一种随机控制方法，在给定边际的情况下实现无套利界限，

为了完成定理的证明，还需要证明infλ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≥ 微升（g）。为了说明这一点，我们使用了停止时间τ*（3.13）中定义了Skorohod嵌入问题的解决方案，即Xτ*~ u和（Xt）∧τ*)T≥0是一致可积鞅；参见Az\'ema和Yor[1,2]。此外，X*τ*~ uHL。那么，尽管λ∈ λu，根据uλ的定义，uλ（X，X）≥ J（λ，τ）*), 因此u（λ）+uλ（X，X）≥ u（λ）+EX，X[g（X*τ*) - λ（Xτ）*)]= EX，X[g（X*τ*)] = uHL（g）。向前开始回望选项。在本节中，我们提供了衍生证券由付息ξ=g（B）定义的第二个应用*t、 t）其中B*t、 t:=maxt≤T≤TBAND g满足与上一节相同的条件。我们假设所有罢工的期限和皮重的看涨期权c（k）和c（k）的价格，c（k）=Z（x）- k） +u（dx）和c（k）=Z（x- k） +u（dx），k≥ 0.我们还假设： u按凸顺序排列：c（0）=c（0）和c（k）≤ c（k）代表所有k≥ 0.无模型超边际成本定义为最小初始资本，允许通过基础股票中的某种动态交易策略和调用（c（k））k中的静态策略，准肯定地超边际收益ξ≥0和（c（k））k≥0.Hobson[20]在g（x）=x的情况下解决了这个问题。我们的目标是通过我们的随机控制方法恢复他的结果。命题2.1的直接改编提供了这个问题的对偶公式asUu，u（ξ）=sup（λ，λ）∈λu×λ∧∧∧u（λ）+uλ，λ（X，X），其中uλ，λ（X，m）：=supP∈P∞EPx，m[g（B*t、 （t）- λ（Bt）- λ（Bt）]。我们进一步观察到，与随机控制问题uλ，λ相对应的动态值函数在时间t降低到我们之前研究的问题uλ。

然后，它遵循动态规划原理，即uu，u（ξ）=inf（λ，λ）∈∧u×∧u（λ）+u（λ）+补充∈P∞EP[uλ（Bt，Bt）- λ（Bt）]。因为要最大化的表达式只涉及Bt的分布，所以它遵循Remark2。3连同Dambis–Dubins–Schwarz时变公式，Uu，u（ξ）=infλ∈λ∧μ（λ）+Zuλ（x，x）u（dx）。接下来，我们通过将注意力限制在∧∧u凸乘法器的子集∧∧u来获得上界。对于这样的乘法器，我们使用不等式uλ≤ vψ表示所有ψ∈ 由引理3导出的ψλ。1.这提供了uu，u（ξ）≤ infλ∈^∧∧μ（λ）+Zvψ（x，x）μ（dx）=μ（g）+infλ∈^∧uinfψ∈Ψλu(λ) - u（λ）+Zxψ（x）（x）- y） λ′′（dy）u（dx）=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（y）- c（y）+Z（x）- y） 1{ψ（x）<y<x}u（dx）λ′′（dy）=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（y）-Z（x）- y） 1{y≤ψ（x）}u（dx）λ′′（dy）20 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZI=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（ψ（m））-Z（x）- ψ（m））1{m≤x} u（dx）×g′（m）dmm- ψ（m）=u（g）+infλ∈^∧uinfψ∈ψλZc（ψ（m））- c（m）m- ψ（m）- u（[m，∞))g′（m）dm，其中最后的等式来自与引理3类似的manipu关系。2，尤其是利用ODE（3.21）。自g′以来≥ 0，我们可以证明，就像回望选项的情况一样，上述最小化问题归结为被积函数的逐点最小化，因此最优性障碍由ψ给出*（x） =maxnarg minξ<xh（ξ）owh（ξ）：=c（ξ）- c（m）m- ξ、 ξ<m。注意，h在每一个ξ<m处都有左导数和右导数，其中h′（ξ）=c（ξ）+（x）- ξ） c′（ξ）- c（x）（x）- ξ） ，即，分子是ξ的非减量函数，取正值c（x）- c（x）在ξ=x时，取负值x- 十、- c（x）在ξ=0时。

然后ψ*（x） 是方程c（ψ）的最大根*（x） ）+（x- ψ*（x） ）c′（ψ）*（x） ）=c（x），a.e.（4.1），所以h在ψ的左边是不递增的*（m） 不向右倾倾斜。在这一点上，我们准确地认识到了由Hobson[20]导出的解。特别是ψ*导出一个解τ*对于Skorohod嵌入问题，我们可以用uλ的表达式作为最优停止问题的值函数。然后，我们可以通过第3节中的论证得出结论，证明上面导出的上界是最优上界。4 thatuλ（x，x）≥ Ex，x[g（x*τ*) - λ（Xτ）*)].我们得到上界由uu，u（ξ）=u（g）给出-Zg′（m）u（[m，∞)) dm+Zc（ψ）*（m） )- c（m）m- ψ*（m）g′（x）dx（4.2）=u（g）-Z（c′（ψ）*（m） )- c′（m））g′（m）dm=g(lu) -Zc′（ψ）*（m） g′（m）dmby（4.1）。衍生品的边界为215。对偶结果的证明。让ξ：Ohm -→ R是一张带有Supp的可测量地图∈P∞EP[ξ+]∞. 如果P∞(ξ) = , 结果微不足道。然后我们继续使用P∞(ξ) 6=  在U（ξ）>-∞ . 让X∈ 就这样≥ ξ表示一些H∈ H.（5.1）通过定义可容许集H（ξ），可以得出过程XHisa P-局部鞅和P-超鞅∈ P∞(ξ). 然后，从（5.1）得出X≥ 所有P的EP[ξ]∈ P∞(ξ). 从x和P的任意性可以看出u（ξ）≥ 晚餐∈P∞（ξ） EP[ξ]=supP∈P∞EP[ξ]。（5.2）在子节中，我们证明了逆不等式在ξ的附加条件下成立∈ 加州大学(Ohm十） 。在[35]之后，通过引入问题的动态版本来获得该结果，然后证明该问题具有导致所需结果的分解。由于概率测度族P∞如果是非支配的，我们需要在所有概率空间上定义必要的条件分布，不排除任何零测度集。5.1. 规则条件概率分布。

