一种测量随机性和多重分形的经验方法

为了执行优化搜索，需要引入cost函数。一般来说，如果单独使用公式（2）对金融时间序列进行n优化搜索，则产生的局部波动率σ的函数分布将接近对数正态分布，这是一种已知的典型行为。当然，我们可以进行更多的具体分析，例如，通过针对特定模型或一类模型进行优化。通过这种方式，人们还可以调查模型对研究中的时间序列的描述程度。对于我们的目标，我们将仅假设金融时间序列的局部波动性具有服从对数正态分布函数的波动，无需进一步说明。这与金融时间序列中的典型事实一致，即波动率的波动服从近似对数正态分布。对于其他复杂系统的时间序列，可能需要在成本函数中引入其他约束。因此，在优化过程中，我们将针对维纳过程优化DW和dln（σ），以获得局部波动率σ。如上所述，其思想是最小化代价函数中的dln（σ）和dws与高斯分布的偏差之和。然后，通过使用一些优化算法来优化成本函数，进而获得局部波动率σ。本文采用遗传算法（GA）20,21进行优化搜索。我们在这里采用了遗传算法的标准程序来进行搜索，即。，在每一代中，我们都可以进行突变、交叉和选择操作。在我们的优化搜索中，我们使用了500条染色体的总体规模，每条染色体的长度相当于所研究时间序列中的数据点数量。

首先，我们为群体中的每个染色体生成一个配置。然后我们进行遗传操作：交叉、变异和选择。现在，我们挑选了一对数量不多的双亲染色体（在我们的研究中，我们挑选了大约20%的群体）进行交叉。我们在每对亲本染色体上随机选取一个交叉点，进行交叉以产生一对婴儿染色体。接下来，我们执行变异操作。对于突变算子，我们对整个群体设定一个突变率（在我们的测试中为0%到10%），并随机选择染色体内的位点进行突变。我们现在有了一个染色体群体，包括来自原始群体的染色体，以及来自突变和交叉的新婴儿染色体。然后我们计算每个染色体的costfunction值。接下来，我们选择一定数量的染色体（本例中为500条）为下一代提供更好的适应性。我们将在新一代中再次使用相同的遗传算子（变异、交叉和选择），直到某些特定标准的优化停止。在我们的搜索中使用的成本函数F（或在GA中通常称为fifitness）如下所示：F=c×Areadiff（dWs，Gau s sian）+Areadiff（dln（σ），Gaussian），（5）其中c是一个常数，可以选择其值，而ADiff（dWs，Gau s sian）是dWs分布曲线下的面积与高斯分布曲线下的面积之差。在我们的优化搜索中，我们选择c在1到2之间，我们已经搜索了500代。通过优化搜索，我们现在可以获得局部波动率σ、其波动率dln（σ）和资产回报率dWS的波动率。然后我们可以画出函数的分布，并与维纳过程的分布进行比较。

为了将其置于更定量的基础上，可以将上述分布的每一个数量定义为所研究分布与维纳过程的偏差。从数学上讲，维纳过程具有独立的增量，这将给出高斯分布。因此，我们定义Ws是通过优化搜索和维纳过程的概率密度函数曲线（即两个分布的非重叠区域）得到的概率密度函数（pdf）曲线下面积差的绝对值，除以两个分布的面积之和。WS≡A（| dWS）- W iener |）A（dWS）+A（W iener）=A（dWS）- W iener |），其中A（…）代表括号中的主题区域。图2是等式（6）的示意图。曲线1和2分别是DW和维纳过程的pdf。灰色area是两个分布的pdf的非重叠区域，对应于等式（6）中的算符。由于A（WS）和A（W iener）都被归一化为1，因此分母等于2，如上面等式中最后一个等式所示。如果DW恰好等于维纳过程，则存在完全重叠，差异为零。另一方面，如果DW的pdf和维纳过程完全没有重叠，则Ws将等于两个分布的总和。参数因此，wst的值介于0和1之间。更大的WSis，时间序列越偏离维纳过程。总的来说，有人认为，一个高效市场的时间演化应该非常接近于维纳过程，因此威尔·贝弗里·斯莫尔。与零的较大偏差表明市场并非完全有效，或受人类心理等其他因素的影响。

使用该参数，可以比较不同的金融时间序列，也可以了解金融市场的效率。这将是一种简单的定量方法，可以用来比较金融市场的效率，看看它们从维纳过程中发展了多少。以类似的方式，我们可以定义dln（σ）是通过优化搜索得到的dln（σ）曲线下面积差的绝对值，除以维纳过程的面积之和。dln（σ）≡A（| dln（σ）- W iener |）A（dln（σ））+A（W iener）=A（dln（σ）- W iener |）。（7） -4-2 0 2 40.00.10.20.30.40.5测量2不敏感异常测量能力。2.一个说明性的WSin公式（6）。灰色区域是对应于式（6）中分子的非重叠区域。利用重建的局部波动率σ、其波动率dL n（σ）和资产收益率dW的波动率，可以进一步分析其他特征，并将结果与金融市场中的著名程式化事实进行比较。三、 模拟时间序列测试在本节中，我们将用已知分布的一些模拟时间序列来测试我们的方法。在此，我们将使用包括（i）高斯分布，（ii）矩形分布，（iii）三角形分布，（iv）MRW，（v）MRW（矩形噪声分布），（vi）MRW（三角形噪声分布）和（vii）MRW（倾斜三角形噪声分布）的分布。在MRW的原始版本（案例（iv））中，模型由对数正态分布的挥发函数和布朗噪声组成，其波动服从高斯分布。在我们的测试中，我们将lso generatetime系列与此处列出的其他发行版进行比较。通常的做法是通过一个空假设测试来比较两个分布是否相互不同。

