基于技术交易规则的股票价格动态模型

3有两个不同的区域从收敛区到混沌区，从混沌区到振荡区，遗传性意味着价格不断上升到非常大的值或下降到零，因此模型不代表任何有意义的价格序列。图3:使价格轨迹趋同、发散、混乱或振荡。如果我们将收敛、混沌和振荡视为价格的三个稳定状态（对物质的固态、液态和气态进行类比），那么在从收敛到混沌以及从混沌到振荡的过渡阶段，看看价格会发生什么是有趣的。仿真结果表明，当参数变化很小。具体而言，图4显示了五种价格轨迹isabout离开收敛区（  和0.0498）。从图4可以看出从0.0497到0.0498的变化——仅为 , 趋同价格从大约414美元变化到72美元——相对变化为.图5显示了当进入振荡区( 和0.4）。我们从图5中可以看出 价格偏离到零；具有增加到 价格以一种更加缓慢和振荡的方式偏离到零；什么时候进一步增加至, 价格围绕某个值波动（5.8）；最后当当价格大到0.4时，价格围绕初始条件波动.图4：五种不同价格的价格轨迹 正在离开会聚区。无花果

5：四种不同产品的价格轨迹 正在进入振荡区。0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5004681012141618a1=0.39a1=0.26a1=0.049tp（t）p（t）对于a1=0.049（收敛），a1=0.26（混沌）和a1=0.39（振荡）0.3600.051收敛振荡发散混沌发散500 1000 1500 2000 2500 30001023004050607080A1=0.049a1=0.0495a1=0.0496a1=0.0497a1=0.0498tp（t）p（t）s当a1离开收敛范围0 100 200 300 500 700 800 9000268101214161820A1=0.365a1=0.38a1=0.39a1=0.4tp（t）p（t）s当a1进入振荡区时，请参考以下报价：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。三、 所有的平衡点都是不稳定的在这一节中，我们确定了价格动力学模型（1）的平衡点，并证明了所有的平衡点都是不稳定的。首先，我们回顾平衡和稳定性的定义（参见示例【15】）。以动力系统为例 哪里. 一点是（5）的平衡，如果, 所以如果那就花点时间福尔 . 平衡对于任何给定的条件，of（5）是稳定的 和存在 以至于Y||暗示| | ytY||尽管如此，tt1。如果平衡点是稳定的且.  为了找到价格动力学模型（1）的平衡点并研究其稳定性，我们首先将（1）转化为（5）的形式。考虑价格动态模型（1）。

决定性的,   ,  我们从（1）中得到了答案   哪里 是图1所示的模糊系统（3）和（4），  让我,  然后（6）变成（5）与也就是说，价格动态模型（1）变为（5）具有由（8）给出。下面的定理给出了这个模型的平衡。定理1：对于任何正数,  是价格动态模型（5）的均衡由（8）给出。证据：让我们对于一些t，我们需要展示.  自从暗示对于,  在（7）中，我们有和因此.  我们有 什么时候, 因此.  因此，从（5）和（8）中，我们得到.   定理1表明，任何价格如果n个连续的价格相等，则（任意正数）可以是一个均衡. 因此，价格动力学模型（1）有无限多个平衡点。

下面的定理表明所有这些平衡都是不稳定的。定理2：所有平衡点价格动力学模型（5）的由（8）给出的结果是不稳定的。证明：平衡点处（5）的线性化方程是 哪里  雅可比矩阵是在, 从（8）开始，我们有哪里 是n吗: 允许( 是的特征值,  然后我们从（10）中得到了答案 参考请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。因此.  标准线性化稳定性定理（参见[15]中的定理5.15）表示，如果至少有一个特征值(  在复平面的单位圆盘的外侧，然后是平衡它是不稳定的。所以如果我们能展示, 然后至少有一个  必须在装置盘和平衡盘之外它是不稳定的。从（11）、（7）和（4）中，注意到 和 处于平衡状态, 我们使用链式法则因为m<n和 是的，我们有证明了这个定理。正如导言中所讨论的，关于一般均衡理论的一般结论是，尽管可以证明均衡的存在，但均衡的唯一性和稳定性都不能成立。

