Hawkes过程的二阶统计特征及其应用

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英文标题：
《Second order statistics characterization of Hawkes processes and
  non-parametric estimation》
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作者：
Emmanuel Bacry and Jean-Francois Muzy
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We show that the jumps correlation matrix of a multivariate Hawkes process is related to the Hawkes kernel matrix through a system of Wiener-Hopf integral equations. A Wiener-Hopf argument allows one to prove that this system (in which the kernel matrix is the unknown) possesses a unique causal solution and consequently that the second-order properties fully characterize a Hawkes process. The numerical inversion of this system of integral equations allows us to propose a fast and efficient method, which main principles were initially sketched in [Bacry and Muzy, 2013], to perform a non-parametric estimation of the Hawkes kernel matrix. In this paper, we perform a systematic study of this non-parametric estimation procedure in the general framework of marked Hawkes processes. We describe precisely this procedure step by step. We discuss the estimation error and explain how the values for the main parameters should be chosen. Various numerical examples are given in order to illustrate the broad possibilities of this estimation procedure ranging from 1-dimensional (power-law or non positive kernels) up to 3-dimensional (circular dependence) processes. A comparison to other non-parametric estimation procedures is made. Applications to high frequency trading events in financial markets and to earthquakes occurrence dynamics are finally considered.
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中文摘要：
我们证明了多元Hawkes过程的跳跃相关矩阵通过Wiener-Hopf积分方程组与Hawkes核矩阵相关。Wiener-Hopf变元可以证明这个系统（其中核矩阵是未知的）具有唯一的因果解，因此二阶性质充分刻画了Hawkes过程。该积分方程组的数值反演使我们能够提出一种快速有效的方法，其主要原理最初在[Bacry and Muzy，2013]中概述，用于对Hawkes核矩阵进行非参数估计。本文在marked-Hawkes过程的一般框架下，对这种非参数估计方法进行了系统的研究。我们一步一步地精确描述这个过程。我们讨论了估计误差，并解释了如何选择主要参数的值。给出了各种数值例子，以说明这种估计方法从一维（幂律或非正核）到三维（循环依赖）过程的广泛可能性。并与其他非参数估计方法进行了比较。最后考虑了在金融市场高频交易事件和地震发生动力学中的应用。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Geophysics        地球物理学
分类描述：Atmospheric physics. Biogeosciences. Computational geophysics. Geographic location. Geoinformatics. Geophysical techniques. Hydrospheric geophysics. Magnetospheric physics. Mathematical geophysics. Planetology. Solar system. Solid earth geophysics. Space plasma physics. Mineral physics. High pressure physics.
大气物理学。生物地质学。计算地球物理学。地理位置。地理信息学。地球物理技术。水层地球物理学。磁层物理学。数学地球物理学。行星学。太阳系。固体地球地球物理学。空间等离子体物理。矿物物理学。高压物理。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Second_order_statistics_characterization_of_Hawkes_processes_and_non-parametric_.pdf (1.21 MB)

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关键词：Hawk Multivariate Quantitative Applications R statistics

Hawkes过程的二阶统计特征和非参数估计。Bacry和J.F.MuzyAbstracts通过Wiener-Hopf积分方程组证明了多元Hawkes过程的跳跃相关矩阵与Hawkes核矩阵有关。Wiener-Hopf参数允许我们证明这个系统（其中核矩阵是未知的）具有唯一的因果解，因此二阶性质充分刻画了aHawkes过程。该积分方程组的数值反演使我们能够提出一种快速有效的方法，其主要原理最初在[1]中概述，以执行霍克斯核矩阵的非参数估计。本文在标记Hawkes过程的一般框架下，对这种非参数估计方法进行了系统的研究。我们一步一步地精确描述这个过程。我们讨论了估计误差，并解释了应如何选择主要参数的值。给出了各种数值例子，以说明这种估计方法的广泛可能性，从一维（幂律或非正核）到三维（循环依赖）过程。并与其他非参数估计方法进行了比较。最后考虑了金融市场高频交易事件和地震发生动力学的应用。指数项随机过程协方差矩阵估计微观结构地震逆问题离散事件系统多变量点过程。引言（多元）霍克斯过程是一个计数过程，每次的强度由过程[2]，[3]的过去跳跃的线性回归给出。

