Hawkes过程的二阶统计特征及其应用

通过考虑地震相互激发的空间依赖性），我们计划考虑霍克斯过程相关的其他领域，如社交网络信息扩散、互联网活动或神经网络认知。作者感谢Franc,ois Alouges、St,ephane Gaifas、Marc Hoffmann、Patricia Reynaud Bouret、Mathieu Rosenbaum和Vincent Rivoirard的有益讨论。我们衷心感谢Risk基金会主席金融风险部、法国银行联合会主席变异市场部和QuantValley/Risk基金会主席：量化管理倡议的财务支持。本文使用的财务数据由QuantHouse EUROPE/ASIA公司提供，http://www.quanthouse.com.We同时感谢北加州地震数据中心（NCEDC）、北加州地震台网、美国地质调查局、加州大学伯克利分校门罗公园伯克利地震实验室。附录a关于Φ（t）中系统（18）解的唯一性，让我们证明，我们可以使用标准的维纳-霍普夫因式分解参数来证明方程（18）允许一个唯一解矩阵Φ（t），该矩阵的分量是Lcausal函数。为此，让我们假设Φ（t）是另一个因果解，并考虑矩阵：（t） =Φ（t）-■Φ（t）。我们想证明这一点（t） 等于所有t的0。让我们倒退（t）=（t） +  g（t）。（57）由于Φ（t）和)Φ（t）都满足（18），因此有：B（t）=0t>0，因此B（t）在陆地上是反因果的。

在拉普拉斯域中，（57）表示^B（z）=^（z） （I+^g（z））由于（14）和（11），我们有：^B（z）=^（z）I+^ψ（z）ΣI+^ψT(-z）Σ-1=^（z）I+^ψ（z）Σ我-^ΦT(-z）-1Σ-1因此^B（z）∑我-^ΦT(-z）=^（z）I+^ψ（z）∑（58），因为矩阵ψ（t）和（t） 是因果关系，在L中，最后一个方程的左手边在左半平面{z]中是解析的，R（z）≤ 0}. 另一方面，由于矩阵B（t）和Φ(- t） （Φ的拉普拉斯变换）(-t） 是^Φ吗(-z） 在陆地上反因果，最后一个等式的右边是在右半平面{z，R（z）≥ 0}.由于两边相等，它们实际上是在整个复平面上进行分析的（即，它们的元素是整函数）。让我们fix 0<β<1和i，j∈ [1，D]。我们选择z∈ C这样R（z） =-R∈ R-*. 那么对于任何因果函数f（t）∈ 五十、 一个人有^f（z）≤Z∞|f（t）| e-trdt=Zr-β| f（t）| e-trdt+Z∞R-β| f（t）| e-trdt≤锆-β| f（t）| dt+e-r1-β| | f||-→R→+∞既然两者都有（t） 和ψ（t）是因果关系，在L中，当R（z）→ -∞. 根据刘维尔定理，我们得出结论，它处处为零，因此t R，（t） =0。这就结束了（18）解唯一性的证明：命题3的附录B对于a fix t>0，从定义（21）可以得出：Gij（t，x）dtdx=E（λitdt | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）- ∧idtdx。（59）使用（20），我们得到gij（t，x）dx=（ui）- ∧i）dx+DXk=1Zφik（t）- s） E（fik（ξks）dNks | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）。（60）然后使用（3），得到（ui）- ∧i）=-∧kPDk=1Rdsφik（t- s） thusGij（t，x）dx=DXk=1Zφik（t- （s）E（fik（ξks）dNks | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）- ∧kdsdx. （61）将积分分成3部分：s=0，s>0和s<0，我们得到gij（t，x）=φij（t）fij（x）+A+（t，x）+A-（t） （62）式中+（t，x）dx=DXk=1Zs>0φik（t）-（s）E（dNks | dNj=1，ξj∈ [x，x+dx]）- ∧kdsdx=DXk=1Zs>0φik（t-s） Gkj（s，x）dx（63）andA-（t） =DXk=1Zs<0φik（t- （s）E（fik（ξks）dNks | dNj=1）- λkds.