我们的结果（定理1和定理2）与这些一般结论一致：存在无穷多个平衡点，所有这些平衡点都是不稳定的。然而，我们在第二节中看到，对于小型价格收敛到某个固定值（例如见图4）。也就是说，所有均衡点的不稳定性并不意味着模型产生的价格不会收敛到某个固定值。这是一个重要的观察，因为这种不稳定但收敛的现象似乎表明，为自然系统开发的经典稳定性概念可能不适用于社会系统（如股票市场）。为了使论点更清楚，我们考虑一个更简单的线性回报模型，如下所示。考虑一下简单的趋势跟踪或反转模型：其中a是一个正（趋势跟踪）或负（反转）数字。类似于定理1，对于任何正数,  是（14）的平衡点，因为,  （14） 保证总之.现在假设价格保持在某个平衡点在t=0之前，价格会上涨t=0时的百分比：. 然后从（14）我们可以很容易地得到 对于. 也就是说，对于一场骚乱当t=0时，价格将收敛到一个新的平衡点从旧的平衡如果. 我们看到新的收敛值取决于所有三个变量：旧的平衡, 模型参数 骚乱呢. 对于和 我们有,  这意味着平衡 由于任何小扰动，不可能渐近稳定将使价格永远远离均衡。

因此，我们对简单的趋势跟踪模型（14）得出了与Rems 1和2相似的结论：价格模型（14）有无限多个平衡点 无论如何所有这些均衡都是不稳定的，尽管价格总是收敛到（15）中给出的新均衡.由于经典的稳定性概念可能不适用于我们前面讨论的（1）和（14）等股票价格模型，我们可以引入一个新的稳定性概念，称为集稳定性，如下所示：是动力系统（5）的任意平衡点，如果收敛到一个新的平衡点在任何小麻烦之后当时围绕: ,  然后系统（5）被认为是稳定的。根据该定义，simpletrend跟随模型（14）在以下情况下设置为稳定：.  对于我们的价格动态模型（1），使用和,大量模拟（如图4所示）表明，如果.基于代理的价格建模文献[43]中的标准方法是将交易者分为两类：基于基本面做出投资决策的价值投资者，以及按照近期价格走势进行投资的趋势跟踪者。人们普遍认为，价值投资者是理性的，会将价格调整到其基本价值，而趋势跟随者则是天生的稳定者[33]。从我们上面对simpletrend following模型（14）的分析中，我们发现这种常见的趋势追随者的观点具有误导性。事实上，趋势跟随者将价格推离旧均衡，但只要趋势跟随行为的力度不太强，价格将收敛到（15）中给出的新均衡().

虽然这些旧的和新的平衡在古典意义上是不稳定的，但在平时，整个系统是相当稳定的() ---  价格只是根据不断变化的市场条件从一种价值转移到另一种价值。参考请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。四、 短期可预测性：混沌与随机的区别对混沌最丰富多彩的描述是蝴蝶效应——一只蝴蝶在香港搅动空气可以改变纽约的风暴系统【20】。这是在香港和纽约相距甚远的情况下。在香港，一只搅动空气的蝴蝶无法将风暴转化为邻国的风暴。从技术上讲，蝴蝶效应指的是混沌系统的一个特征，即初始条件的微小变化可以导致随着时间向前移动而产生非常大的变化。然而，假设我们从最初的时间开始只考虑几步，价格行为可能是相当可预测的。考虑具有初始条件的价格动态模型（1）-（4） 和,哪里是一个任意的正数（初始平衡价格），并且是时间零点的价格波动。允许是价格模型（1）产生的回报。将收益的动态演变形象化,  我们选择价格是一个随机变量，进行蒙特卡罗模拟。具体来说，让我们哪里是一个正常数是一个平均值为0，方差为1的高斯随机变量，我们运行了价格动态模型（1），使用不同的.  参数（m，n）=（1,5），w=0.01， 和, 无花果

