律不变风险测度：可拓性与定性

（55）因此，ρQ，pis-Lipschitz在Lp上是连续的。现在我们来描述1≤ p<∞ 风险度量ρQ，∞允许有限价值的持续扩展到Lp。提议7.3。一个人≤ p<∞ 以下内容适用：（i）IfdQdP∈ Lp′，然后ρQ，∞允许对lp进行唯一的有限值连续扩展，由ρQ，p.（ii）IfdQdP6给出∈ Lp′，然后ρQ，∞不允许对Lp进行有限值连续扩展。证据由于（i）很容易从前面的引理得到，我们只需要证明（ii）。假设ρQ，∞允许有限合伙的有限值和连续扩展。自从∞Qis闭合，定理4.3意味着它必须具有关于Lp拓扑的非空内部。现在考虑一下线性函数v:L∞→ 定义的byV（X）：=X的等式[X]∈ L∞. （56）注意∞Q 五、-1([0, ∞)) 意味着V-1([0, ∞)) 具有关于Lptopology的非空内部。因此，V相对于该拓扑是连续的。因此，存在一个连续的线性函数Lp:Lp→ R扩展V。特别是，我们可以找到Z∈ Lp′使得所有X的e[XZ]=V（X）=V（X）=EQ[X]∈ L∞, （57）这意味着dqdp=Z几乎不存在。因此，dQdP∈ 这与假设相矛盾。因此，ρQ，∞不允许任何有限值和d，因此，Lp的持续扩展。立即设置Q:=supp′∈ [1, ∞) ;dQdP∈ Lp′. （58）以下结果表征了ρA的不确定性指数∞Q、 对于ρQ，∞, 这是提案7.3的直接后果。注释4.5确保了一般交易资产的延期。推论7.4。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞Q、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞Q、 S）=Q′，当且仅当ifdQdP∈ Lq。备注7.5。众所周知，最大相关风险度量是一种失真风险度量，参见[17]中的备注2.6。

因此，证明Corollary 7.4的另一种策略是在下一节中使用结果。然而，上述证明更直接、更简单。8失真风险度量在本节中，我们依赖于[15]中获得的现金加性失真风险度量的结果，并推导出不需要现金加性的一般风险度量的相应一致性指数。设δ：[0,1]→ [0，1]是满足δ（0）=0和δ（1）=1的凹增函数。为了X∈ L∞我们用fx表示X的分布函数。相应的失真风险度量是映射ρδ：L∞→ 定义为ρδ（X）：=Z-∞δ（FX（x））dx-Z∞(1 - x的δ（FX（x）））dx∈ L∞. （59）我们参考[11]中的第4.6节，了解有关此类风险度量的更多详细信息。众所周知，ρδ是一个相干的、定律不变的、现金相加的风险度量，因此相应的接受集aδ：={X∈ L∞; ρδ（X）≤ 0}（60）是定律不变性和一致性的。首先，我们描述了与接受集Aδ相关的一般风险度量仅为有限值时的特征∞.提议8.1。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞. 以下是等价的：（a）ρaδ，有限值，因此在L上是连续的∞;（b） δ（FST（x））<1，对于某些x>0。特别地，如果δ在左邻域1上严格增加，那么（a）成立。证据首先，注意Aδ在L中有非空的内部∞因为它包含了L的翻译∞+根据单调性，相应的内点是∈ L∞满足ρAδ（X）<0。通过结合[8]中的命题3.6和定理3.16，可以得出ρAδ在L上的值∞当且仅当St属于δ的内部。

因此，断言（a）相当于ρaδ（ST）=-Z∞(1 - δ（FST（x）））dx<0，（61），由于δ的单调性，它又等价于（b）。现在，定义：=su pP∈ [1, ∞) ;Z（δ′+（λ））pdλ<∞（62）其中δ′+表示δ的右导数。以下结果直接来自[15]中的命题2.22，并结合备注4.5。提议8.2。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρAδ为有限值。然后fin（ρAδ，S）=q′，指数为if，只有ifR（δ′+（λ））qdλ<∞.例8.3。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 并假设相应的风险度量ρAδ，是L上的有限值∞. [2]中讨论了以下畸变函数；s ee[15]。MAXVAR风险度量对应于x的畸变函数δ（x）=xγ∈ [0,1]和γ≥ 1.（63）直接计算表明fin（ρAδ，S）=γ，且未达到该指数。类似地，MINVAR风险度量对应于δ（x）=1-(1 - x） x的γ∈ [0,1]和γ≥ 1.（64）在这种情况下，fin（ρAδ，S）=1，并获得指数。MAXMINVAR风险度量与失真δ（x）=（1）有关-(1 - x） γ）x的γ∈ [0,1]和γ≥ 1.（65）自δ′（x）~ （γx）γ-1对于x→ 0，则得出fin（ρAδ，S）=γ，且未达到该指数。类似地，与δ（x）对应的MINMAXVAR风险度量=1.- (1 -x） γx的γ∈ [0,1]和γ≥ 1（66）表示fin（ρAδ，S）=γ，且未达到in-dex。我们还可以考虑畸变δ（x）=1.- (1 -x） βx的γ∈ [0,1]和β，γ≥ 1.（67）在这种情况下，根据[15]中的示例2.23，fin（ρAδ，S）=β，且未达到指数。例8.4。考虑δ（x）=log（2）log（1+x）形式的畸变函数∈ [0, 1] . （68）然后立即看到fin（ρAδ，S）=1，并且指数已达到。参考文献[1]比亚基尼，S。

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