（64）因为，对于s<0E（fik（ξks）dNks | dNj=1）=Zdzfik（z）P rob{ξks=z，dNks=1，dNj=1}P rob{dNj=1}=Zdzfik（z）P rob{ξks=z，dNks=1，dNj=1}∧zfik∧jzdik（z）pkGjk(-s、 z）+∧j.随后的-（t） =DXk=1∧k∧jZs<0φik（t- s） Zdzfik（z）pk（z）Gjk(-s、 z）（65）我们最终得到gij（t，x）=φij（t）fij（x）+DXk=1Zs>0φik（t）- s） Gkj（s，x）+DXk=1∧k∧jZs<0φik（t- s） Zdzfik（z）pk（z）Gjk(-s、 z）（66）这证明了命题3。附录C命题5的证明命题5的证明遵循了密度核估计或回归研究中非常经典的路径。首先，g的方差*（t） 可以被限制为ar（g*（t） )≤李RXk=1ZtmaxdNiu（k）Ku- tj（k）- th！！(67)≤李ZtmaxdNiuKu- tj- th！！. （68）使用NtV ar（g）增量的平稳性*（t） )≤李ZtmaxdNiuKU- th| dNj=1！(69)≤RhZu∈]0，tmax]Zv∈ ]0，tmax]E（dNiudNiv | dNj=1）KU- thK五、- th. （70）简单的计算（示例见[21]）表明，E（dNiudNiv | dNj=1）可以分解为ψij（u）δ（u）之和- v） +b（u，v）dudv，其中δ（.）是狄拉克分布，b（u，v）是ψ的多项式，取不同的点。让我们考虑一下，所有的φij（t）都有一个常数φ的界∞. 然后，如果F（t）是一个具有正元素的矩阵函数，我们可以很容易地检查矩阵Φ的每个元素 F（t）以φ为界∞1 | | F | |式中，1是元素均等于1的矩阵，| | F | |由F（t）元素的形式构成的矩阵。然后应用这个结果toF（t）=P+∞k=0Φ(*k） （t）和ψ（t）=Φ F（t）表明ψ（t）的每个元素都以：ψ为界∞= φ∞1（I）- ||Φ ||)-1<Cφ∞1.- ρ（71），其中C为常数，ρ为I的谱半径- ||Φ||.

因此，由于（H）应保持不变（即ρ<1），当nh较小时，（70）中的主导项为形式RhZu∈]0，tmax]Zv∈ ]0，tmax]ψij（u）δ（u）- v） KU- thK五、- th≤ψ∞RhZu∈]0，tmax]KU- th,因此，对于足够小的h，存在一个常数C，例如V ar（g*（t） )≤CRh（72）对于偏差，计算也是标准的：b（t）=E（g*（t） )- gij（t）- ∧i=hEZtmaxdNiu（k）Ku- tj（k）- th！！- gij（t）- ∧i（73）=hZtmaxE（dNiu | dNj=0）KU- th- gij（t）- ∧i（74）=hZtmaxE（dNiu | dNj=0）KU- th- gij（t）- ∧i（75）=ZtmaxE（dNit+uh | dNj=0）K（u）- gij（t）- ∧i（76）=Ztmax（E（dNit+uh | dNj=0）- E（dNit | dNj=0）du）K（u）（77）=Ztmax（gij（t+uh）- 如果E的密度（dNit | dNj=0）是H¨olderβ，如果核K的阶数为l=β - , 对于所有的小>0（即，l是小于β的最大整数）- ）然后，存在一个常数c，如| b（t）|≤ Chβ（79）这个命题直接由等式（72）和（79）得出。参考文献[1]E.Bacry和J.Muzy，“价格和交易高频动态的霍克斯模型”，ArXiv E-prints，2013年。[2] A.霍克斯，“一些自激和相互激点过程的光谱”，生物计量学，第58卷，第83-90页，1971年4月。[3] -，“一些相互激励的点过程的点谱”，皇家统计学会杂志。B辑（方法学），第33-3卷，第438-443页，1971年4月。[4] Y.Ogata，“通过点过程建模进行地震活动性分析：综述”，《纯粹和应用地球物理学》，第155卷，第2-4期，第471-507页，1999年8月。[在线]。可供选择：http://www.springerlink.com/content/wqg0lxg6bmumaxmq/[5] A.Helmstetter和D.Sornette，“地震余震流行病模型中的亚临界和超临界状态”，《地球物理研究杂志》，第107卷，第B10期，第2237页，2002年。[6] L.Bauwens和N.Hautsch，使用点过程对金融高频数据进行建模。，爵士。在T.Mikosch，J-P。

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