残疾保险中的风险聚集与随机索赔准备金

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英文标题：
《Risk aggregation and stochastic claims reserving in disability insurance》
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作者：
Boualem Djehiche and Bj\\\"orn L\\\"ofdahl
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider a large, homogeneous portfolio of life or disability annuity policies. The policies are assumed to be independent conditional on an external stochastic process representing the economic-demographic environment. Using a conditional law of large numbers, we establish the connection between claims reserving and risk aggregation for large portfolios. Further, we derive a partial differential equation for moments of present values. Moreover, we show how statistical multi-factor intensity models can be approximated by one-factor models, which allows for solving the PDEs very efficiently. Finally, we give a numerical example where moments of present values of disability annuities are computed using finite difference methods and Monte Carlo simulations.
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中文摘要：
我们考虑一个大型、同质的人寿或残疾年金政策组合。假设这些政策独立于代表经济人口环境的外部随机过程。利用条件大数定律，我们建立了大型投资组合的索赔准备金和风险集合之间的联系。进一步，我们推导了一个关于现值矩的偏微分方程。此外，我们还展示了如何用单因子模型来近似统计多因子强度模型，从而可以非常有效地求解偏微分方程。最后，我们给出了一个使用有限差分法和蒙特卡罗模拟计算残疾年金现值矩的数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Risk_aggregation_and_stochastic_claims_reserving_in_disability_insurance.pdf (367.05 KB)

2022-5-5 11:07:27 上传

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关键词：准备金 Differential Applications Quantitative Aggregation

残疾保险中的风险聚集和随机索赔准备金Boualem Djehiche*Bj"orn L"ofdahl+2021年8月26日摘要我们考虑一个大型、同质的人寿或残疾年金政策组合。假设这些政策独立于代表经济人口环境的外部随机过程。利用条件大数定律，我们建立了大型投资组合的索赔准备金和风险集合之间的联系。进一步，我们推导了一个关于现值矩的偏微分方程。此外，我们还展示了如何用单因子模型来近似统计多因子强度模型，这非常有效地解决了偏微分方程。最后，我们给出了一个数值例子，其中使用有限差分法和蒙特卡罗模拟计算残疾年金现值的矩。条件独立性，随机累积风险，模拟伤残保险。1简介即将到来的Solvency II监管框架给保险业带来了许多新的挑战。特别是，新的规定表明，在保险产品的估值和风险管理方面有一种新的思维方式。历史上，保费和服务费是在假设死亡、残疾开始、恢复等潜在过渡强度具有确定性的情况下计算的。虽然估算应谨慎，但这仍然意味着系统风险，即因未来危险率发展的不确定性而产生的风险未被考虑在内。这可能会对定价和资本费用产生影响。

在Solvency II标准模型中，资本费用使用基于情景的方法计算，资本费用是最佳估计假设下的现值与特定冲击情景下的现值之差。作为替代方案，保险公司可以采用内部模型，该模型应基于风险价值法。面对这些挑战，出现了大量的随机强度模型，尤其是用于模拟死亡率的模型。然而，这些工作主要集中在一个校准或在一个合适的市场隐含措施下为单一政策定价。风险管理方面基本上没有受到影响，尽管存在一些值得注意的问题*瑞典皇家技术学院数学系，boualem@kth.se.+瑞典KTH皇家理工学院数学系，bjornlg@kth.se.exceptions.Dahl[8]在单因素随机强度模型下推导了一类广泛的生命衍生产品的定价偏微分方程。尽管Dahrmol模型提供的多因素冲击可能不会对所有的冲击产生更大的影响，但Dahrmol模型提供的多因素冲击可能不会对所有的冲击产生更大的影响。Dahl和Moller[9]考虑使用系统性致命风险对人寿保险负债进行定价和对冲。Bif FIS[4]考虑了在固定死亡率模型下的年金定价。Ludkovski和Young[18]考虑了随机风险下的无差异定价。诺伯格[19]推导了假设确定性风险率的现值矩的常微分方程。虽然随机死亡模型在文献中得到了深入的研究，但随机残疾模型并没有得到同样的关注。Levantesi和Menzietti[17]在Solvency II背景下考虑随机残疾和死亡率。该方法涵盖了系统性风险和特殊性风险，适用于小型投资组合。