霍克斯过程的这种“自我”和“相互”令人兴奋的性质，使得它们在一个简单易处理的模型中，对于未来事件的可能性直接取决于过去事件的发生的情况，非常有吸引力。因此，在过去十年中，人们对霍克斯过程的兴趣不断增长，在这些领域，内生触发、传染和交叉激发可以自然地用来解释离散事件动力学。最初，霍克斯模型被引入来描述某些特定区域的地震发生[4]，[5]，但它们也在许多其他领域广受欢迎，如高频金融（交易和订单事件动力学）[6]–[8]、神经生物学（神经元活动）[9]、社会学（恐怖活动的传播）[10]，[11]或互联网上的进程（社交网络中的病毒扩散）[12]，[13]。D维Hawkes过程N（t）的主要特征是其D×D核矩阵Φ（t）={φij（t）}1≤i、 j≤D、 其中，内核φij（t）描述了第j个过程分量的事件如何影响第i个分量的发生强度。就霍克斯过程的估计而言，在大多数研究中，假设核成分φij（t）具有特定的参数形状（例如指数衰减），并执行矩量法（例如基于巴特利特谱[14]，[15]）或最大似然估计[16]，[17]。然而，当人们对核组件的形状没有先验知识时，有必要进行非参数估计。第一种方法是基于（惩罚）似然函数的预期最大化（EM）过程[10]，[18]。

它是为单变量Hawkes过程设计的，与外部事件间时间相比，在内核函数没有很好地本地化的情况下，很难使用它来处理大量数据（见第六节）。[9]、[19]、[20]中提出的另一种方法是最小化对比度函数，假设核{φij（t）}1≤i、 j≤数据可以在某些字典的原子上分解。使用提供稀疏估计的套索惩罚对估计进行正则化。例如，这样得到的核是具有很少非零片段的分段常数函数。虽然当维度D较大或已知核非常局部化时（神经元网络建模时似乎就是这种情况[9]），这显然是正确的选择，但在建模地震或金融时间序列时，这是没有意义的，因为对于这些地震或金融时间序列，有大量数据可用，并且已知核是幂律的。我们还要提到[21]中提出的一种方法，作者通过谱方法从跳跃相关矩阵中估计核分量φij（t）。然而，这种技术只适用于对称的霍克斯过程。在本文中，我们的主要目的有两个：首先，我们提供了霍克斯过程二阶性质的完整概述，并表明它们唯一地描述了该过程，即矩阵之间存在一对一的对应关系。巴克里位于法国帕莱索91128号巴黎理工学院数学研究中心。J.F.Muzy在法国科尔斯大学CNRS环境科学实验室工作，邮编：UMR 613420250Cort\'e。Φ（t）和与跳跃（dN（t））相关函数相关的矩阵g（t）。事实上，我们证明了Φ（t）是直接涉及相关函数的Wiener-Hopf方程组的唯一因果解。

然后，我们证明了这一性质，从而提出了一种新的简单的非参数估计方法，该方法基于使用高斯求积方法的Wiener-Hopfs系统的显式分辨率。在许多应用中，考虑霍克斯过程的标记版本很有趣，其中霍克斯分量的条件强度也可能取决于通过标记函数矩阵与每个事件关联的一些随机变量（标记）。我们编写了一个新的方程组，它将Φ（t）与不再是Wiener-Hopf系统的相关函数联系起来。在mark函数是分段常数的情况下，我们证明了我们的方法的一个简单变体可以解决这个系统，即恢复内核和mark函数矩阵。我们提供了从一维过程到三维过程的各种数值例子。我们还提供了一些关于估计误差和收敛问题的启发，以及一些确定方法各种参数的程序。我们将该方法与现有的非参数方法进行了比较，结果表明，该方法实现起来相对简单，可以处理非常大的数据集，并在许多情况下得到可靠的结果。然后，我们的评估框架在两个不同的应用上进行了说明：第一，与参考文献中的相同。[21]，[22]，我们研究了欧洲期货交易所上两种流动性未来资产的市场订单的到达。我们发现，估计的核非常适合指数非常接近1的幂律函数。其次，我们估计了以北加利福尼亚地震目录（NCEC）中的事件震级为标志的地震事件的霍克斯模型[23]。据我们所知，文献[18]提供了估算地震非参数自激的唯一尝试。

