律不变风险测度：可拓性与定性

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英文标题：
《Law-invariant risk measures: extension properties and qualitative
  robustness》
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作者：
Pablo Koch-Medina, Cosimo Munari
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We characterize when a convex risk measure associated to a law-invariant acceptance set in $L^\\infty$ can be extended to $L^p$, $1\\leq p<\\infty$, preserving finiteness and continuity. This problem is strongly connected to the statistical robustness of the corresponding risk measures. Special attention is paid to concrete examples including risk measures based on expected utility, max-correlation risk measures, and distortion risk measures.
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中文摘要：
我们刻画了与$L^\\infty$中的定律不变接受集相关联的凸风险度量何时可以扩展到$L^p$，$1\\leq p<\\infty$，从而保持有限性和连续性。这个问题与相应风险度量的统计稳健性密切相关。特别注意具体示例，包括基于预期效用的风险度量、最大相关风险度量和失真风险度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Law-invariant_risk_measures:_extension_properties_and_qualitative_robustness.pdf (242.78 KB)

2022-5-5 10:15:09 上传

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关键词：Qualitative acceptance Robustness Properties Invariant

法律不变风险度量：可拓性和定性稳健性*苏黎世大学银行与金融系Pablo Koch MedinaDepartment of Banking and Finance，SwitzerlandSimo Munari，ETH Zurich，SwitzerlandJanuary 92014摘要我们刻画了当与法律不变接受集相关的凸风险度量在∞可以扩展到Lp，1≤ p<∞, 保持完整性和连续性。该表与相应风险度量的统计稳健性密切相关。特别关注具体示例，包括基于预期效用的风险度量、最大相关风险度量和失真风险度量。关键词：风险度量的扩展、接受集、法律不变性、统计可靠性、预期性、最大相关风险度量、失真风险度量SC:91B30、91G801简介本文的目的是补充Filipovi’c和Sv indland的论文[10]。这篇论文的主要结果是定理2.2，它指出每一个凸的、定律不变的、下半连续的映射F:L∞→ R∪ {∞} 可以唯一地扩展到满足相同属性的映射。从这个意义上说，LCA可以被视为这类映射的规范空间。文[10]给出了结果*感谢SNF项目51NF40-144611“保险公司的资本充足率、估值和投资组合选择”的部分支持。电子邮件：巴勃罗。koch@bf.uzh.chEmail：科西莫。munari@math.ethz.chin标准概率空间的上下文，但可以扩展到非原子设置，如Vindland[18]所示。[10]中的作者主要关注他们的结果在加性风险度量中的应用。众所周知，对L∞是自动确定值且（Lipschitz）连续的。

众所周知，现金增加了Lp的风险度量，1≤ p<∞, 不需要是固定值或连续值。因此，以下两个问题自然而然地出现了：现金加成风险何时衡量L∞对于给定的1，承认一个有限值的持续扩展到LPL≤ p<∞, 那么，这种扩展存在的“最大”空间是哪个？我们提供了上述问题的完整答案，描述了L上定义的凸性、法律不变性、现金加性风险度量∞这可以扩展到保持完整性和连续性的LPS空间。事实上，在Farkas、Koch Medina和Munari在[8]中研究的更一般的风险度量环境中，主要结果提供了一个特征，其中不需要现金相加。更准确地说，我们证明了有限连续扩张的存在依赖于底层接受集的性质。特别注意几个具体的例子，包括基于预期效用的风险度量、最大相关风险度量和失真风险度量。这些例子表明，如果要保持一致性和连续性，凸、定律不变量风险度量的“规范”模型空间并不总是Lb，但可以是任何空间Lp，1≤ P≤ ∞. 特别是，还有一些（即使是现金添加剂）风险度量不能扩展到L之外∞保持完整性和连续性。前面的问题与Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahle在[15]中讨论的风险度量的统计稳健性密切相关，突出了我们的结果和示例的实际相关性。

