律不变风险测度：可拓性与定性

如果ρA，则在L上取值∞, ρA的不确定性指数定义为：n（ρA，S）：=inf{p∈ [1, ∞) ; clp（A）在Lp}中具有非空内部。（19） 如果达到（19）中的最小值，并且我们设置p:=n（ρA，S），那么Lpis是存在有限值的最大空间，因此是ρA，S的连续扩展。因此，如果我们有兴趣保持风险度量的完整性和连续性，那么空间Lpis将被视为ρA，S的标准模型空间，凸、定律不变（现金加性）风险度量的标准模型空间并不总是L，而是取决于单个风险度量。如下图所示，前1页≤ P≤ ∞ 我们可以找到凸的、定律不变的、现金加成风险度量，其指数与p一致。特别是，这种类型的风险度量不能扩展到L之外∞因此，p保留了完整性和连续性。备注4.5。请注意，满足定理4.3假设的风险度量ρa的有限值连续扩展的存在不取决于支付的性质，而仅取决于接受集a的拓扑性质。一个重要的结果是，如果ρA，则L上的值为∞, 然后fin（ρA，S）=fin（ρA）。（20） 然而，ρA，Son L的完整性∞这取决于验收集和交易资产之间的相互作用，如我们的下一个例子所示，并在[8]中广泛记录。5定性稳健性在本节中，我们回顾了Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahlein[14]引入的定性稳健性概念，并讨论了与我们之前的结果之间的联系。考虑一个定律不变的接受集 L∞与之相关的现金加性风险度量ρa也具有法律不变性。如果我们用X定律来表示。

PX（A）：=P（X∈ A） 为了所有的博雷尔·塞萨 R、 和setM∞:= {PX；X∈ L∞}, （21）我们可以定义功能性RA:M∞→ R byRA（PX）：=ρA（X）。（22）金融机构的资本状况X通常通过一系列历史观察X、…、，xN∈ R、 数量RA（m），其中m表示这些观测值的经验分布，被用作ρa（X）的自然代理。Cont、Deguest和Scandolo在[4]中详细讨论了算子Raw的鲁棒性性质的重要性。基于该论文，最近[14]中提出了定性鲁棒性的概念，并在[15]中进行了进一步研究。设M表示R上任意u的（Borel）概率测度集∈ M不是狄拉克测度，我们可以关联一个非原子概率空间(Ohmu，Fu，Pu）支持i.i.d.r的序列（Xn），并将u作为其普通法则，例如参见[5]中的第11.4节。为了n∈ N、 X的经验分布，Xnis地图mun：Ohmu→ M∞定义为mun（ω）：=nnXi=1δXi（ω）∈ Ohmu，（23），其中δXi（ω）表示与单态{Xi（ω）}相关的标准狄拉克测度。此外，我们可以考虑由ω的a（mun）（ω）：=RA（mun（ω））给出的随机变量RA（mun）∈ Ohmu. （24）以下量化鲁棒性的概念是汉佩尔在[12]中引入的经典概念的推广。一个人≤ p<∞ 定义ψp（x）：=p | x | p，x∈ R、 回想一下[15]中的一组N M是一致p积分的iflimM→∞supu∈NZ{ψp≥M} ψp（x）du（x）=0。（25）定义5.1。

