格贬值后回购。这种策略是“掠夺性”的，因为它为代理i创造的收入是以代理1为代价的。Liquidity Provision指的是完全相反的策略：代理人i通过首先购买，然后再出售代理人1正在清算的部分股票来获得多头头寸。因此，这可以被视为代表代理人i的合作行为。卡林等人（2007年）和肖尼伯恩与希德（2009年）都认为风险中性代理人需要在最后时间平仓。在Carlin et al.（2007）中，所有代理都面临同一时间约束。在这种情况下，只有通过重复游戏来实施合作，才能观察到流动性供应。Sch¨oneborn&Schied（2009）承认i=2，对于代理人1，他发现这种放松可以为某些参数值提供流动性，而无需重复游戏。我们相应的结果是下面的推论3.3。它指出，在有限的时间范围内，掠夺性交易和流动性提供都可能发生，这取决于模型的参数；另请参见图6中的说明。与备注3.2一起，推论3.3意味着如果所有代理共享同一时间范围，也可以提供流动性，前提是T足够大。这一事实与Carlin等人（2007年）考虑的风险中性情况α=0明显不同。推论3.3。

在定理3.1第（a）部分的情况下，假设Pni=1xi>0。然后，xi=0的代理人参与流动性提供，即X*i（t）>0，当且仅当ασλ>2γ。当ασλ<2γ时，该代理参与掠夺性交易，而对于ασλ=2γ，该代理根本不交易。最后，我们简要地讨论了均衡策略的行为与活跃在市场中的试剂数量的函数关系。Lebedeva等人（2012年）讨论了以下两个假设，并分析了其对大型内部人执行区块的大型数据集的有效性：假设1：“如果多个内部人竞争利用相同的长期信息，交易持续时间会缩短。”假设2：“如果几个内部人出于流动性原因同时在同一方向进行交易，交易持续时间会增加。”在定理3.1第（a）部分的情况下，有效贸易持续时间可以在n中增加或减少，甚至完全没有单调性；参见图7。在这里，有效交易持续时间定义为初始库存的某个较高百分比被清算之前的时间。因此，Lebedeva等人（2012年）的两种假说都与阿尔姆格伦-克里斯环境中的风险规避因子相容。n=2n=10n=20n=30n=40-0.0015-0.0010-0.0005n=2n=10n=20n=30n=400.00020.00040.00060.00080.00100.00120.0014图6：策略X*i（t）对于λ=0.15（左）和λ=0.16（右），对于n和forxi=0、Pnj=1xj=1、γ=0.16和ασ=0.33.4的各种选择。1有限时间范围的证明∈ 给出X（xi，T）并写出X-i:={X，…，Xi-1，Xi+1，Xn}fori=1，N

为了你∈ X（y，T），我们首先注意到，通过部分积分后，R（y | X-i） =yS-γy+ZTY（t）b（t）+γXj6=i˙Xj（t）dt- λnXj6=iZT˙Y（t）˙Xj（t）dt- λZT˙Y（t）dt+σZTY（t）dW（t）。图7:X的有效清算时间*, 定义为初始库存X的99%被清算之前的时间，绘制为n的函数∈ {1, . . . , 40}. 在左图中，我们看到n的单调性可以通过γ的一个很小的变化来逆转；我们用x=1，Pni=1xi=3.5，λ=0.15，ασ=0.33取γ=0.155（圆圈）和γ=0.16（子弹）。在右边的面板中，我们观察到有效清算时间在n中不必是单调的；这里我们选择了x=5，Pni=1xi=10，λ=2，γ=0.1，ασ=0.33。当所有的xind Y都是确定性的时，e[R（Y | X-i） ]-αivar（R（Y | X-i） ）=c+ZTLi（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） dt，（23）式中c=yS-γ和拉格朗日方程由i（t，q，p | X）给出-i） =qb（t）+γXj6=i˙Xj（t）-αiσq- λpXj6=i˙Xj（t）+p. （24）引理4.1。在定理2.2的背景下，均值方差优化至多存在一个纳什均衡。证据我们通过矛盾的方式假设X，X和X，Xki的两个不同纳什均衡∈ X（xi，T）表示i=1，n和k=0，1。对于β∈ [0,1]，设Xβi:=βXi+（1）-β） xind def（β）：=nXi=1ZTLi（t，Xβi（t），˙Xβi（t）|X-i） +Li（t，X1）-βi（t），˙X1-βi（t）|X-（一）dt。根据假设，策略XKI使功能Y 7最大化→RTLi（t，Y（t），˙Y（t）|Xk-i） 对于k=0，1，类Xdet（xi，T）中的dt。因此我们必须有f（β）≤ f（0）表示β>0，这意味着ddββ=0+f（β）≤ 0

（25）另一方面，由于我们对可容许策略的假设以及拉格朗日函数的线性二次型，通过互换微分和积分（这是允许的），一个简短的计算表明ddββ=0+f（β）=nXi=1ZTγ（Xi（t）- Xi（t））nXj=1（˙Xj（t）-˙Xj（t））- γ（Xi（t）- Xi（t））（˙Xi（t）-˙Xi（t））+αiσ（Xi（t）- Xi（t））+λ（˙Xi（t）-˙Xi（t））nXj=1（˙Xj（t）-˙Xj（t））+λ（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt。接下来我们注意到zt（Xi（t）- Xi（t））（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt=（Xi（t）- Xi（T））-（Xi（0）- Xi（0））=0。此外，根据同样的论点，ZT（Xi（t）- Xi（t））（˙Xj（t）-˙Xj（t））dt=-ZT（Xj（t）- Xj（t））（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt和hencenXi=1nXj=1ZT（Xi（t）- Xi（t））（˙Xj（t）-˙Xj（t））dt=0。接下来就是ddββ=0+f（β）=ZTαiσnXi=1（Xi（t）- Xi（t））+λnXi=1（˙Xi（t）-˙Xi（t））+λnXi=1（˙Xi（t）-˙Xi（t））dt是严格正的，因为两个纳什均衡X，X和X，Xnare与众不同。但严格的积极性与此相矛盾。引理4.2。对于i=1，n在函数7的Xdet（y，T）中至多存在一个最大化子→RTLi（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） dt。此外，如果X，Xn∈ C[0，T]，则存在唯一最大化子Y*∈ Xdet（y，T）∩C[0，T]，作为两点边值问题的唯一解给出αiσY（t）- 2λ¨Y（t）=b（t）+γPj6=i˙Xj（t）+λPj6=i¨Xj（t），Y（0）=Y，Y（t）=0。证据根据拉格朗日函数的严格凹性和集合Xdet（y，T）的凸性，Xdet（y，T）中最多可以有一个最大化子。现在，我们证明了在附加假设X下，最大化子的存在性，Xn∈ C[0，T]。在这个假设下，我们可以建立欧拉-拉格朗日方程Liq（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） =ddtLip（t，Y（t），˙Y（t）|X-i） 对于我们特定的拉格朗日函数，它变成：αiσY（t）- 2λ¨Y（t）=b（t）+γXj6=i˙Xj（t）+λXj6=i¨Xj（t）。