Hawkes过程的二阶统计特征及其应用

具有平稳增量的多维霍克斯过程由其一阶统计量（即强度λ（t）的期望）和二阶统计量（由其相关函数（5）或条件期望（13）给出）唯一定义。事实上，这是定理1的直接结果，该定理证明了二阶统计量充分刻画了核矩阵Φ（t）；（3）的特征，该定理允许将μ表示为| |Φ| |和一阶统计量∧的函数。三、 多维标记霍克斯过程的非参数估计：框架和主要原则正如我们将在本节末尾看到的，上一节的结果自然会导致多维霍克斯过程的非参数估计方法。实际上，我们将在一个比上面介绍的更一般的框架中开发我们的估计框架，这个框架在应用中非常有用：多维markedHawkes过程框架。A.标记的霍克斯工艺框架使用与第II-A节相同的符号，每个部件NITI现在与可观察的iid标记ξ关联。ξ仅在跳跃时为非零。在下文中，我们注意到pi（x）随机变量ξ定律的密度有条件地符合事实。然后我们用新的方程替换（1）我∈ [1，D]，λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） φij（t）- s） fij（ξjs）dNjs，（20）其中过去观察到的标记ξjs通过未观察到的标记（正）函数fij（x）影响电流强度λit。由于fij（x）仅通过乘积φij（t）fij（ξj）参与，因此它被定义为一个乘法因子。

我们通过选择E（fij（ξj））=1的fij来确定这个系数。与未标记的情况一样，很容易证明，在条件（H）下，可以认为n是平稳增量，而（3）仍然成立。我们现在定义函数gij（t，x）asGij（t，x）dtdx=E（dNit | dNj=1和ξj，代替未标记霍克斯过程的函数gij（t）（见（7））∈ [x，x+dx]）- ijδ（t）dx- ∧idtdx。（21）让我们注意到gij（t）=RGij（t，x）pi（x）dx。在附录B中，我们证明GIJS是一个积分方程系统，如以下命题所述：命题3。让我∈ [1，D]固定。核{φij（t）}1≤J≤第III-A节中定义的标记霍克斯过程满足以下积分方程组：J∈ [1，D]，t>0，x、 Gij（t，x）=φij（t）fij（t）+DXk=1φik 其中Kij kx（t）=Gkj（t，x）1R+（t）+∧k∧jZdzfik（z）pk（z）Gjk(-t、 z）1R-（t） 。（23）B.Wiener-Hopf方程在分段常数fijmark函数的情况下，在非参数估计框架中，系统（22）的未知量是核φij和标记函数fij。在无标记霍克斯过程的情况下，我们已经证明（见等式（18））这个系统是一个维纳-霍普夫系统。我们证明了解的唯一性，并且可以使用标准方法来求解它。这个系统（22）不再是一个让事情变得更加困难的温纳-霍普夫系统。在分段常数标记函数fij的特殊情况下（具有M个分段数），很容易证明过程N基本上对应于维度DM的非标记霍克斯过程：每个分量对应于与M个标记函数值之一相关的标记霍克斯过程的一个分量的跳跃。因此，很明显，系统（22）可以按照（18）类型的DM-Wiener-Hopf系统来编写。

这将是我们非参数估计程序的基础。备注：在继续之前，让我们指出，如果标记ξi仅通过有限数量的M值影响过程的强度，我们可以考虑更一般的框架，其中内核本身取决于标记，即。，我∈ [1，D]，λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） ■φij（t）- s、 ξjs）dNjs，（24）并且，遵循与上面相同的参数，估计所有核＠φij（，.）求解DM-Wiener-Hopf系统。这可以按照与下一节描述的算法完全相同的路线实现。为了简单起见，我们将在∧φij（t，ξ）=φij（t）fij（ξ）的情况下描述算法。我们认为，对于任何j，都存在一个区间数为{Ij（l）}1的R覆盖≤L≤mj，对于任意i和任意l，fij（x）限制为x∈ Ij（l）是一个常数函数，其值为fijl：十、∈ Ij（l），fij（x）=fijl。（25）由于标志ξij仅通过函数fij（ξij）参与过程构造，很明显函数x→ Gij（t，x）也是分段常数。因此我们注意到十、∈ Ij（l），Gij（t，x）=Gijl（t）。（26）同样，我们注意到Zij（l）pj（x）dx=pjl。（27）对于固定i和j，以及固定x∈ Ij（l），等式（22）和（23），然后重写t>0，Gijl（t）=φij（t）fijl（t）+DXk=1φikGkjl（t）1R+（t）+∧k∧jmkm=1fikmpkgjkm(-t） 1R-（t）（28）由于E（fik（ξik））=1，一个hasPMkm=1fikmpkm=1，那么，如果我们改变变量φikm（t）=fikmφik（t）（结果是pmkm=1pkmφikm（t）=φik（t）），我们得到t>0，Gijl（t）=φijl（t）+DXk=1MkXm=1φikmpkmGkjl（t）1R+（t）+∧k∧jpkmGjkm(-t） 1R-（t）（29）我们最终得到了维纳-霍普夫系统提案4。让我∈ [1，D]固定。

