基于技术交易规则的股票价格动态模型

因为参数的物理意义规则1-Grouptraders的交易强度是否更大意味着更高的交易活动，从而更快地收敛到稳定的波动性。图8：挥发性根据价格动力学模型（1）的蒙特卡罗模拟计算（m，n）=（1,5），w=0.01和  对于四种不同的初始条件：=, =, =和=.图9：挥发性根据价格动力学模型（1）的蒙特卡罗模拟计算，初始条件为（m，n）=（1,5），w=0.01=, 和五种不同的价值观-5 0 5 10 15 20 2500.020.04初始v（0）=0.001%v（t）-5 0 5 10 15 20 2500.020.04初始v（0）=0.01%v（t）的模型（1）的波动性v（t）-5 0 5 10 15 2500.020.04初始v（0）=0.1%v（t）-5 0 5 10 15 20 2500.020.020.04V（t）的随机游走模型（0）=0.001%和v（1-25-3%v（t）的波动性v（t）-251-210-210不同初始条件下a1=0.17的模型（1）的斜率=李雅普诺夫指数=0.74tlog（v（t））0 5 10 15 20 2510-610-510-410-310-210-1不同a1a1=0.12a1=0.17a1=0.22a1=0.27a1=0.32tlog（v（t））的模型（1）的波动率请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。现在，我们在下面的引理中导出了作为模型参数函数的Lyapunov指数L的数学公式。引理1：考虑价格动力学模型（1）-（4），其结构参数（m，n）=（1,5），w=0.01固定，强度参数为取图3中混沌范围内的值，生成混沌价格序列。

假设L是这样一个系统的李雅普诺夫指数，那么我们有大约 对于m=1和其他三个参数n，w和如果可以自由更改，则Lyapunovexponent大约由  这个引理的证明在附录中给出。六、 波动率作为模型参数的函数从图中的模拟结果中观察到了重要的变化。7到9是指无论初始条件是什么，挥发性总是在最少的步数后收敛到相同的常数，这个常数只取决于模型参数。对于图8的参数设置（（m，n）=（1,5），w=0.01，), 这个常数约为0.03。虽然波动率收敛的一般数学证明在这一点上，当t趋于无穷大时，常数    收敛到仅依赖于模型参数m，n，w和, 与初始条件无关.图10显示了收敛的波动率模型（1）产生的价格作为强度参数的函数对于某些固定的w和（m，n）=（1,5）。从图10我们可以看出小，收敛波动率为零；这与我们在第二节和第三节中的分析相一致，即在这种情况下，只有趋势跟随者与较弱的活动进行交易，以便价格收敛到某个常数（见图4；收敛价格序列的波动率为零）。像当进入混沌区时，收敛波动率突然急剧增加。

在混沌区，收敛波动率表现出复杂的行为：首先是作为, 然后是一个缓慢增加的函数，最后随着正在进入振荡区。在振荡区，收敛波动率是的线性递增函数.我们需要证明，例如，模型（1）的Frobenius-Perron算子[12]，[14]，[28]有一个唯一的不动点，可以从任何初始密度到达。图10：收敛波动率作为对于某些固定的w和（m，n）=（1,5）。类似地，图11绘制了收敛波动率作为频率参数w的函数. 从图11可以看出，当w非常小时，价格在振荡区和不随w变化；这可以从超额需求函数中理解 英菲格。1当w与, 这个i大于3w或小于-3w，以便 在…之间摇摆和,这给了. 随着w的增加，价格进入了混乱的区域，在那里回报较小（与大回报相比）在振荡区）发生的频率越来越高，导致.  在混沌区，聚合波动率当w变大时先减小，当w接近收敛区时再次增大。在从混沌区向融合区过渡的过程中，价格发生了剧烈的变化，导致价格急剧下降归零。无花果