Christiansen等人[7]基于Hyndman和Ullah[13]的预测技术，提出了Solvency II的内部模型。该方法包括在一系列时间段内建立强度模型，以及在参数估计的时间序列上建立时间序列模型。强度的未来发展通过预测或模拟时间序列模型获得。在本文中，我们考虑一个大型、同质的人寿或残疾年金政策组合。这些政策被假定为独立的，条件是代表经济人口环境的外部随机过程。利用条件大数定律，我们证明了累计年金现金流可以通过其条件预期来近似，这一表达式与精算准备金公式非常相似。这一结果突显了风险集合与为大型投资组合预留的债权之间的联系。此外，我们推导了这些现值矩的偏微分方程。此外，我们考虑了统计多因子强度模型，并提出了降低其维数的方法。利用Krylov[14]引入的所谓模拟技术，我们建议用单因素模型近似多因素模型，这使得能够非常有效地求解偏微分方程。最后，我们给出了一个数值例子，其中使用有限差分法和蒙特卡罗模拟计算残疾年金现值的矩。论文的结构如下。在第2节中，考虑一个简单随机强度模型下的年金政策。我们推导了一个偏微分方程来计算这类保单的随机现值矩。在第3节中，我们研究了来自大型同质保单组合的累计现金流，并强调了风险累计和索赔准备金之间的联系。

在第4节中，我们考虑了残疾保险的特殊应用，并展示了如何将一类统计模型纳入定价PDE。在第5节中，我们展示了基于瑞典保险公司Folksam残疾数据的数值结果。2随机索赔保留角τ，τ。可以是随机事件次数（例如死亡或残疾恢复的次数），并且letNkt=I{τk≤ t} ，k≥ 1.（1）进一步定义流程NK=（Nkt）t≥0，k≥ 1，（2）和letFN=（FNt）t≥0=（FNt∨ FNt∨ . . .)T≥0（3）表示由N，N，….产生的过滤。。现在，让Z是一个自然过滤FZ=（FZt）t的随机过程≥0.在这里，NKT表示被保险人在时间t的状态，τkre表示相应的死亡或恢复时间，Zt表示经济人口环境的状态。我们假设N，N。A独立于FZ∞, 而FZ∨ nk的强度是λkt=q（t，Zt）（1）形式的过程λkof- Nkt），t≥ 0.（4）考虑一项年金政策，只要Nkt=0，就持续支付g（t，Zt），直到固定的未来时间t。这种类型的年金允许从合同到付款的时间以及经济人口环境的状态。例如，合同可能与通货膨胀挂钩，并包含一个延期。本保单的随机现值LKTO可以写成LKT=ZTtg（s，Zs）（1- Nks）e-Rstr（u）duds，（5）其中，假设短利率r适用于FZ。此外，E[Lkt | FZt给出了本合同的预留时间t∨ FNt]，即给定政策和环境历史的预期值。我们的目标是找到一种有效的方法来计算储量。首先，我们需要以下结果，在诺伯格对随机强度模型的简明介绍[20]中以稍微不同的形式给出。命题1假设E[|λkt |]<∞ 每k，t≥ 0

那么，对于s≥ t、 E[1- Nks | FZs∨ FNt]=P（τk>s | FZs）∨ FNt）=（1- Nkt）e-Rstq（u，Zu）du。（6） 证据。首先，请注意流程（Mks）是≥0定义的byMks=Nks-Zsλkudu（7）是一个FZ∨ FN鞅[20，第106页]。对于s≥ t、 设Yks=P（τk>s | FZs）∨ FNt）=E[1- Nks | FZs∨ FNt]。使用（7），我们得到yks=E[1- Nks+Zsλkudu-Zsλkudu | FZs∨ FNt]=1- Nkt+Ztλkudu- E[Zsλkudu | FZs∨ FNt]=1- Nkt+Ztλkudu-Ztλkudu- E[Zstλkudu | FZs∨ FNt]=1- Nkt-Zstq（u，Zu）E[1- Nku | FZs∨ FNt]du=1- Nkt-Zstq（u，Zu）E[1- Nku | FZu∨ FNt]du=1- Nkt-Zstq（u，Zu）Ykudu。（8） 对上述表达式进行微分，我们得到（dYks=- q（s，Zs）Yksds，s>t，Ykt=1- Nkt，（9）溶液Yks=（1）- Nkt）e-Rstq（u，Zu）du。利用命题1，我们立即得到[Lkt | FZt∨ FNt]=E[E[Lkt | FZT∨ FNt]| FZt∨ FNt]=E[E[ZTtg（s，Zs）（1）- Nks）e-Rstr（u）duds | FZT∨ FNt]| FZt∨ FNt]=（1）- Nkt）E[ZTtg（s，Zs）E-Rstq（u，Zu）到期-Rstr（u）duds | FZt∨ FNt]。（10） 请注意，如果环境过程Z被确定性函数代替，则由vt=ZTtg（s，Zs）e定义的函数vt-Rstq（u，Zu）到期-Rstr（u）duds（11）对应于连续支付g货币单位的政策的时间t储备。现在，由于q和g是随机过程Z的函数，Vt是一个随机变量，储备取决于Vt的分布。在Z是马尔科夫过程的情况下，活动合约的时间t储备的自然候选函数是由v（t，Z）=E[Vt | Zt=Z]=Et，zhZTtg（s，Zs）E给出的函数v（t，Z）-Rstq（u，Zu）到期-Rstr（u）dudsi。（12） 设q（t，z）=q（t，z）+r（t），并假设q是下界的，g是连续且有界的，z是一个带有极小生成元a的马尔可夫过程。然后，由（12）给出的v（t，z）是一个费曼-卡茨泛函，满足后向偏微分方程(-五、s+-q（s，z）v=Av+g（s，z），t≤ s<T，v（T，z）=0。（13） 出于风险管理的目的，仅仅能够计算预期值是不够的。通常，需要估计矩或分位数。