图6显示了模拟结果，上图绘制了返回轨迹100次跑步（非常小），接下来的两个子图显示的是相同的和,分别，和（用于比较）底部的子图绘制返回值随机行走模型的100次模拟运行：具有,  和 对于.  从图6中我们可以看到混沌和随机之间的根本区别：混沌返回（前三个子图）从初始值逐渐变为稳定状态，而随机游走返回（后三个子图）在第一步中达到稳定状态，没有任何过渡期。图6：价格动态模型（1）（前三个子图）和随机游走模型（17）（下一个子图）在不同初始条件下的蒙特卡罗模拟（每个子图中有100条收益轨迹）。为了让情况更清楚，我们将时间t的波动性定义为：哪里价格是多少 模拟运行和S是蒙特卡罗模拟的总数；即。，是回报标准偏差的样本估计值时间t（平均值）由于超额需求函数的对称性，在混沌域中的价格假设为零).  对于图6中相同的蒙特卡罗模拟，相应的 如图7所示。从图7可以看出，波动性混沌模型（1）从初始值开始逐渐增大或 到某个稳定值（约0.03），而随机游走模型（17）的平均值达到稳定值  在第一时间点t=1时立即。

这里我们再次看到混沌和随机之间的区别：混沌模型的价格波动是短期可预测的，而随机游走模型的价格波动是不可预测的-5 0 5 10 15 20 25-0.100.1初始波动率v（0）=0.001%r（t）-5 0 5 10 15 20 25-0.100.1初始波动率v（0）=0.01%r（t）-5 0 5 10 15 20 25-0.100.1从100次初始波动率v（0）-0.01%r（t）-5 0 5 10 15 20 25-0.100.1从100次初始波动率v（0）=0.1%r（t）-5 0 0 5 10 15 20-0.100.1从100次随机游动模型中得到的回归r（t）=0.001%，v（1-25）=3%r（t）t参考请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。图7：挥发性根据图6中的蒙特卡罗返回轨迹计算。V.李雅普诺夫指数如前一节所述，混沌系统的关键特征是对初始条件的敏感依赖。在混沌理论文献[28]，[39]中，李雅普诺夫指数被用来量化这种敏感的依赖性。考虑两个相邻的初始条件，它们之间用一个小的量隔开,  让我是t步后两条轨迹的分离。如果对于某些正常数L，则称为Lyapunovexponent[39]，[42]。在两边都拿木柴我们有, 所以如果我们策划作为对数t标度中的函数，直线的斜率是Lyapunove指数。让兴趣变量为回报由具有初始条件的混沌动力学模型（1）-（4）生成和.

考虑一下附近的两个初始值和, 生成两个返回序列和,  分别地如果我们能证明在最初的几步中对于某个正常数L，那么L就是李雅普诺夫指数，因为连同 给予这意味着两条返回轨道的分离 满足.在推导李雅普诺夫指数L作为模型参数函数的数学公式之前，我们进行了一些模拟，以获得李雅普诺夫指数的感觉。根据定义（18），波动率是回报标准偏差的估计值基于蒙特卡罗模拟，我们使用了波动率作为回归的代表在计算李雅普诺夫指数时；也就是说，如果能证明, 那么，L是theLyapunov指数。因此，如果我们 相对于对数t标度中的t，那么直线的斜率给出了李雅普诺夫指数。图8在对数t标度中绘制了与图7相同的模拟结果（使用初始=). 通过测量图8中直线的斜率，我们得到了在这种情况下（模型（1），参数（m，n）=（1,5），w=0.01和).了解不同价值的股票的波动性如何变化,我们在图9中绘制了具有初始值的对数t标度中的挥发率v（t） = 和分别取0.12,0.17,0.22,0.27和0.32。从图9我们可以看出增加，theLyapunov指数（曲线的斜率） 曲线图）变得更大，这意味着波动率更快地稳定到稳定值。