一种测量随机性和多重分形的经验方法

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英文标题：
《An Empirical Method to Measure Stochasticity and Multifractality in
  Nonlinear Time Series》
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作者：
Chih-Hao Lin, Chia-Seng Chang and Sai-Ping Li
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  An empirical algorithm is used here to study the stochastic and multifractal nature of nonlinear time series. A parameter can be defined to quantitatively measure the deviation of the time series from a Wiener process so that the stochasticity of different time series can be compared. The local volatility of the time series under study can be constructed using this algorithm and the multifractal structure of the time series can be analyzed by using this local volatility. As an example, we employ this method to analyze financial time series from different stock markets. The result shows that while developed markets evolve very much like an Ito process, the emergent markets are far from efficient. Differences about the multifractal structures and leverage effects between developed and emergent markets are discussed. The algorithm used here can be applied in a similar fashion to study time series of other complex systems.
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中文摘要：
本文采用一种经验算法来研究非线性时间序列的随机性和多重分形性质。可以定义一个参数来定量测量时间序列与维纳过程的偏差，以便比较不同时间序列的随机性。利用该算法可以构造所研究时间序列的局部波动率，并利用该局部波动率分析时间序列的多重分形结构。作为一个例子，我们使用这种方法来分析不同股票市场的金融时间序列。结果表明，虽然发达市场的演化非常像一个Ito过程，但新兴市场远远没有效率。讨论了发达市场和新兴市场在多重分形结构和杠杆效应方面的差异。这里使用的算法可以以类似的方式应用于研究其他复杂系统的时间序列。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> An_Empirical_Method_to_Measure_Stochasticity_and_Multifractality_in_Nonlinear_Ti.pdf (516.07 KB)

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关键词：经验方法 随机性 Multifractal Quantitative Econophysics

测量非线性时间中随机性和多重分形的一种经验方法，台湾（日期：2018年9月12日）本文使用一种经验算法来研究非线性时间序列的随机性和多重分形性质。可以定义一个参数来定量测量时间序列与维纳过程的偏差，以便比较不同时间序列的随机性。利用该算法可以构造所研究时间序列的局部波动性，并利用该局部波动性分析时间序列的多重分形结构。例如，我们使用这种方法分析不同股票市场的金融时间序列。结果表明，虽然发达市场的演变非常像一个Ito过程，但新兴市场远远不够。讨论了发达市场和新兴市场之间多重分形结构和杠杆效应的差异。这里使用的算法可以以类似的方式应用于研究其他复杂系统的时间序列。PACS编号：02.50。Fz，05.45。Df，05.45。TpI。引言自然界中许多复杂系统都有时间序列数据集，这些数据集表现出非平稳和复杂的行为。在许多时间序列中，它们的波动显示了广泛的时间尺度和/或广泛的值分布。这些自然波动通常遵循几个数量级的标度关系。一般来说，这种标度定律可以通过分形（或多重分形）标度指数来表征数据和生成复杂系统，与其他系统和不同模型相比，分形（或多重分形）标度指数可以反映系统的特征。

从实验物理学、地球物理学、生理学等的许多时间序列中都观察到了这种分形（或多重分形）变化行为。由于这些时间序列具有许多不常见的特征，因此建议采用统一的方法来研究它们的行为。为了分析这些非线性时间序列，已经发展了许多不同的方法。在对这些复杂系统的时间序列进行的许多研究中，研究人员认为它们服从一些随机过程，具有dx=a（X，t）dt+b（X，t）dWx类型的随机微分方程，（1）其中X是我们感兴趣的变量，a（X，t）和b（X，t）是依赖于X和t的变量，时间和Wxis是维纳过程。生成的时间序列也被认为具有一些长期相关性。我们将以上述等式为出发点。人们确实可以问一个简单但又基本的问题——这些非线性时间序列的演化能用下面公式（1）中的随机过程描述到多近？从实用的角度来看，我们可以假设经验时间序列完全遵循一个由式（1）控制的随机过程。然后将经验时间序列dX分解为其分量a（X，t）、b（X，t）和等式建议的dWxas。（1） 通过一些优化方法，定量测量其与随机过程的偏差。人们可以进一步研究这些时间序列中的多重分形结构。从计算角度来看，这需要开发更有效的数值算法，以便对分解后的时间序列进行有效的优化搜索。

