一种测量随机性和多重分形的经验方法

如果这种偏差完全是人为因素造成的，然后，WSP可以被解释为衡量人类对市场影响的程度。我们应该在这里指出表II中所列上海和深圳市场的dln（σ）也通过了KS零检验，表明其可用性的波动可以视为遵循一个随机过程。让我们仔细看看中国股市。上证综合指数的加权平均值约为表二的6%。对其进行了力矩分析。（4） 表明它具有多重分形行为。如图9所示。这一结果表明，上海股市不能用式（1）中的随机过程来描述。同样，深交所综合指数也表现出dWS的多重分形行为。因此，我们在图9（b）中包含了申和证券交易所综合指数的重建DWS的f（q），以供参考。众所周知，负价格回报会导致未来波动性增加，即杠杆效应。这意味着，pastis中对数收益率的变化与未来波动率的变化呈负相关。另一方面，我们也知道，过去的波动性变化与未来的对数回报率变化不相关25,26。用数学语言来说，这意味着dln（S）和dln（σ）之间，或者dWn和dln（σ）之间应该存在相关性。更具体地说，对于研究中的时间序列，dln（S）（或dWS）在时间t的大负函数与dln（σ）的大正函数（t timet+n，其中n为正整数）之间应该存在相关性。图10（a）显示了标准普尔500指数<dlnS（t）dln（σ（t+n））>的相关性。

我们可以看到1100110Q=1Q=1.5Q=2Q=2.5Q=3Q=3.5M（q，T）1/qT（a）012340.580.600.620.640.660.680.700.72（b）SSE SZSEf（q）/qqFIG。9.（a）显示M（q，T）是上海股市指数不同qof dws的函数，（b）是其f（q）是q的函数。还显示了深圳证券交易所综合指数（红点）的f（q）以供参考。0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.05-0.04-0.03-0.02-0.010.000.010.020.030.04 dln（t）dln（t+n）时滞（天）0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.06-0.04-0.020.000.020.04（b）dln（t）dln（t+n）时滞（天）（a）图10。（a） 标准普尔500指数<dln（t）dln（σ（t+n））>和（b）dln（σ（t））dlnS（t+n）>的相关性。在时间t时dln（或dWS）的大负变化与时间t+n时dln（σ）的大正变化之间存在相关性。在时间t时dln（或dWS）的大正变化与dln（σ）的大正变化之间未观察到此类相关性，在时间t+n时，图10（a）所示的结果表明，这种相关性将持续约10年~15个交易日。以类似的方式，可以研究S&P500的<dln（σ（t））dlnS（t+n）>的相关性，结果如图10（b）所示。相关系数<dWS（t））dln（σ（t+n））>和<dln（σ（t））dWS（t+n）>分别与图10（a）和图10（b）中的相关关系非常相似，此处不显示。其他发达市场（DJ、CAC、DAX、FTSEAN和HSI）的<dln（S（t））dln（σ（t+n））>相关性的结果与标准普尔500指数的行为非常相似，因此我们在此不显示。对于FINAN0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.08-0.06-0.04-0.020.000.020.040.060.08（b）dln（t）dln（t+n）（a）dln（t）dln（t+n）正dln 0 20 30 40 50 70 80 90 100-0.08-0.06-0.04-0.020.000.020.040.060.08正dln负dln图。11

（a） 上海指数<dln（t）dln（σ（t+n））>和（b）dln（σ（t））dlnS（t+n）>的相关性。在中国的社会指数中，时间t时dln（S）的巨大负向和正向波动将导致时间t+n时dln（σ）的巨大正向波动，其结果如图11所示。深圳证券交易所综合指数在dln的大负性和正性影响方面表现出与上证综合指数相似的行为，我们在这里没有展示。这是另一个迹象，表明新兴市场的发展与发达市场截然不同。同样，人们可以使用这种实证方法研究高频金融时间序列数据。需要注意的是，为了获得一致的结果，需要每天进行趋势分析。然后，高频金融时间序列的随机性和多重分形分析将遵循我们在此不做的相同程序。结论在本文中，我们采用了一种简单的经验方法来研究复杂系统的非线性时间序列。这是基于局部波动率σ的优化搜索，假设时间序列密切遵循Ito过程。我们在这里选择金融时间序列来说明这种方法，假设对数资产收益率的变化和对数波动率的变化与维纳过程的变化非常接近。我们提出了一些参数WSanddln（σ）用于定量测量金融时间序列与维纳过程的偏差。如果这些参数非常接近于零，那么所研究的时间序列应该非常接近于一个随机过程。这种偏差可以被解释为事实变量（如人类心理学）的集体效应，这使得时间序列与随机过程不同。

通过这样做，我们可以比较不同的金融市场，并研究这些因素如何以更定量的方式影响不同的市场。本文研究了几种市场指数。使用该算法，我们发现发达市场（DJ、标准普尔500指数、CAC、DAX、FTSE和HSI）的股价相对较低新兴市场（上证综指和深交所指数）表现出更大的波动WSvalues。这表明，与中国等新兴市场相比，美国和欧洲的发达市场更接近高效市场。在中国的一系列股票市场中W显示出与维纳过程的偏差更大，这意味着时间序列不遵循随机过程。KS null测试也支持这一点。这种偏差导致了dWS中的多重分形结构。它进一步给出了与发达市场观察到的显著不同的平均效应。这些是否是时间序列的非随机性行为的结果尚不清楚，值得在未来进行研究。虽然发达市场资产收益时间序列的非线性自相关函数表现出类似幂律的衰减，但相应的DWS抑制行为的非线性相关函数与高斯噪声时间序列非常相似，这意味着DWS确实非常接近维纳过程。更有趣的结果是时间序列及其波动的局部波动率σo的自相关函数。局部波动率的自相关性表现出低衰减行为，但其波动率dln（σ）的线性和非线性相关性表现出与随机时间序列非常相似的行为。

如果时间序列的DWSF非常接近于维纳过程，则可以直接从重构的局部波动率（例如，通过本文介绍的alg算法获得）来研究时间序列的多重分形结构。从所研究的时间序列中获得的局部波动率σ实际上可能被解释为作用于s系统的外部和内部冲击的响应函数，其波动服从对数正态分布。如上所述，本文提出的确定时间序列局部波动性的方法可以通过开发比本文所用算法更好的优化算法来改进。在成本函数中引入与所研究的时间序列相关的适当约束可以进一步提高其性能。感兴趣的读者可以设计自己的优化算法，以进一步提高局部波动率σ的搜索性能，从而最小化所研究的成本函数。为研究财务时间序列而开发的定量方法确实可以用于研究其他复杂系统。本文介绍的算法可用于分析其他复杂系统的时间序列，从而定量地测量维纳过程的偏差。这些复杂系统的随机性和多重分形结构可以用类似的方式来研究。这种经验算法最近已应用于心脏病学心率变异性的研究，并将在另一份出版物中报告。例如，见A.Chakraborti，I.Muni Toke，M.Patriarca and F。Abergel 2011量化金融11 991。P.Cizeau、Y.Liu、M.Meyer、C.K.Peng和H.E.Stanley1997 Physica A 245 441。S.米奇切、G.博南诺、F.利洛和R.N.曼特尼亚2002物理学A 314 756。Bacry，E.，Kozhemyak，A.和Muzy，J.F.2008经济动力学和控制杂志32 156。坎特哈德，J.W。

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