据说功能性RAis在M上具有p鲁棒性∞, 1.≤ p<∞, 如果对于任何uniformlyp积分集N M∞, u ∈ N和dε>0存在δ>0和N∈ N使得dp（u，ν）+ZRψp（x）du（x）-ZRψp（x）dν（x）≤ δ（26）意味着dpPuRA（mun），PνRA（mνn）≤ ε（27）表示ν∈ N和N≥ n、 其中dp表示M上通常的Prohorov度量。因此，如果M上的RAis p-robust∞, 然后，数据定律中的一个合理的小变化就意味着相应估计量定律中的一个任意小变化。备注5.2。如[14]和[15]所述，与汉佩尔在[12]中开发的经典框架不同，选择在Prohorov metricin（26）中添加一个额外的术语，其主要优点是使RA（u）对u的尾部行为敏感。事实上，在Prohorov度量下，或在任何度量下，在M上引入弱拓扑时，与L’evy度量一样，两个分布u和ν可能具有不同的尾部行为，但在度量方面相当接近。在这种情况下，定性稳健性将从根本上防止RAF在不同的尾部特征之间进行区分。有关Prohorov和L’evy度量的更多详细信息，请参阅[5]中的第11.3节。在[14]的基础上，同一作者在[15]中介绍了IQR定义的风险度量ρ的定性稳健性指数（ρa）：=（inf{p∈ [1, ∞) ; M上的RAis p-robust∞})-1.（28）通过结合[15]中的定理2.16和我们之前的定理4.3，我们得到了以下有趣的结果，证明了算子的定性稳健性，而不是接受集的拓扑性质。定理5.3。假设 L∞是一个凸的，定律不变的接受集≤ p<∞. 以下语句是等价的：（a）M上的RAis p-robust∞;（b） 中电（A）有限合伙公司内部非空。此外，我们还有IQR（ρA）=fin（ρA）。（29）在最后几节中，我们计算了几种风险度量的一致性指数。

作为上述定理的推论，从定性的角度来看，这些例子也很重要。6基于效用函数的风险度量在本节中，我们分析了基于预期效用的风险度量的不确定性指数。注：尽管[15]中对此类风险度量进行了处理，但并未证明其统计稳健性的结果。回想一下，一个非恒定函数u:R→ R∪ {-∞} 如果u是递增的和凹的，则称为效用函数。这意味着u从下面是无界的。在续集中，我们假设u表示自上有界的自性函数。每1≤ P≤ ∞ 和α级∈ R we setApu:={X∈ Lp；E[u（X）]≥ α}. （30）显然，这个集合是非空的当且仅当u（x）≥ sωx的α∈ R、 从现在开始我们假设。此外，在这种情况下，Apuis是一个凸的、定律不变的接受集。我们首先提供ρa形式的风险度量的特征∞u、 仅限有限价值∞.提议6.1。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞.（i） 假设你永远达不到价值-∞ 对于某些x，u（x）>α∈ R.那么以下是等价的：（a）ρa∞u、 Sis FINITE-v值，因此在L上是连续的∞;（b） P（ST=0）=0。（ii）假设u达到该值-∞ 或u（x）≤ α表示所有x∈ R.那么以下是等价的：（a）ρa∞u、 Sis FINITE-v值，因此在L上是连续的∞;（b） P（圣≥ ε） 对于某些ε>0的情况，为1。证据首先，我们证明ρA∞u、 斯奈弗拿走了价值-∞. 为此，Fix∈ L∞γ>0，P（ST≥ γ) > 0. 然后，由于u从下面是无界的，我们总是可以找到λ>0，这足够大了- λST）]≤ u（kXk∞- λγ）P（ST≥ γ） +supx∈Ru（x）P（ST<γ）<α。（31）这意味着X- λST/∈ A.∞uand，因此ρA∞u、 S（X）>-∞.为了证明（i），首先假设（a）成立，因此ρa∞u、 S(-ξ1Ohm) < ∞ 对于任何ξ>0的情况。