标记核{φijl（t）=fijlφij（t）}1≤J≤D、 一,≤L≤MJ满足以下维纳-霍普夫系统：t>0，Gijl（t）=φijl（t）+DXk=1MkXm=1Z+∞φikm（s）Kij kl（t）- s） ds，（30）其中kij kl（t）=pkmGkjl（t）1R+（t）+∧k∧jpkmGjkm(-t） 1R-（t） 。（31）Moroever，φik（t）=MkXm=1pkmφikm（t）（32）因此我们得到了D维Wiener-Hopf系统，其中M=PDj=1Mj。解的唯一性实际上是从A节的结果中推导出来的，在A节中我们证明了系统（18）解的唯一性。实际上，正如我们在上一节中所解释的，我们在这里考虑的有标记的霍克斯过程相当于维数DM的无标记霍克斯过程。让我们指出，在函数fijare是常数函数的情况下（因此等于1，因为E（fij（ξijt））=1），我们恢复系统（18）（对应于D维的D维纳-霍普夫系统）。实际上，在这种情况下，我们有gijl（t）=gij（t），φijl（t）=φij（t），pjl=1，对于所有的t<0，gij（t）=∧i∧jgij(-t） 。C.使用Nystr–om方法离散系统（22）求解维纳-霍普夫系统（30）是我们估计过程的主要原则。关于求解维纳-霍普夫方程的数值算法有大量文献[27]，[28]。Nystr–om方法是一种特别简单、效果特别好的算法[29]。它基本上包括用Q点求积法用离散和代替卷积（在时间上）。然后，对于每一个i，求解（30）个量，在求解一个线性QDM维标准线性系统时，只需将相应的QMD×QMD矩阵求逆即可。当然，为了得到核φij和常数fijl的完整估计，我们必须求解D个这样的系统（i的每个值对应一个）。

让我们指出，当在正交点上估计核时，使用正交公式，可以在任何网格上计算这些估计。如果我们假设内核由[0]支持，那么[1]得到t>0，Gijl（t）=φijl（t）+DXk=1MkXm=1ZAφikm（s）Kij-kl（t- s） ds。（33）然而，当使用Nystr–om方法，即使用求积方法计算积分时，必须小心，因为核Kij-kl（t）在t=0时通常是不连续的。处理对角线上奇异（非爆炸）的Wiener-Hopf内核的标准方法是用以下方式重写（33）：t>0，Gijl（t）=φikl（t）+DXk=1MkXm=1ZA（φikm（s）- φikm（t））Kij-kl（t- s） ds+φikm（t）ZAKij kl（t）- s） ds。（34）第一个积分中的项不再是不连续的（正交误差将小一阶），第二个项可以直接估计，直接估计Gijl（t）函数的原始函数，并使用公式ZAKIJ kl（t- s） ds=pkmZtGkjl（s）ds+∧k∧jZA-tGjkm（s）ds！。（35）D.非参数估计的主要步骤我们现在准备好介绍估计算法的主要步骤。我们请读者参阅第V-A节，以了解该算法的更详细描述。多维Hawkes过程的非参数估计的主要步骤是：o对于所有j∈ [1，D]，fix先验的mj区间{Ij（l）}1≤L≤标记函数fij（x）被视为常数的mj尽管如此，j∈ [1，D]和l∈ [1，M]，估计条件律函数Gijl（t）=Gijl（t，x∈ Ijl）如（21）所定义，用经验平均值代替预期。这些函数是密度度量，特别是它们是正的（cf（13）），尽管它们的和不等于1。使用经典的基于核的非参数估计技术来估计iid实现中随机变量的密度是非常自然的[30]。