为了检查我们的算法执行得有多好，我们在这里执行了一个类似的程序，对上面列出的每种情况下的原始模拟时间序列和重新构造的时间序列执行Kolmogorov-Smirnov（K S）零测试。KS tes t适用于作为单自变量函数的无约束分布，并且已知是空tes t的有用近似值。KSnull测试的结果包含在表I中，以供比较。对于这里的数值测试，我们为每个模拟的时间序列生成2000个数据点，相当于40个~ 金融市场50年。在（i）-（vii）的每种情况下，我们都生成了100个时间序列，并使用我们的算法构建了波动率和dWSby。然后我们取他们的平均值。表一给出了使用我们的方法重建不同噪声分布的模拟时间序列的时间序列的结果。在表一中，第一列列出了模拟时间序列的噪声分布。第二列列出了原始模拟时间序列，其中DWS分布与等式定义的高斯分布之间存在内在差异。(6). 第三列是根据高斯分布对这些内在分布进行测试的结果。在测试中，我们将信号水平设置为0.01。在表中，T表示无法区分这两种分布，N表示可以。在0.01的显著水平上，我们可以看到一个不能拒绝MRW+高斯，但所有其他测试都失败。最后两列是重建的DW和相应的KS测试。我们可以看到，使用我们的方法重建的时间序列与其对应的模拟时间序列相比，在KStest中表现良好。因此，我们在这里进行的数值测试表明，我们的方法将使我们能够很好地构造给定的时间序列。

在下一节中，我们将应用我们的方法研究金融市场的经验时间序列。四、 结果上述算法现在可以用于分析不同的金融时间序列。本文研究了道琼斯工业平均指数（DJ，1953/1/22）的时间序列~标准普尔500指数（1950/1/3）~恒生指数（恒生指数，1986/12/31）~伦敦证券交易所（FTSE，1984/4/2）~法国股市指数（CAC，1990/3/1）~德国股票指数（DAX，1990年11月26日）~201 2/7/3），上证综合指数（SSE，19 90/12/19）~和深圳证券交易所综合指数（深交所，1991/4/3）~2012/6/28).现在让我们以标准普尔500指数时间序列为例。我们这里使用的是每日开盘价，这意味着我们将把时间差设为1天。根据公式（2），我们在1950年1月31日期间首次发现标准普尔500指数的整个时间序列的ln（St+1）~2012年6月13日。然后我们计算序列的平均值u，并从序列中减去该平均值。Wenext使用上述算法计算新时间序列的局部波动率σ。在我们的模拟中，我们使用20到30之间的窗口大小。我们的下一步是通过使用上面讨论的优化算法，找到局部波动率σ、其波动率dln（σ）和标准普尔500指数的资产回报率的波动率。图3（a）是我们的算法在1990年至2012年期间获得的局部波动率σ。为了进行比较，我们在图3（b）中显示了芝加哥交易所（CBOE）的波动率指数。我们可以看到，由上述优化算法和芝加哥电子交易所（CBOE）durTABLE I中的VIX算法得出的σ。

通过使用我们的算法，重建的dWSof模拟了具有不同函数分布的时间序列的结果。病例内在dWSKS试验重建dWSKS睾丸0.0%T1.2%Tii 19.8%N17.8%Niii 5.1%N5.3%Niv 0.0%T1.9%Tv 19.8%N12.8%Nvi 5.1%N4.3%Nvii 10.7%N1990/1/15 1993/12/28 1997/12/10 2001/12/12/4 2005/11/22 2009/11/11/11/1201020304050607080VIX1990/1/1/15 1993/12/12/28 1997/12/10/12/12/12/10/12/12/12/12/12/12/2001/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12/12。（a） 1990年至2012年期间，通过我们的op优化算法获得的局部波动率σ（b）同一时期芝加哥交易所（CBOE）的波动率。这段学习时间的特点非常相似。后者有时也称为Fea rIndex，市场从业者将其解释为THS&P500指数的隐含波动性。以类似的方式，我们现在可以绘制局部波动函数的波动率Dl n（σ）的分布，以及从优化算法获得的S&P500的设定回报率Dw的波动率。dWS、dl n（σ）和ln（σ）的pdf如图4所示。红色的曲线是用于比较的标准正态分布的pdf。请注意，由于我们想将结果与标准正态分布进行比较，我们通过一个总系数p<dln（σ）>对dln（σ）进行了归一化，它是整个时间序列的dln（σ）平均值的平方根。以类似的方式，对于图4（c）中所示的结果，我们将ln（σ）的平均值除以其标准偏差的平均值。我们看到，DW和dln（σ）的pdf都非常接近高斯分布的pdf。它的偏差，Ws可通过式（6）确定。就S&P500 westudy而言，WSanddln（σ）分别约为3%和0.6%，这是与高斯分布的小偏差。