11：聚合波动率作为w的函数，对于某些固定的0.0 0.0 0 0.35 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.35 0 0 0.4 0 0 0.45 0.0 0 0.500.010.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.050.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d（m，n）=（1,5）的波动率作为w的函数，且固定a1振荡超收敛参考请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。基于广泛的蒙特卡罗模拟，比如inFigs。10和11，我们得到了以下结果：结果1：考虑价格动力学模型（1）-（4），让是波动率的聚合值定义见（18）。对于（m，n）=（1,5）和 在图11的混沌区，我们得到了大约这是通过用基本正弦函数拟合图11混沌区的曲线得到的。由于波动通常收敛到稳定值很快（见图7至图9），我们可以大致了解过渡期并查看根据（21）计算，作为价格动态模型（1）生成的价格波动率。真实股票价格的一个重要类型化事实是波动聚集性（或波动持续性），即大（小）价格变化之后是其他大（小）价格变化[11]，[13]，[34]。波动率聚类可以很容易地根据（21）解释如下：因为波动率是交易强度参数的固定函数还有频率参数,  波动持续性只是模型参数缓慢时变特性的反映和（与快速时变的股票价格相比）。

考虑一下这样一种情况：一家公司宣布了一个好消息，人们纷纷买进这家公司的股票。显然，当更多的人了解到这一消息并准备好资金购买股票时，购买行动一般会持续一段时间；这将保留强度参数在某个大的值附近停留了一段时间，结果是挥发度。最后，我们证明了当模型处于振荡模式时，收敛波动率的公式。引理2：考虑价格动力学模型（1）-（4），其中m=1和其他三个参数n、w和你可以自由改变。假设在稳定状态下，价格在两个固定值之间振荡，则稳态价格的波动性由下式给出： 参数n，w，满足约束条件：其中int是take the integer运算符。证据：有回报在（16）中定义，模型（1）产生哪里这是最初的价格。使用近似公式对于小的，我们必须为larget(因为回报率为零，所以很小。）由于稳定状态下的价格在两个固定值之间波动，因此        有积极和消极的迹象，在哪里就是稳定状态的波动性。允许   . 从图1和（4）中我们可以看出，为了,  我们一定有 这给了; 这证明了（22）。替换进入状态 收益率（23）。

引理2表明当w非常大或w非常小时（如满足（23），稳态波动率仅取决于强度参数（如第（22）条所述）。这一现象由图中的模拟结果证实。10和11：在图10中，我们将其视为越来越大，三条不同w的曲线      ; 图11显示了五条不同的曲线     （与w无关）当w为verysmall时，图中的数字与公式一致.七、回报是什么不相关?随机游走模型（17）的一个基本假设是必须独立。现在我们问：有轮换吗 由ourchaoti生成   不相关    不相关方法我们知道如果在随机游走模型中（17）是不相关的，那么等于, 即。，因此，如果一些价格系列大约满足（25），我们可以认为这个价格序列的收益是不相关的。如果我们想用（25）来检查模型（1）产生的收益的相关性，第一个问题是如何计算期望值在第25页。鉴于我们的参考价格，请报：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。动态模型（1）是确定性的，模型产生的收益不是随机的，那么非随机变量的期望是什么意思？我们利用混沌系统的蝴蝶效应来解决这个问题。

也就是说，我们稍微改变初始价格，多次运行混沌模型，这样生成的价格序列被视为随机过程的不同实现。更具体地说，我们在初始条件下对价格动态模型（1）进行蒙特卡罗模拟,哪里是常数和是azero平均单位方差高斯随机变量（与我们对图6和图7中的模拟所做的相同），然后使用不同模拟运行的平均值作为期望值在第25页。允许价格是多少 模拟运行和Sis蒙特卡罗模拟的总数，将时间t内原木价格的下降定义为 那么我们说如果等于. 此外，将不相关距离定义为哪里是波动率和有很多人.图12中的三个子图绘制了漂移根据 模型（1）和相应随机游动漂移的模拟运行   对于 （顶部，带有 根据（21）计算，0.14（中间，带 根据（21）计算）和0.18（底部，带有 分别根据（21）计算（针对所有情况） 和（m，n）=（1,5））。从图12可以看出很小（图12的顶部子图），漂移增长速度超过（经济物理学语言中的超级扩散[9]，[11]）；像增加（图12的中间子图），漂移变得非常接近 （范数扩散）；最后当变大（图12底部的子图），漂移增长速度慢于 （次扩散）。