因此，对于每ξ>0，存在λ>0，使得u(-ξ） P（ST=0）+supx∈Ru（x）P（ST>0）≥ E[u](-ξ1Ohm+ λST）]≥ α . （32）由于u在下面是无界的，这只有在P（ST=0）=0，证明（b）时才可能。现在假设（b）有一个d取X∈ L∞. 因为对于某些x，u（x）>α∈ R和P（ST=0）=0，我们可以发现ε>0足够小，以获得UX+εST≥ Uε- kXk∞P（圣≥ ε） +u(-kXk∞) P（ST<ε）≥ α，（33）意味着ρA∞u、 S（X）<∞. 因此，（a）从ρa开始∞u、 任何人都能获得价值-∞.为了证明（ii），我们首先证明（b）总是意味着（a）。如果（b）成立，则仍然是L的一个内点∞, 因此ρA∞u、 根据[8]中命题3.1进行估值的定义。相反，假设（a）在u的条件下成立(-ξ) = -∞ 对于某些情况，ξ>0。在本例中，设置X:=(-ξ - 1)1Ohm注意，对于每个λ>0，存在ε>0，使得u(-ξ - 1 + λε) = -∞.现在，如果P（ST<ε）>0表示所有ε>0，这意味着[u（X+λST）]≤ u(-ξ - 1+λε）P（ST<ε）+supx∈Ru（x）P（ST）≥ ε) < α . （34）因此ρa∞u、 S（X）=∞, 矛盾的（a）。因此，我们必须有P（ST≥ ε） 对于某些ε>0的情况，大于0，所以（b）成立。最后，假设（a）成立，并且u由α从上方限定，并且集合x:=inf{x∈ Ru（x）=α}。此外，取ξ>-x、 自ρAu，S(-ξ1Ohm) < ∞, 存在λ>0使得E[u](-ξ1Ohm+ λST）]≥ α.但如果-ξ+λST≥ 几乎可以肯定的是，我在用P（圣≥ξ+xλ=1。如顺序（b）所示，总结证据。为了研究基于预期效用的风险度量的可拓性，我们首先需要研究相应接受集的拓扑结构。引理6.2。每1≤ P≤ ∞, 验收集APUI在Lp中关闭。证据为了证明apui在Lp中是闭合的，在apua中取一个序列（Xn）并假设Xn→ Lpasn中的X→ ∞. 自Xn以来→ X几乎可以肯定为n→ ∞, 直到传递到一个合适的子序列，它遵循u的连续性和Fatou引理，例如。

引理4.3.3在[5]中，thatE[u（X）]=E[lim u（Xn）]≥ lim sup E[u（Xn）]≥ α . （35）这表明X∈ 因此，Apuan关闭了Apuis。假设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞+因此，ρA为有限值，系数为1≤ p<∞.然后，通过定理4.3，我们知道ρA可以推广到一个有限值的连续风险度量onLpif，并且仅当clp（A∞u） 在Lp中具有非空的内部。因为，根据上述引理，clp（A∞u） 如果内部为空，那么ρA不能允许这样的扩展。下面的结果为Aputo提供了内部为空的条件。特别是，条件（ii）表明，这可能取决于效用函数的衰减行为- ∞ .引理6.3。修正1≤ p<∞ 并假设以下条件之一：（i）u（x）≤ α表示所有x∈ R（ii）limx→∞xpu(-x） =0。然后，在Lp中，Apuhas内部为空。证据（i） 以X为例∈ APU和r>0。选择P（|X |<γ）>0的最后一个γ>0，然后选择ξ>0，例如u（γ）- ξ) < α. 自从(Ohm, F、 P）是非原子的，我们发现 P（A）<rpξP的{X |<γ}集合nowY:=（X）- ξ） 1A+X1Ac，注意kX- Y kpp=ξpP（A）<rp。此外，E[u（Y）]=E[u（X- ξ） 1A]+E[u（X）1Ac]≤ u（γ）- ξ） P（A）+αP（Ac）<α。（36）因此，在X的每个邻域中都存在一些不属于Apu的元素。因为X是任意的，这意味着内部是空的。（ii）以X为例∈ Apu∩ L∞所以u（kXk∞) ≥ E[u（X）]≥ α、 fix r>0。很容易看出，通过假设，我们可以找到一个足够大的ξ>0，即0≤u（kXk∞) - αu（kXk∞) - u（kXk∞- ξ） <rpξp<1。（37）因此，取λ∈ （0,1）有u（kXk∞) - αu（kXk∞) - u（kXk∞- ξ） <λ<rpξp（38）我们得到了ξpλ<rp和λu（kXk）∞- ξ) + (1 - λ） u（kXk∞) < α . （39）自(Ohm, F、 P）是非原子的，对于合适的A，P（A）=λ∈ 现在，考虑随机变量y:=（X- ξ） 1A+X1Ac。显然，kX- Y kpp=ξpP（A）<rp。此外，由于（39），weobtainE[u（Y）]≤ P（A）u（kXk）∞- ξ） +P（Ac）u（kXk）∞) < α .