在本研究中，我们将用一种简单的经验算法来证明这一点，并展示如何利用优化研究获得的结果来研究时间序列中嵌入的有趣特性。在众多非线性时间序列中，金融时间序列是最重要的，也是正在被深入研究的。金融时间序列中的许多既定事实（或经济学和金融领域的从业者通常称之为程式化事实）已经得到识别和充分记录。其中包括资产回报的重尾分布和波动性聚类。研究发现，资产收益率的重尾分布在几个数量级上表现出幂律行为。此外，当波动率呈随机分布且近似对数正态分布时，波动率呈现近似幂律的长程相关性2,3。这种标度行为表明，时间序列可能具有多重分形结构，与其他系统和各种模型相比，它可以反映系统的特征。这些结构一定会帮助研究人员建立更好的模型，以描述金融市场和复杂系统的基本动态。因此，我们将选择金融时间序列作为我们对非线性时间序列进行实证研究的一个例子。然而，本文所用的经验算法同样适用于其他复杂系统的时间序列。事实上，众所周知，许多复杂系统的时间序列揭示的行为与金融时间序列中观察到的程式化事实相似。在金融市场中，股票和大宗商品的价格会随着时间的推移而波动，进而产生金融时间序列。

事实上，这些时间序列对于从业者和理论家来说都是非常有趣的推论和预测。从历史上看，众所周知的有效市场假说7,8与金融市场的随机性密切相关。在金融时间序列的情况下，股票价格统计时间皮重通常被假定为一个近似的Ito过程，由以下形式给出，dStSt=udt+σdWS，（2）其中u是瞬时无风险率，σ是局部波动率，Wsis是维纳过程，代表动态中的随机性。这种波动的幅度由局部波动率σ来衡量，其幅度通常与市场风险有关。应该注意的是，u是一个可能依赖于St、σ和t的参数。在分析金融时间序列时，研究人员通常假设u和σ取一些恒定值。实际上，σ的振幅通常与时间有关，因此其值可能随时间而变化。图1（a）是1971年2月8日至2012年6月13日纳斯达克综合指数日收益率的经验数据图，而图1（b）是同期标准化日收益率的概率密度函数。很容易看出，图1（b）中的分布两端都有重尾，远离高斯分布。如果指数的日收益率的波动符合式（2）所示的形式，则σ在所研究的时间段内不能是常数，而是应随时间变化。值得注意的是，不同复杂系统的许多时间序列也表现出类似于图1（b）的行为，例如心率变异性。由于这些非线性时间序列具有相似的行为，因此有必要开发一个适用于一般复杂系统时间序列的通用框架。

基于金融时间序列应与随机过程密切相关的假设，研究人员还引入了随机波动性的概念，假设σ的变化也遵循随机过程。多年来，人们提出了许多随机波动率模型来评估衍生证券，例如期权。例如，Hull和White10,11提出，随机波动率服从一个随机微分方程，其类型为DVTvt=αdt+βdWvv=σ，（3），其中α和β是依赖于St、σ和t的函数。相对于另一个维纳过程，它与WS具有相关性ρ。一般来说，随机方差v所遵循的实际时间演化过程可能非常复杂。对于方程（1）中显示分形行为的时间序列，其参数变化的绝对矩X-8-6-4-2 0 2 4 6 810-410-310-210-1100 NASDAQ返回高斯拟合概率密度函数归一化每日返回1971/2/8 1979/1/15 1986/12/11 1994/11/8 2002/10/17 2010/9/28-0.10.00.10.2（b）NA SDAQ每日返回（a）图1。（a） 1971/2/8年纳斯达克综合指数日收益率的经验数据图~ 2012/6/13（b）同一时期标准化DailReturns的概率密度函数。应采用以下标度形式，M（q，T）=E（|δTX（T）|q）=E（|X（T+T）- X（t）| q）~ KqTf（q），（4）其中kqi是依赖于q的前置因子，f（q）是q.E的函数（…）这里代表括号中主体的期望值。根据多重分形理论，每一时刻都应该存在一个f（q），比如M（q，T）s标度为T，前因子kqa标度为T→ 当f（q）在q中是线性的时，只需要一个标度指数H，f（q）=qH。X（t）被称为单分形。如果f（q）是q中的非线性函数，那么X（t）就是多重分形的。