使用以下结果可以找到VT力矩。命题2假设q=q+r，假设q是下界的，g是连续有界的，Z是带生成元a的马尔可夫过程≥ 1，vn（t，z）=Et，z[Vnt]满足后向偏微分方程(-越南s+n\'-q（s，z）vn=Avn+ng（s，z）vn-1，t≤ s<T，vn（T，z）=0，（14），其中，自然地，v（T，z）=Et，z[Vt]=1。证据区分Vt，我们得到DVT=（`qtVt- gt）dt。（15） 因此，d（Vnt）=nVn-1t（`qtVt）- gt）dt=（n’qtVnt- ngtVn-1t）dt。（16） 乘以积分因子e-Rtn？qudu，集成并使用VnT=0，wehaveVnt=ZTtng（s，Zs）Vn-1se-Rstn’qududs。（17） 取条件期望，利用Z，Et，Z[Vnt]=Et，Z[ZTtng（s，Zs）Vn的马尔可夫性质-1se-Rstn\'qudds]=Et，z[ZTtE[ng（s，Zs）Vn-1se-Rstn | qudu | FZs]ds]=Et，z[ZTtng（s，Zs）E[Vn-1s | Zs]e-Rstn\'qudds]=Et，z[ZTtng（s，Zs）vn-1（s，Zs）e-Rstn“qududs”。（18） 从Feynman-Kac公式可以看出，vn（t，z）立即满足PDE（14），详见例如Friedman[10，定理5.3]。命题2可通过求解n=1，…，的偏微分方程（14）来确定vt的第k阶矩，k迭代。这很有用，因为用数值方法求解偏微分方程通常比用蒙特卡罗模拟更快，尤其是对于这种路径相关问题。3风险聚合我们现在考虑风险聚合问题。对于由人口N，N，Nn，随机现值L（n）t=nXk=1Lkt=nXk=1ZTtg（s，Zs）（1）- Nks）e-Rstr（u）哑弹。（19） 随着策略数量的增加，我们现在将研究L（n）的性质。命题3以FZT为条件∨ FNt，limn→∞nL（n）t-nnXk=1（1- Nkt）Vt=0 a.s.（20），其中Vt由（11）给出。证据因为Ns，Ns。