事实上，当实施风险措施以确定金融机构的资本充足率要求，或中央交易所参与者的保证金要求时，其统计稳健性对于保证相应的资本要求相对于基础头寸分布的微小变化是稳定的至关重要。在这方面，你的例子可以被看作是对[15]的补充。2.初步假设X是r w上具有正锥X+和拓扑对偶X′的有序拓扑向量空间。空间X表示金融机构在未来固定日期t=t的所有可能资本头寸（资产与负债之和）。我们假设 X是一个接受集，即满足a+X的X的一个非空的适当子集+ A.我们将A的要素解释为外部或内部“监管机构”认为可接受的资本头寸。此外，设S=（S，ST）表示交易资产，在时间t=0时，价格S>0，在时间t=0时，价格n为零，终端支付∈ 时间t=t时的X+。与A和S相关的风险度量是mapρA，S:X→定义为ρA，S（X）：=infM∈ RX+mSST∈ A.. （1） 对于位置X∈ X，数量ρA，S（X）代表需要筹集和投资于资产S以保证可接受性的“最小”资本量。显然，负ρa，S（X）意味着资本被返还给股东。[8]详细讨论了研究此类风险度量的动机，其中还提供了关于确定性和连续性的一般结果。我们对X是Banach空间Lp，1的情况特别感兴趣≤ P≤ ∞, 定义过概率空间(Ohm, F、 P），我们假设它是非原子的。相应的g范数用k·kp表示。

当附加了规范序结构，即X时，sp ace LPA变成了一个Banach晶格≥ 只要这种不平等性几乎可以肯定地成立。p的共轭将由p′表示，即我们设置p′：=p1-p、 当X=lp时，对于某些1≤ P≤ ∞, 我们可以考虑与现金资产相关的风险度量ρA=（1,1）Ohm). 这些风险指标被称为现金添加剂。当p=∞. 对于现金附加风险度量，我们只需写X∈ LpρA（X）：=ρA，S（X）=inf{m∈ RX+m∈ A}。（2） 请注意，我们的一般设置还允许交易资产S=（S，ST）具有任意、正、随机的支付。因此，我们也可以涵盖不存在无风险安全性的情况，如[8]中所述。3一般扩展理论在本节中，我们提供了ρA，S形式的风险度量的关键扩展结果。尽管我们的主要兴趣在于LPS空间上的凸风险度量，为了突出OUR结果的底层结构，我们首先研究了抽象有序拓扑向量空间中的扩张定理。这一部分L和d S将表示R上的两个序拓扑向量空间，分别具有正的L+和S+。我们假设S是L的稠密子空间。因此，除了它自己的拓扑之外，空间S还可以配备由L导出的相对拓扑，我们称之为L拓扑。此外，由于L上的每一个泛函都可以被限制为S上的一个泛函，我们也可以考虑S上的弱拓扑σ（S，L′），在这里，通过滥用符号，我们不区分泛函L和它们对S的限制。在下一节中，我们将取L=Lp，约为1≤ p<∞, andS=L∞.下面的定理是我们的主要结果。对于一个s ubset a 我们用clL（A）表示关于L上拓扑的Aw的闭包。定理3.1。

让我们 S是凸的，σ（S，L′）闭接受集，S=（S，ST）是带ST的交易集∈ S+。假设ρA是S上的有限值且连续。以下陈述是等效的：（a）ρa，可以扩展为L上的有限值连续风险度量；（b） ρA，Sis关于L-拓扑在0处是连续的；（c） A关于L-拓扑具有非空内部；（d） clL（A）在L中有非空的内部。在这种情况下，扩张是唯一的，并且由ρclL（A），S决定。在证明定理3.1之前，收集一些辅助结果是有用的。对偶表示与连续子空间X是R w上具有正锥X+和拓扑对偶X′的有序拓扑向量空间。用X′+表示所有泛函的集合ψ∈ X′满足ψ（X）≥ 每X为0∈ X+。我们首先说明ρa形式的凸风险度量的对偶表示结果，这是一个便于我们使用的版本。子集a的（下）支持函数 X是σA:X′的映射→ R∪{-∞} 定义为σA（ψ）：=infA∈Aψ（A）。（3） 挫折（A）：={ψ∈ X′；σA（ψ）>-∞} （4） 被称为障碍物圆锥体。显然，集合的支持功能 X总是与其闭包的支持函数一致。将[9]中的推论4.14和定理4.16结合起来，我们得到以下结果。引理3.2。让我们 X是一个封闭的凸接受集，S=（S，ST）是一个交易资产，setX′+，S:={ψ∈ X′+；ψ（ST）=S}。（5） 那么以下陈述是相等的：（a）ρa，sat包含一些有限值；（b） ρA，s未达到该值-∞;（c） X′+，S∩ B（A）是非空的。在这种情况下，每X∈ 我们有ρA，S（X）=supψ∈X′+，S{σA（ψ）-ψ（X）}。（6） 备注3.3。稍后，我们将把这个结果应用于X要么是L，带有它自己的拓扑，要么是S，带有σ（S，L′）拓扑的情况。