这通常涉及一个带宽参数h，它对应于内核支持的大小。该井可在第IV-A节中开发。o使用Nystr–om方法求解Φ中的维纳-霍普夫系统（22），如第III-C节所述，使用Q高斯质点使用求积公式，可以在任意分辨率的网格上重新采样如此获得的Φ估计（在求积点处）。该方法主要涉及两个关键参数：带宽h和正交点的数量Q。下一节给出了如何定义这两个参数的一些见解。四、 带h和正交点数量Q的带宽选择本节的目的是给出控制前面介绍的估计程序误差的定性参数，并了解如何选择估计参数h（带宽）和Q（正交点数量）。这将通过数值模拟加以说明。为了简单起见，我们认为霍克斯过程没有标记。在有标记的霍克斯过程中，这些参数是完全相同的。误差主要有两个来源：（E）第一个来源于条件期望密度gij（t）（7）的估计。该误差基本上由可用数据量控制，即可用跳数J和带宽参数h的值。（E） 另一个来自维纳-霍普夫系统的反转（18）。这个误差基本上由正交点的数量Q控制。在误差分析中，很难考虑Wiener-Hopf系统的核是一个随机函数（即条件期望的经验估计）。在[20]中，这个问题已经在某种特定情况下得到了解决（见第六节）。

显然，为了深入理解估计器的性能，这个问题应该得到解决。然而，在一般情况下，这是一个非常困难的问题，至今仍未解决。A.条件期望密度估计-带宽（h）选择第III-D节中介绍的算法的主要步骤之一是估计（7）定义的函数gij（t），对于t>0（对于负t，可以使用公式gij）(-t） =gji（t）∧i∧-1j）。这些函数是密度度量，尤其是它们是正的（cf（13）），尽管它们的和不等于1。使用经典的基于核的非参数估计技术来估计IID实现中随机变量的密度是非常自然的[30]。设K（x）为l阶核函数，即RK（u）du=1，RK（u）du<+∞ 对于所有n，1，andRunK（u）du=0≤ N≤ l、 因为我们只想对t>0进行估计，所以可以方便地选择K（u）在R+中的支持。为了简单起见，我们认为我们有R iid实现{Nt（R）}1≤R≤区间[0，tmax]上的霍克斯过程，使得g[tmax+∞[ 0). 对于每个实现r，我们称tjn（r）为第j个组件Njt（r）的第n个跳跃时间。对于给定的带宽h>0，考虑以下gij（t）+∧ifort>0gij的估计器是很自然的*（t） =RhRXr=1ZtmaxdNiu（r）Ku- tj（r）- th！（36）在未标记的情况下，函数Gijl（t）为Gijl（t）=gij（t），t均方误差定义为：MSE（h）=E（E）=E（gij（t）- gij*（t） )= V ar（gij）*（t） ）+b（t），其中我们表示估计偏差b（t）=gij（t）- E（gij）*（t） ）。附录C证明了该误差的以下经典界：命题5（收敛速度）。如果gij（t）是H¨olderβ，如果核K是l阶的≥ β - , 然后是均方误差（MSE）满足度（h）≤ Ch2β+CRh。

（37）最小值为h*=C2βC2β+1R-2β+1，（38），其中一个得到通常的自适应非参数收敛速度mse（h*) = E（E）=OR-2β2β+1. （39）因此，例如，在φij（t）\'s为H¨1（即β=1）的特殊情况下，使用一个简单的0阶核（例如asK（u）=1[0,1]（u）），如果选择H*R阶-1/3，我们预计MSE为R级-2/3式中，R是霍克斯过程的iid实现数。让我们指出，在实践中，一个人往往有一个单一的认识。然后，我们可以在这种实现的不同跳跃上估计gij+iby平均值。更准确地说，我们将在时间间隔[0，tmax]上使用R个实现的（36）替换为在时间间隔[0，T]上使用单个实现的以下估计（用T>>tmax）：gij*（t） =JhJXn=1ZTdNiuKU- tjn- th, （40）其中J是实现的事件数。经过一段时间后，实现可以被认为是独立于它的开始。然后应该得到一个误差，其大小为of e=OJ-β2β+1, （41）对于β=1，它给出了J级的误差-1/3.这些结果如图1所示，其中我们计算了具有指数核（φ（t）=0.1e）的一维霍克斯模型中g（t）上的积分均方误差（MISE）-0.2t，u=0.05），对于不同的实现尺寸，J从8.10增加到10，增加系数为2。为了估计MISE，我们对每个参数进行了500次模型试验，并使用g（t）的解析表达式估计了MISE。从对数表示中可以看出，对于每个样本大小（J），小h区域的误差减小，正如等式（72）中所预期的，随着h的增加-1.对于较大的h值，可以清楚地观察到预期表现为h的偏差贡献。我们检查了最佳值（h*) 表现为大J灰* CJ-0.33.