由于DW和dln（σ）的pdf与维纳过程的pdf非常相似，因此可以绘制它们相应的线性和非线性自相关函数。在我们的研究中，dWS的线性自相关关系定义为<dWS（t+n）dWS（t）>，其中n是以天为单位的时间间隔。数据的非线性自相关定义为与上述线性自相关不同的自相关。在本文中，我们选择研究dWS绝对值的自相关。作为一个例子，图5S展示了dWS的线性和非线性自相关函数。图5（a）是DWS的线性自相关，而图5（b）是其绝对值的自相关。很容易看出，它们都类似于阿加西噪声时间序列的行为。dln（σ）的线性和非线性自相关函数的行为与图5非常相似，表明时间序列波动性中的函数之间没有显著的长期相关性。对dwsindect的Hurstexponent H的评估得出的值非常接近于1/2，表明它非常接近于Aviener过程。还可以使用公式（4）计算dWS的时间相关性。图6的结果表明，DWSIndite具有单分形特征。另一方面，DLN的时间相关性对q的依赖性表明它具有多重分形结构。多重分形行为可以从局部波动率σ本身来研究。DW和dln（σ）中的函数之间的相关性也可以通过其他方法进行研究，例如使用22,23中介绍的聚类指数，这表明它们确实与高斯噪声的时间序列非常相似。

另一方面，波动率σ的自相关函数显示出缓慢的衰减，如图7所示，与金融市场中观察到的典型事实不一致。由于DWS非常接近于维纳过程，因此可以通过直接研究局部波动率σ来分析时间序列的多重分形结构。由此产生的多重分形结构将反映波动率长期相关性的行为。这里我们使用σ来获得式（4）中的f（q）。结果如图8所示。图8（a）显示了M（q，T）作为几个不同q的函数，图8（b）是f（q）作为q的函数的曲线图。当-3-2-1 0 1 30.00.10.20.30.4 dWs高斯适配密度分布n-3-2-1 2 30.00.10.20.30.4 dln（）高斯适配密度分布n-3-2 0 1 30.10.20.30.4 dln（）高斯适配密度密度分布图（a）图4。S&P500的（a）dWS（b）dln（σ）（c）ln（σ）的概率分布函数（pdf）。0 20 40 60 80 100-0.20.00.20.40.60.81.0Aut ocorr lati 0 20 40 60 80 100-0.20.00.20.40.60.81.0非线性aut ocorr相关时间滞后（天）（a）（b）图5。（a） 线性自相关和（b）dWSof S&P500绝对值的自相关。通过计算M（q，T）和f（q），可以更好地理解σ和系统本身的多重分形行为。然后，人们就可以构建一个多重分形模型来描述系统的长期行为。我们研究的其他金融时间序列的结果汇总在表2中。在表II中，我们包括WSand我们在这里研究的财务时间序列的dln（σ）。为了进行比较，我们还包括了两种情况下点火水平为0.01的KS零测试WSanddln（σ）见表二。

我们可以确信，对于发达市场（标准普尔500指数、DJ指数、CAC指数、DAX指数、富时指数和恒生指数），它们都通过了KS测试WSanddln（σ）。从数值上可以看出，它们与维纳过程的偏差确实相对较小。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50.250.300.350.400.450.500.55 dlnS dWsf（q）/qqFIG。6.标准普尔500指数的数据仓库和数据仓库的f（q）和q。100 200 300 400 500 600 700 80010-210-1100Aut OCORR lati onTime lag（天）图7。S&P500波动率σ的自相关函数。110010000.010.1110（b）q=-2.5Q=-0.5Q=2M（q，T）1/qT（a）-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50-1.052.02.50.981.001.021.041.06f（q）/qqFIG。8.（a）表示M（q，T）是S&P500不同qofσ的T函数，（b）是其f（q）是q的函数。这些值落在q范围内的近似直线上。表II。WSand本文研究的财务时间序列的dln（σ）。WSKS测试dln（σ）KS测试和P500 2.94%T0.55%TDJ 2.37%T0.85%TCAC 2.16%T0.66%TDAX 3.30%T0.31%TFTSE 1.66%T0.51%THSI 2.63%T1.03%TSSE 6.23%N1.33%TSZSE 5.00%N1.57%T的价值WSanddln（σ）如表II所列。发达市场的赫斯特指数都接近1/2。由于这些发达市场的DW和DLN的f（q）在数量上与标准普尔500指数的f（q）非常相似（如图6所示），因此在此不作说明。值得注意的是，中国大陆的金融市场与维纳过程的偏差较大，如表二所示。KS空测试也揭示了这一事实。较大的偏差可能被解释为其他因素的反映，这些因素将金融时间序列与严格的随机过程区分开来。