在我们的例子中，我们确认ETAS模型规范，即核φ（t）的幂律形状和马克函数的指数定律。本文结构如下：在第二节中，我们介绍了主要的数学定义，并回顾了多元Hawkes过程的二阶性质。我们特别给出了跳跃相关函数的拉普拉斯变换的显式表达式。我们还介绍了条件期望矩阵g（t），并说明它与跳跃相关函数的基本关系。最后，我们恢复了Hawkes[3]以前的一个结果，根据这个结果，核矩阵Φ（t）满足一个Wiener-Hopf方程，g（t）作为Wiener-Hopf核。我们证明了Wiener-Hopf算子有唯一的因果解，因此Φ（t）由g（t）的形状唯一确定。我们的估计方法依赖于这个性质，如第三节所述。更准确地说，通过将带有分段常数标记函数的标记Hawkes过程转化为高维的多元Hawkes过程，我们提出了一种数值方法，可以同时估计核函数和标记函数。该方法主要使用Nystr–om方法来求解维纳-霍普夫方程组。它在第五节中以四个不同的例子进行了说明：一个二维标记过程、两个一维过程（一个涉及缓慢递减核，一个涉及负值核）和一个三维过程（涉及循环依赖和非递减核）。第四节介绍了有关估计误差分析的一些启发式方法，并讨论了确定方法主要参数（即带宽和正交点数量）的一些程序。

然后，我们在第六节简要讨论了与以前的非参数核估计方法的联系，而在第七节中则讨论了上述在金融统计和地球物理学中的应用。第八部分是结论和展望。二、多元HAWKES过程及其二阶性质。我们考虑的是一个D维点过程Nt={Nit}1≤我≤D.每个分量都是一个1d点过程，其跳跃大小均为1，其在时间t时的强度为λit。因此，Ntisλt={λit}1的强度向量≤我≤D.我们认为NTI是一个霍克斯过程[2]，即，在时间t时，每个强度分量λIt可以写成Nt过去跳跃的线性组合，即。，我∈ [1，D]，λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） φij（t）- s） dNjs，（1）式中ou={ui}1≤我≤Dare外源强度o每个核函数φij（t）都是一个正的因果函数（即，它的支持包含在R+中）。它编码了NJ上一次跳跃对电流强度λ的影响。下面，核矩阵将表示D×D矩阵函数Φ（t）={φij（t）}1≤我≤D.使用矩阵符号，D方程（1）可以以非常综合的方式重写为λt=u+Φ dNt，（2）式中λ={λi}1≤我≤Dand接线员 表示正则矩阵乘法，其中所有乘法都由卷积代替。让我们提醒一下，如果以下假设成立[2]，过程n是渐近平稳增量（过程λ是渐近平稳的）：（H）矩阵| |Φ| | |={| |φij | |}1≤我≤Dha的谱半径ρ严格小于1，其中| | g | |代表| | g | |=Rg（t）dt。

在下文中，我们将始终认为（H）成立，并且我们将认为Nt对应于渐近极限，即Nth为平稳增量，λ为平稳过程。在这种情况下，与每个分量相关的平均事件率的向量∧读取[2]：λ=E（λt）=（I- ||Φ||)-1u. （3） 在下文中，∧i指∧的第i个分量。备注（霍克斯过程中的抑制效应）。让我们指出，Br’emaud和Massouli’e[24]已经证明，当λ是Φ的非线性正Lipschitz函数时，稳定性条件准则仍然有效 dNtand，其中内核不限于正。式（2）的一个特别有趣的推广（在[20]中值得注意）是：λt=（u+Φ） dNt）+（4）式中，如果x>0，则（x）+=x，否则为（x）+=0。这个扩展可以解释φij（t）为负值时的抑制效应。B.通过二阶统计量刻画多元Hawkes过程在本节中，我们回顾了与多元Hawkes过程相关的相关矩阵函数的主要性质，并证明它完全刻画了这些过程。二阶统计量通过微小协方差求和：Cov（dNit，dNjt′）=E（dNitdNjt′）- ∧i∧jdtdt′，1≤ i、 j≤ D.（5）如前所述，在假设（H）下，可以认为Nt具有固定增量，因此，Cov（dNit，dNjt′）仅取决于t′-t、 此外，这些度量是非奇异度量，除了i=j，它有一个狄拉克分量δ（t）。