（40）这意味着X不是Apu的内部点。因此，通过L的密度∞在LPU中，我们可以断定APUH内部是空的。下面的结果紧跟在引理6.3之前的讨论之后。推论6.4。假设u（x）≤ α表示所有x∈ R或u达到了价值-∞. 然后，对于任何交易资产S=（S，ST）和ST∈ L∞使得ρA，在L上为有限值∞, 我们有n（ρA）∞u、 S）=∞.备注6.5。作为实现该值的效用函数的示例-∞ 我们可以考虑cappedlog——formu（x）的实用程序：=如果x≥ 阻塞（1+x）如果0≤ x<c-∞ 如果x<0（41），则固定常数c>0且c=log（1+c）。鉴于推论6.4，我们假设在本节的其余部分，u是有限值的，对于某些x，u（x）>α∈ R.在这个假设下，我们可以将定理4.3定义如下。定理6.6。（i） 任何一个≤ p<∞ 我们有中电（A）∞u） =Apu。（ii）设S=（S，ST）为与ST交易的资产∈ L∞. 假设ρA∞u、 有限值，因此在L上是连续的∞, 和Fix 1≤ p<∞. 以下陈述是等价的：（a）ρa∞u、 可以扩展到有限合伙人的有限价值持续风险度量；（b） Apuhas在Lp中为非空内部。在这种情况下，扩展是唯一的，由ρApu，S.Proof给出。根据定理4.3，足以说明第（i）部分。为此，由于Apuis关闭了byLemma 6.2，我们只需要证明任何元素X∈ Apuis是元素在a中的适当序列（Xn）在LPU中的极限∞u、 现在，以X为例∈ Apu。因为有x∈ 如果u（x）>α，我们可以找到Y∈ lpe[u（Y）]>α。然后，设置zλ：=λX+（1- λ） Y代表λ∈ （0，1），u-yieldsE[u（Zλ）]≥ λE[u（X）]+（1- λ） E[u（Y）]>α。（42）自Zλ→ Lpasλ中的X→ 1，这表明我们可以假设E[u（X）]>α而不丧失一般性。现在，假设X几乎肯定是从下方有界的，并设置Xn:=X1{X≤n}∈ L∞对任何人来说∈ N.然后α<E[u（X）]=E[u（Xn）]+E[u（X1{X>N}）]。

（43）由于u是从上面有界的，我们有E[u（X1{X>n}）]→ 0作为n→ ∞ 通过控制收敛，对于足够大的n，henceE[u（Xn）]>α∈ 特别是，我们最终有了Xn∈ A.∞u、 这表明X∈ 中电（A）∞u） 因为Xn→ Lpas n中的X→ ∞.最后，假设X几乎肯定不是从下方有界的，并定义每个n∈ N随机变量xn:=X1{X≥-n}∈ Lp。很明显，Xn→ Lpas n中的X→ ∞. 此外，E[u（Xn）]≥ E[u（X）]>α表示alln∈ 由于每个Xn几乎肯定是从下方有界的，我们可以根据前面的论证得出结论Xn∈ 中电（A）∞u） 对任何人来说∈ N所以X∈ 中电（A）∞u） 。指数效用不确定性指数可能是∞ 即使你永远无法实现价值-∞. 为此，我们考虑了指数效用函数u（x）：=1- E-γx，x∈ R、 对于某些fix-edγ>0。以下结果显示了L∞基于预期的指数效用，不允许对任何LPS空间进行有限值的连续扩展，1≤ p<∞.推论6.7。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞u、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞u、 S）=∞.证据任何一个≤ p<∞ 我们有Limx→∞xpu(-x） =limx→∞xp1- eγx=0。（44）因此，引理6.3意味着Apui的内部是空的，因此ρA∞u、 SDO不允许对LPTH eorem 6.6进行任何限定值的连续扩展。平功率利用率我们现在展示了我们可以在L上定义凸风险度量∞其指数等于规定的1≤ q<∞. 为了实现这一效果，请记住，单位（x）定义了流量效用函数：=-|x | qif x<00如果x≥ 0（45）其中1≤ q<∞.推论6.8。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞u、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞u、 S）=q，并获得指数。证据首先，注意e[u（X）]=-kX∧ 0kqqforall X∈ L