是否独立取决于FZ∨ FNtwith∞Xk=1E[（Nks- E[Nks | FZs∨ FNt]| FZs∨ FNt]k≤∞Xk=1k<∞, （21）根据条件大数定律（见Prakasa Rao[22，Theorem6]），以FZs为条件∨ FNt，limn→∞nnXk=1Nks- E[nnXk=1Nks | FZs∨ FNt]=0 a.s.（22）这意味着，以FZT为条件∨ FNt，nL（n）t- E[nL（n）t | FZT∨ FNt]=nnXk=1ZTtg（s，Zs）（1- Nks）e-Rstr（u）duds-E[nnXk=1ZTtg（s，Zs）（1- Nks）e-Rstr（u）duds | FZT∨ FNt]=nnXk=1ZTtg（s，Zs）（E[Nks | FZs∨ [FNt]- Nks）e-Rstr（u）duds→ 0a.s.，（23）by（22）和条件占优收敛定理。现在，使用命题1，我们得到了e[nL（n）t | FZT∨ FNt]=ZTtnnXk=1E[g（s，Zs）（1）- Nks）| FZs∨ FNt]e-Rstr（u）duds=ZTtnnXk=1（1- Nkt）g（s，Zs）e-Rstq（u，Zu）到期-Rstr（u）duds=nnXk=1（1- Nkt）ZTtg（s，Zs）e-Rstq（u，Zu）到期-Rstr（u）duds=nnXk=1（1- （24）索赔依据第（23）和（24）条。当投资组合足够大时，命题3会激发近似值l（n）t≈nXk=1（1- 因此，考虑到环境和政策的历史，为了确定投资组合现值的分布，有必要考虑随机变量Vt。事实上，所有的个体风险都分散了，只有系统风险，即经济人口环境变化的风险仍然存在。这是通过随机变量Vt形式化的。特别是，投资组合的随机现值的近似pq由关系式f给出-1L（n）t（p）≈ F-1Pnk=1（1）-Nkt）Vt（p）=nXk=1（1）- Nkt）F-1Vt（p），（26），其中等式源自分位数函数的正同质性。这一结果与Vasicek[24]的贷款组合风险结果类似，Vasicek[24]是巴塞尔监管信用风险框架的基础。

在巴塞尔框架中，放宽了投资组合的同质性要求，以允许有效地近似投资组合的风险价值和资本配置，这可能表明在本应用中也可以考虑。VTE的特性可以通过模拟或PDE技术进行研究。此外，整个投资组合的时间t储备由[L（n）t | FZt]给出∨FNt]=E[E[L（n）t | FZT∨FNt]| FZt∨FNt]=nXk=1（1-Nkt）E[Vt | FZt]，（27）并且在t时分配给每个活跃保单的金额只是E[Vt | FZt]。基于这些考虑，风险集合问题与索赔准备金问题密切相关。最后，我们对Solvency II框架进行了一些评论。在Solvency II标准模型中，资本费用使用基于情景的方法计算，资本费用是最佳估计假设下的现值与特定冲击情景下的现值之差。保险公司应采用基于一年内风险的替代方法。例如，资本费用可被视为经济资本，即时间t值和时间t+1时值的p分位数之间的差值。我们强调，（26）给出的近似投资组合分位数代表整个保单期间的风险，即它可用于计算T- t年。因此，未来研究的一个主题是找到上述结果的扩展，与Solvency II框架兼容。4残疾保险的申请在本节中，我们考虑残疾保险的一个例子。我们试图计算VTZ的矩，代表经济人口统计环境的过程Z是由残疾恢复概率的广义线性模型构建的。

为了简单起见，我们假设短期利率是确定性的。正如我们将在下面看到的，Z通常是非马尔可夫的，我们不能直接使用费曼卡公式来计算Vt的矩。我们将考虑这个问题的两种可能的解决方案。首先，我们构造了一个以Z为分量的多元马尔可夫过程。事实证明，这在某些特殊情况下效果良好。第二，我们将依靠所谓的模拟技术来获得Vt.4.1随机终止模型的可靠近似值。根据Aro、Djehiche和L"ofdahl[1]，一个残疾开始年龄为x且残疾持续时间为d的个体在[d，d+内终止残疾的概率pνt（x，d）d） 由pνt（x，d）=exp给出Pni=1φi（x）Pmj=1ψj（d）νi，jt1+经验Pni=1φi（x）Pmj=1ψj（d）νi，jt, （28）其中φ和ψ分别是x和d中的基函数，而ν是n×m维随机过程。为简单起见，终止强度q（d，νt）近似为小时间段内的分段常数d、 也就是说，它由关系式pνt（x，d）=1给出- 前任警察- q（d，νt）D. （29）在当前上下文中，在时间t＝0时，持续时间d被简单地假定为0。利用这一点，再加上（28）-（29），我们得到，对于固定的x和d、 强度q的以下近似值：q（t，νt）=dlog1+经验nXi=1φi（x）mXj=1ψj（t）νi，jt. （30）给定一个合适的随机过程形式，我们可以求解具有nM空间维数的偏微分方程（14）。然而，当nm较大时，这并不十分有效。为了获得更易于处理的模型，我们将尝试减少维数。4.2降低维度定义流程Z={Zt}t≥0byZt=nXi=1φi（x）mXj=1ψj（t）νi，jt，（31）并定义函数f byf（·）=dlog（1+exp（·）），（32），所以我们有q（t，νt）=f（Zt），t≥ 0.（33）很容易看出，我们可以用a（t）t=（φ（x）ψ（t）重写Zton向量形式asZt=a（t）tνt，（34）。