因此，这种协方差的非奇异部分可以写成νij（t′）- t） dtdt′=E（dNitdNjt′）- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt，1≤ i、 j≤ D、 （6）式中，ij是Kronecker符号，它总是0，除非i=j，在这种情况下它等于1。让我们指出，由于过程N的所有跳跃的大小都是1，二阶统计量可以根据条件期望重写（见[1]）。事实上，对所有人来说≤ i、 j≤ D、 设gij（t）是测量E（dNit）密度的非奇异部分- ∧idt | dNj=1），即gij（t）dt=e（dNit | dNj=1）- ijδ（t）- ∧idt。（7） 然后是νij（t′）- t） dtdt′=E（dNitdNjt′）- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt=E（dNjt′|dNit=1）P{dNit=1）- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt=E（dNjt′）-t | dNi=1∧idt- ∧i∧jdtdt′- ∧iijδ（t′）- t） dt=∧igji（t′）- t） dtdt′由此得出：ν（t）=∑gT（t）（8），其中gT（t）代表矩阵g（t）的转置。在[21]中，已经证明了“极小”协方差矩阵ν（t）={νij（t）}0≤i、 j<d可以与核矩阵Φ直接相关：命题1（来自[21]）。设ψ（t）=P+∞k=1Φ(k） （t）在哪里(k） 代表矩阵卷积Φ Φ  . . .  Φ（其中Φ重复k次）。Leteψ（t）=ψ(-t） 。然后ν（t）=（δI+eψ） ∑（δI+ψT）（T）- δ（t）∑（9），其中∑是由∑ii=λi定义的对角矩阵，其中我们使用约定δ δ（t）=δ（t）。在拉普拉斯域中，最后一个方程表示^ν（z）=（I+^ψ）(-z） ∑（I+ψT（z））- Σ. （10） 此外，I+^ψ（z）=（I-^Φ（z））-1，（11）式中，Lcausal函数s（t）的拉普拉斯变换定义为：^s（z）=z+∞-∞s（t）eztdt，Z∈ C（12） 由式（8）和式（9）得出：g（t）=νt（t）∑-1=（δI+ψ） ∑（ΔI+eψT）（T）∑-1.- δ（t）I.（13）或者，在拉普拉斯域^g（z）=（I+^ψ（z））中∑（I+^ψt(-z） ）∑-1.- 我

（14） 自（δI）- Φ)  （δI+ψ）（t）=δ（t）I，（15）用δ（t）I卷积（13）的两侧- Φ（t）导致（δI- Φ)  g（t）=∑（δ（t）I+eψt（t））∑-1.- δ（t）I+Φ（t）（16），其中- Φ)  g（t）=∑eψt（t）∑-1+Φ（t）（17）由于Φ（t）的所有元素都是因果函数（即，由R+支撑），并且由于ψ（t）只是表示为矩阵Φ的卷积积，所以ψ（t）的所有元素也都是因果函数。写下t>0的最后一个等式，从而得出以下命题：命题2。核矩阵函数Φ（t）表示D维维纳-霍普夫系统G（t）=Φ（t）+Φ g（t），t>0（18）Wiener-Hopf方程在过去的一个世纪[25]-[27]中得到了广泛的研究，并出现在各种各样的物理问题中。最后一个方程组是霍克斯在[3]中首次建立的（另见[1]），目的是将g（t）（被认为是“未知”）表示为Φ（t）的函数。他证明了它在g（t）中有唯一的解。人们可以用另一种方法来计算，并将其视为Φ（t）（未知）满足的方程组，g（t）已知。在附录A中，由于Wiener和Hopf[27]引入了著名的因式分解技术，我们证明了这个系统（18）在Φ（t）中允许一个唯一的解：定理1。设Nt为D维Hawkes过程，具有外生强度u和核矩阵Φ（t）作为第II-a组的定义。设Φ（t）满足假设（H）（如上所述，我们可以将Nt视为平稳增量）。设g（t）为矩阵g（t）={gij（t）}1≤i、 j≤Dde由（7）定义。那么矩阵Φ（t）是方程组（其中χ（t）是未知的）g（t）=χ（t）+χ（t）的唯一解（其元素都是因果的且在L（R+）中） g（t），t>0。（19） 然后可以陈述推论：推论1。