在右面板图中，以对数刻度报告了最小MISE误差作为样本大小的函数。正如式（39）所预测的，我们得到一个指数接近2/3的幂律。使用交叉验证进行选择。从实用的角度来看，为了选择带宽h的最佳值*从时间间隔[0，T]上的单个实现（R=1），可以使用交叉验证方法。实际上，在MISE计算中，唯一依赖于h的项是：M（h）=EZtmaxgij*（t） dt- 2Ztmaxgij（t）gij*（t） dt（42）=EZtmaxgij*（t） dt+2∧iZtmaxgij*（t） dt- 2 EZtmaxgij*（t） dNi（t）| dNj=1我们认为gij（t）具有[0，tmax]中包含的支持，并且我们使用定义gij（t）=E（dNit | dNj=1）-∧idt。用经验平均值替换前一个方程期望值中的最后一项，结果是，以下对比度函数提供了M（h）：C（h）=Ztmax[gij的（无偏）估计量*（t） +2∧igij*（t） ]dt-JXtjkXtjk<til≤tmax+tjkgij*（直到- tjk）（43）注意，最小h*取决于i和j，但为了简单起见，我们选择省略上标i，j。-5.-3.-1日志2（h）-14-12-10-8.-6.-4log2（MSE）1315 1719 21log2（J）-14-13-12-11-10-9-8log2（MSE）图1。对于u=0.05且φ（t）=0.1e的一维Hawkes模型，作为核宽度h（左面板）和样本量J（右面板）函数的平均积分平方误差（MISE）-0.2吨。使用500个过程的蒙特卡罗样本估计了误差。在左面板中，代表了与各种样本大小相关的MISE（J=8.10、1.610、3.210、…、1.24.10）。结果与命题5吻合得很好。-6.-4.-2 0 246log2（小时）-0.12-0.10-0.08-0.06米*（h） 图2。M的估计*（h） （o）（见（46））与一维霍克斯样品的理论M（h）（实线）（见（42））相比。M（h）对应于MISE的h依赖部分。

顶部线条对应于样本大小J=10事件，而底部曲线对应于样本大小J=5.10。所有曲线均绘制为对数（h）的函数。在每种情况下，霍克斯模型对应于指数核φ（t）=0.1e-0.2T，u=0.05。估算曲线（o）与理论曲线（实线）吻合良好。达到最小值的横坐标提供了最佳带宽h的估计值*. 在这两种情况下，我们在等式（46）中选择R=10。其中J代表Nj的事件数，第一个和取成分Nj的所有跳跃时间tjk，第二个和取成分Nisuch的所有跳跃时间til，tjk<til≤ tmax+tjk。交叉验证法可用于估计C（h）的期望值。为此，将总体实现时间间隔[0，T]除以大小相等的R个间隔，即Ir=[（R- 1） TR，rTR]代表r∈ [1，R]。然后，对于每个区间Ir，条件期望GIJIs按照与（40）相同的想法进行估计，仅对不在Ir中发生的NJ跳跃进行平均。更准确地说，我们得到了由gij（r）（t）=（J）定义的估计值gij（r）- Jr）hXtjn/∈IrZTdNiuKU- tjn- th, T∈ [0，tmax]，（44），其中jr对应于时间间隔Ir中发生的nji跳数。然后在Ir上估计对比度函数（43），即C（r）（h）=Ztmax[gij（r）（t）+2∧igij（r）（t）]dt-JrXtjk∈IrXtjk<til≤T+tjkgij（n）（til）- tjk）。（45）因此，M（h）=E（C（h））的估计自然是通过对所有n:M的所有可能回声的所有如此获得的量进行平均得到的*（h） =RRXr=1C（r）（h）。（46）M的例子*（h） 图2给出了霍克斯过程的一个简单的一维示例曲线。M的估计*（h） isclose理论量M（h）。