因为这两个空间都有相同的对偶L′，我们看到对于子集a SσA（ψ）=所有ψ的σclL（A）（ψ）∈ L′，（7）其中σAis适用于ψ的限制∈ 我要去。特别是交叉点L′+，S∩ B（A）非空当且仅当L′，S∩B（clL（S））也是非空的。我们现在回顾ρa形式的风险度量在X上连续的一个必要和充分条件。关于证明，我们分别参考文献[8]中的引理2.5和定理3.10。引理3.4。让我们 X是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。（i） 如果ρA，Sis在某个点X是连续的∈ 带ρA的X，S（X）<∞, 那么A的内部是非空的。（ii）假设A是凸的且内部非空。那么ρA是连续的，只要它是单位值。定理3.1假设（a）的证明，即ρa，是L上有限值连续映射的一个推广。很明显，ρA，Smust对于L-拓扑也是连续的。因此（b）项成立。让（b）保持不变，使得ρA，Sis相对于L-拓扑在0处是连续的。由于ρA在0处是有限的，引理3.4意味着相对于L-拓扑，A必须具有非空的内部，因此（c）成立。现在，假设（c）成立，使得A相对于L-拓扑具有非空的内部w。因此，我们找到了L的一个开放子集U，使得U∩s A.因为S在L中是稠密的，而U在L中是开放的，所以我们有U∩ S为非空且clL（U）=clL（U∩ S）。（8） 因此你 clL（U）=clL（U∩ （S） clL（A），（9）证明了clL（A）在L中有非空的内部，因此（d）成立。最后，假设（d）成立，即clL（A）在L中有非空的内部。

由于A是凸的，σ（S，L′）是闭的，ρA是S上的有限值，引理3.2表示L′，S∩ B（A）是非空的，dρA，S（X）=supψ∈L′+，S{σA（ψ）-ψ（X）}（10）每X∈ s特别地，它遵循L′+，S∩ 根据R emark 3.3，B（clL（A））是非空的，因此我们可以再次应用lma 3.2来获得ρclL（A），S（X）=supψ∈L′+，S{σclL（A）（ψ）-ψ（X）}=supψ∈L′+，S{σA（ψ）- ψ（X）}（11）对于所有X∈ L这表明ρclL（A）趋向于ρA，Sto整个L。我们认为ρclL（A）是有限值且连续的。实际上，首先要注意的是，通过引理3.2，映射ρclL（A）不能取这个值-∞. 现在考虑凸集d:={X∈ LρclL（A），S（X）<∞} = {X∈ LρclL（A），S（X）∈ R} 。（12） 自clL（A）以来 D、 D的内部是非空的。现在，假设存在X∈ 我知道。在这种情况下，通过标准分离参数，我们找到了一个非零ψ∈ L′使得ψ（X）≤ ψ（Y）对于每个Y∈ D由于ρA是有限值，集合D包含子空间S。因此，ψ必须湮灭沙子，因此，通过密度，整个L。这是不可能的，因为ψ是非零的。因此，D=L表示ρclL（A）是有限值，并且通过引理3.4，在L上是连续的。因此（d）小鬼说谎（a）。我们通过观察ρA的任何连续延拓得到定理3.1的证明，因为S在L中是稠密的。4.Lpspaces上风险测度的延拓我们现在将定理3.1应用于形式为ρA，Son Lpspaces的风险测度，当基础接受集A是凸的且定律不变时。回想一下，一套 LPX称为定律不变量∈ 小麦~ 来点吧∈ A.这里，我们写X~ Y表示X和Y具有相同的定律。类似地，图f:Lp→当f（X）=f（Y）时，R称为定律不变量~ Y备注4.1。回想一下，每一个闭的、凸的、定律不变的集合 L∞对于σ（L）也是封闭的∞, Lp）-任意1的拓扑≤ P≤ ∞.