虽然观测到的标度的根本原因往往不清楚，但分形或多重分形特征可用于对相应的时间序列进行建模，并给出有关极端事件或未来行为的预测。近年来，有相当多的论文致力于非线性时间序列中多重分形的建模，这是由Mandelbrot及其合作者13–15开创的。在他们的工作中，他们开发了一个资产回报的多重分形模型（MMAR），这是一个连续的时间过程，捕捉了许多金融时间序列所表现出的厚尾和长记忆波动持续性。它是通过将标准布朗运动与指定为多重分形的随机时间变形过程相结合而构建的。随后，其他研究者引入了dother多重分形模型，尤其是Bacry等人4,12。为了对资产收益率波动进行建模，这些作者引入了多重分形随机游走过程来描述金融时间序列的行为，他们调用了多重分形随机游走模型（MRW）。这是曼德布罗特级联到平稳、因果连续级联的一般化。该模型能够满意地描述金融时间序列的许多程式化事实。在其原始形式中，MRW可以简单地被视为一个随机波动率模型，（对数）波动率记忆有一个特殊的对数-算术形状，这一特征与经验观察一致。这个模型因其简单性而备受关注。该模型也存在解析解，因此可以更精确地将模型中的一组参数与经验数据相匹配。

在过去的十年中，这些多重ctal模型被用于研究不同主题的复杂系统的时间序列9、17、18。与随机性问题密切相关的是，人们还可以问，一个随机波动率模型，如等式（3）的模型，对研究中的非线性时间序列数据的模拟效果如何。在这种情况下，我们需要将经验时间序列分解为公式（2）和（3）所建议的形式，并定量测量与随机过程的偏差。这样就可以研究非线性时间序列的多重分形，以及局部波动率σ本身的细节。我们还应该提到，人们应该意识到，金融时间序列中明显的多重分形行为也可能是时间序列5、19以及其他未知因素中多尺度的结果。在下文中，我们将描述如何使用一个简单的经验优化算法来定量分析非线性时间序列，假设股票价格和波动率都是根据一些随机过程演化的。这样，我们可以定量地测量系统的随机性偏差，并将其与其他类似性质的系统进行比较。同样，我们可以分析时间序列的多重分形结构，并与模型进行比较。人们还可以建立模型来描述所研究系统的行为。在第二节中，我们将介绍分析所研究系统随机性的经验算法。在第3节中，我们使用我们的方法对具有不同函数分布的模拟时间序列给出了结果。第4节包含从经验数据中获得的结果，第5节是结论。二、

方法我们假设股票价格和波动率都是随机演化的。如果我们不想对σ进行任何假设，我们也可以将等式（1）作为股票价格的起点。当然，人们可以使用自己认为合适的其他假设作为研究中时间序列的起点。在金融时间序列研究中，研究人员对波动性有各种定义。在我们的例子中，由于我们希望在不假设任何特定形式的情况下，使用一致的算法来评估等式（2）中的波动率σ，因此我们将其定义为局部函数，使得Ln的波动是该函数的乘积和应接近DW的波动分布的结果，即。，符合式（2）假设的维纳过程。如果要从不同的复杂系统研究时间序列，这将是一种通用算法。为了简单起见，我们在此假设u在所研究的时间序列中是一个常数。然后对整个时间序列进行平均，得到lnS的平均值。然后，我们从每个Lnsi中减去该平均值，其中i是时间序列s的第i个数据点（时间步长），新时间序列的平均值和有效u等于零。在下一步中，我们将寻找这个新时间序列的局部波动率σa。我们将寻找时间序列的局部波动率σ，这样资产回报时间序列（减去整个时间序列的平均值后）将是该局部波动率和尽可能接近维纳过程的过程的产物。重新构建的DWS与Aviener过程的偏差将被视为该时间序列与等式（2）定义的随机过程偏差的度量。

为了继续，我们当然可以进行优化搜索，将数据约束为尽可能接近维纳过程，并在数值上找到时间序列的经验局部波动率。这是非常耗时和高效的。因此，我们将分两步进行。在第一步中，我们使用Moving w indow方法计算时间序列的局部波动率σ。然后使用此函数作为起点，根据我们上面提到的约束条件执行优化搜索，以获得局部波动函数。要执行此步骤，请选择尺寸为N的移动窗口。我们将窗口放在资产收益序列的第一个事件上，通过将第一个事件的价值平方相加并将总和除以N来计算其波动性。然后，我们将窗口移动到第二个事件，并再次计算下一个事件的波动性，方法是将其值的平方相加，然后将总和除以N。我们重复同样的程序，直到完成对整个资产回收序列的扫描。事实上，一个人可以选择N作为一个可变数而不是常数。我们应该注意到，如果在维纳过程中只执行移动窗口平均值，而不进一步优化数据，那么产生的波动性函数分布将与对数正态分布显著不同。下一步是进行优化搜索，以获得所研究金融时间序列的经验局部波动函数。