这种现象（超扩散、扩散和亚扩散）的原因如下。12是这样的：当力量相对于w，趋势跟随者占上风，因此价格倾向于朝同一方向移动（超级扩散），这导致较大的漂移；然后价格上涨变得更加混乱，达到混沌达到最大值（纯扩散），从而使收益变得不相关（非常接近);  最后此外，反对派正在占上风，使价格上涨倾向于振荡（次扩散），这使得漂移变小。图12：漂移（26）价格动态模型（1）和随机游走模型（17）的波动率相同的情况下 （顶部；超级扩散）， （中间；扩散）和 （底部；次扩散）。为了更详细地了解返回值与模型参数之间的相关性，我们在图13中绘制了（27）中定义的不相关DU的距离，作为对于（m，n）=（1,5）的固定w， 和. 类似地，图14绘制了一些固定时间内w函数与非相关函数之间的距离和（m，n）=（1,5）。从图13可以看出从很小的值开始增加，当模型从收敛区移动到混沌区时，du首先增加。然后进一步进入混沌区，价格变得越来越混乱，以至于DU开始下降。当DU曲线与零线相交时，混沌达到最大值，在这些相交点上，DU等于零，返回值不相关。

像此外，模型接近振荡区和漂移增量低于,  这会导致负DU。什么时候在振荡区内，价格在一些固定值和漂移之间振荡停止增长；在这种情况下，波动率趋于一致随时间线性增加根据引理2的（22），使DU进一步进入负决定论，如图13所示。图14可以用类似的方式进行解释。0 10 20 30 40 50 60 70 8000.10.2 a1=0.12（*直线）的随机游动d（t）模型（1）d（t）漂移d（t）和具有相同波动率的随机游动=0.02d（t）0 10 20 30 40 50 60 70 8000.10.20.3 a1=0.14（*直线）的随机游动d（t）模型（1）d（t）漂移d（t）和具有相同波动率的随机游动d（t）模型（1）d（t）漂移d（t）漂移d（t）为a1=0.14（*直线）和a1=0.023d（t）的随机游动对于相同的波动率=0.033d（t）t，请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。图13：到不相关（27）的距离作为对于某些固定棒（m，n）=（1,5）。图14：对于某些固定值，到不相关（27）的距离是w的函数和（m，n）=（1,5）。基于广泛的蒙特卡罗模拟，比如inFigs。13和14，我们得到以下结果。结果2：考虑回报 由（m，n）=（1,5）的价格动态模型（1）生成。如果强度参数频率参数w大致满足以下线性关系：然后他们回来了 与（27）中定义的不相关DU的距离几乎为零。在收益相关性研究中，另一个重要的标准是收益的自相关性。无花果

15显示了自动关联 在（m，n）=（1,5），w=0.01的价格动态模型（1）产生的收益中，注意到（26）用样本平均值定义，即平均值是在同一时间点上价格动态模型（1）的不同蒙特卡罗实现，而 在自动关联中 在PriceDynamic模型（1）的单个实现上计算。不同的 和  分别用于顶部、中间和底部子图形。从图15我们可以看到它很小 案例），收益率之间存在持续的正相关；这是由于以下趋势的主导作用：是相对于w.As而言的吗增加 例），自动相关性很快衰减为零，证实了模型生成的价格的混沌性质，也与实际股价一致[11]，[13]。图15：自相关性 由价格动力学模型（1）产生的收益（m，n）=（1,5），w=0.01和 （上图），（中间）， （底部）。八、奇异吸引子和厚尾分布混沌系统的相图，称为奇异吸引子，是说明混沌动力学的复杂性和有趣结构的有用方法。也许，对于普通人来说，著名的混沌系统最持久的记忆可能是它们五颜六色的奇怪吸引子，比如洛伦兹蝴蝶吸引子[31]。现在我们绘制价格动态模型（1）的相位图。图16在2D返回子空间中绘制了模拟运行的轨迹-vs-,  价格动态模型（1）（m，n）=（1,5）， 和.