Jouini、S chachermayer和Touzi首先在标准概率空间的背景下展示了这一性质，参见[16]中的备注4.4，随后Svindland将其扩展到一般非原子空间，参见[18]中的命题1.2。备注4.2。考虑一个不变的定律 L∞交易资产S=（S，ST）。很明显，只要支付是确定的，风险度量ρA也是定律不变的。特别是，如果A是定律不变的，那么现金加性风险度量eρAis总是定律不变的。然而，如果性传播感染真的是随机的，则不必如此，如以下重要示例所示。1.X的风险价值和尾部风险价值∈ L∞在0<α<1的水平上，分别定义了byVaRα（X）：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α} ，（13）TVaRα（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。（14） 众所周知，例如[11]，两者都是法律不变的现金加性风险度量。此外，TVaRα通常是相干的，而VaRα一般不是凸的。特别是，我们可以考虑基于αAα：={X水平的风险尾值的定律不变量接受集∈ L∞; TVaRα（X）≤ 0} . （15） 我们认为ρAα，Sis决不是无规律不变的STis是确定性的，在这种情况下ρAα，Sis只是TVaRα的一个倍数。为了了解这一点，假设STI不是确定性的，因此存在γ>γ>0，其中P（ST≤ γ） >0和P（ST≥ γ) > 0. 自从(Ohm, F、 P）是非原子的，我们可以找到可测量的集合A {ST≤ γ} andB {ST≥ γ} 满足P（A）=P（B）=P且0<P<1- α. 现在设定C=（A∪ B） 注意P（C）=1- 2便士。对于-γ< λ < -γwe定义：=λ1A- STCand Y:=λ1B- STC。（16） 那么显然是X~ Y我们现在证明ρAα，S（X）>S≥ ρAα，S（Y），意味着ρAα，Sis notlaw不变量。事实上，首先请注意Y+≥ 所以ρAα，S（Y）≤ 现在取m<0。然后p（X+ST+m<0）≥ P（A）+P（C）=1- p>a，（17）意味着VaRβ（X+ST）≥ 0表示所有0<β≤ α，因此，TVaRα（X+ST）≥ 0

此外，如果0≤ m<-λ -然后是P（X+ST+m<0）=P（A）=P，因此是VaRβ（X+ST）≥ -λ -γ> 0每当0<β<p时，TVaRα（X+ST）>0，表明ρAα，S（X）>Sas。2.有时ρA，Sis定律不变，即使sti不是确定性的。例如，考虑law集：={X∈ L∞; E[X]≥ α} （18）在哪里∈ R.由于ρA，S（X）=SE[ST]（α）- E[X]）对于任何X∈ L∞, 风险度量ρA，Sis lawinvariant r egardless对交易资产S的选择。以下结果提供了与凸的lawinvariant接受集相关的风险度量的一般扩展结果。如果 L∞, 我们用clp（A）表示Lp，1中A的闭包≤ p<∞. 请注意，对于1，每个有限值风险度量ρA，Son Lp≤ P≤ ∞, 当[1]中的定理1给出一个凸时，它是自动连续的。定理4.3。让我们 L∞是一个凸的、定律不变的接受集，考虑交易资产=（S，ST）和ST∈ L∞. 假设ρA为有限值，因此在L上是连续的∞. 每一个人≤ p<∞, 以下陈述是等效的：（a）ρa，可以扩展到有限合伙人的有限价值连续风险度量；（b） 如果（Xn） L∞和Xn→ Lp中的0，然后ρA，S（Xn）→ ρA，S（0）；（c） cl∞（A）具有关于Lp拓扑的非空内部；（d） 中电（A）有限合伙公司内部非空。在这种情况下，扩展是唯一的，并且由ρclp（A）证明。由于ρA，假设Sis在L上是连续的∞, 我们有ρA，S=ρcl∞（A），Sby引理2.5 in[8]。请注意，cl∞（A）仍然是凸的和不变的。实际上，ρAis定律不变量和cl∞（A）包括所有X∈ L∞使得ρA（X）≤ 因此，该定理源自定理3.1和定理4.1。根据定理4.3，定义风险度量ρa的不确定性指数是很自然的，定义如下：定义4.4。让我们 L∞是一个凸的、定律不变的接受集，考虑交易资产=（S，ST）和ST∈ L∞.