（46）因为我们假设某些x的u（x）>α∈ R、 在本例中，这意味着α<0。为了p≥ q地图U:Lp→ 定义的byU（X）：=E[u（X）]代表X∈ Lp（47）很容易被认为是连续的。因为Apucontains非空的，开放的集合U-1((α, ∞)), 它必须有非空的内部，因此fin（ρA∞u、 （S）≤ 根据定理6.6。特别是，注意ρA∞u、 可以扩展到Lq上的有限值连续风险度量。如果p<q，则立即看到该极限→∞xpu(-x） =- 利克斯→∞xp-q=0。（48）因此，Apuis的内部由引理6.3清空，因此fin（ρA∞u、 （S）≥ q作为REM 6.6的一个补充。在结论中，fin（ρA∞u、 S）=q，并获得指数。非H ARA实用程序的一个示例在本节中，我们重点介绍实用程序函数u（x）：=如果x≥ ca（1+ax）-√1+ax）如果x<c（49），对于固定参数a>0和c≥ 0，C=a（1+ac-√1+ac）。[13]的第2.2.2节中提出了无上限版本，作为指数效用的一种可处理替代方案，如果人们希望对负财富的惩罚不那么严厉的话。下面的结果表明，相应的风险度量总是可以扩展到L.推论6.9。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞, 假设ρA∞u、 Sis FINITE是有价值的。然后fin（ρA∞u、 S）=1，并获得指数。证据定义地图U:L→ R通过设置u（X）：=E[u（X）]表示X∈ L.（50）因为U是凹的且是递增的，所以根据[1]中的定理1，它是连续的。因此，AU有一个非空的interior，因为它包含非空的、开放的s et U-1((α, ∞)).

总之，定理6.6意味着fin（ρA∞u、 S）=1，并且该指数明显达到。7最大相关风险度量在本节中，我们提供了由R¨uschendorf在[17]中引入的、由Ekeland和Schachermayer在[6]中以及byEkeland、Galichon和Henry在[7]中研究的所谓最大相关风险度量的不确定性指数的特征。考虑Q上的一个概率度量(Ohm, F） 对于P来说，这是绝对连续的≤ P≤ ∞ 这就是DQDP吗∈ Lp’并定义最大相关风险度量ρQ，p:Lp→ R∪{∞} 通过ρQ，p（X）：=s upE[-XY]；Y~dQdP为了X∈ Lp。（51）根据[3]中的定理13.4，对于任何X∈ L∞我们有等价的（更常见的）公式ρQ，p（X）：=supX′~XEQ[-X′代表X∈ Lp。（52）与ρQ相关的接受集，由apq给出：={X∈ Lp；ρQ，p（X）≤ 0} =十、∈ Lp；E[XY]≥ 0, Y~dQdP. （53）显然，阿普奇定律是不变的和相干的，即凸锥。我们首先展示风险度量ρA的时间∞Q、 在L上估值的Sis FITE∞.提议7.1。设S=（S，ST）是与ST交易的资产∈ L∞. 以下是等价的：（a）ρa∞Q、 Sis FINITE-v值，因此在L上是连续的∞;（b） infZ~STEQ[Z]>0。证据自从∞Qi是一致的，根据[8]中的命题3.6和定理3.16，（a）等价于作为a的内点的St∞Q.通过现金附加风险度量ρQ的连续性，∞, 这等于ρQ，∞（ST）<0，结束证明。在证明最大相关风险度量的扩展结果之前，我们需要以下引理。引理7.2。让我≤ P≤ ∞ 假设dqdp∈ Lp′。然后是ρQ，pis fine值，因此是continuouson Lp。证据为了X∈ Lpwe有|ρQ，p（X）|≤ kXkpdQdPp′（54）使得ρQ，p在Lp上取值。此外，对于任何X，Y∈ Lpwe有ρQ，p（X）≤ ρQ，p（X）-Y）+ρQ，p（Y）的次可加性，因此，|ρQ，p（X）- ρQ，p（Y）|≤ kX- Y kpdQdPp′。