设P是一个任意的概率测度Ohm, τ是F-停止时间。正则条件概率分布（r.c.p.d.）pωτ定义为：–对于所有ω∈ Ohm, Pωτ是FT上的概率测度；－尽管如此∈ FT，映射pin gω7-→ Pωτ（E）是Fτ-可测的对于每一个有界FT可测随机变量ξ，我们有EP[ξ| Fτ]（ω）=EPωτ[ξ]，P-a.s.–总而言之ω∈ Ohm, Pωτ[ω′）∈ Ohm : ω′（s）=ω（s），0≤ s≤ τ(ω)] = 1.r.c.p.d.的存在在Stroock和Varadhan[36]中得到证实。为了更好地理解这个概念，我们引入了移位正则空间Ohmt:={ω∈ C（[t，t]，Rd）：ω（t）=0}∈ [0，T]，我们用bt表示Ohmt、 p移位的维纳测量值和Ft由Bt生成的移位过滤值，为0≤ s≤ T≤ T和ω∈ Ohms:–移位路径ωt∈ Ohm定义为ωtr:=ωr- ωt对于所有r∈ [t，t]；22 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZI–级联路径ωtω∈ Ohms、 对于某些√ω∈ Ohmt、 定义为（ω）tω（r）：=ωr[s，t）（r）+（ωt++ωr）1[t，t]（r）表示所有r∈ [s，T]；-某些FsT可测r.v.ξ的sh-if-ted-FtT可测r.v.ξt，ωOhm定义为ξt，ω（～ω）：=ξ（ω）tω）表示所有的ω∈ Ohmt、 类似地，对于[s，t]上的Fs渐进可测过程X，移位过程{Xt，ωr，r∈ [t，t]}是逐步可测量的。为了简单起见，我们设置ωτ~ω := ω τ（ω）~ω，ξτ，ω：=ξτ（ω），ω，Xτ，ω：=Xτ（ω），ω。r.c.p.d.pωτ在Fτ（ω）t上导出一个概率测度pτ，ω，即Bτ（ω）的pτ，ω分布等于{Bt）的pωτ分布- Bτ（ω），t∈[τ（ω），T]}。然后，对于所有FT可测量的r.v.ξ，r.c.p.d.可以通过恒等式ωτ[ξ]=EPτ，ω[ξτ，ω]来理解。我们也将Pτ，ω称为0的P的r.c.P.d≤ T≤ T，我们遵循与第2节相同的构造。1确定马丁·盖尔对每英尺测量的Pt，α逐步可测量的S>0d值过程α，使得RTT |αr | dr<∞, Pt-a.s。

所有这些测量值的集合都表示为PtS。子集Pt∞密度过程^atof the equadratic variation process hBti的定义也类似。5.2. 自ξ以来一致连续支付的对偶结果∈加州大学(Ohm十） 对于t，存在连续函数ρ的一种形式∈ [0，T]和ω，ω′∈ Ohm, ~ω ∈ Ohmt、 |ξt，ω（￠ω）- ξt，ω′（~ω）|≤ ρ（kω）- ω′kt），其中kωkt:=sup0≤s≤t |ωs |，0≤ T≤ T本证明的主要目的是以下动态值过程：Vt（ω）：=supP∈Pt∞EPωt[ξ]表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.（5.3）根据ξ的一致连续性性质，{Vt，t∈ [0，T]}是一个右连续F-适应过程。（5.4）此外，sin ce SUPPT∈P∞EP[ξ+]∞, 因此，P∈ P∞（ξ） 那∈ 根据[35]中命题4.7的证明，我们可以看到{Vt，t∈ [0，T]}是P-超鞅。然后，我们可以应用给定边际23Doob–Meyer分解的导数界，并推断出一对过程（HP，KP）的存在性∈ Hlo c（P）和d KPP可积非减量，使得vt=V+ZtHPsdBs- KPt，t∈ [0，T]，P-a.s.因为V是每个P下的右连续半鞅∈ P∞（ξ） ，从Karandikar[22]中可以看出，进程族{HP，P∈ P∞（ξ） }（定义的P-a.s.）可以聚合为一个在[0，T]×上定义的过程Ohm bydhV，Bit=^HtdhBit，在所有P的情况下，^H=HP，dt×dP-a.s∈ P∞(ξ).因此我们有vt=V+Zt^HsdBs- KPt，t∈ [0，T]，所有P-a.s∈ P∞(ξ).对于X:=V，我们可以看到：–过程X^H:=X+R。^hsdbs从下方以V为界，而从下方以MPt为界：=EPt[ξ]，t∈ [0，T]；自ξ∈ L（P），后者是P-鞅；因此，X^His是allP的一个P-超马氏体∈ P∞（ξ） 和X^HT=VT+KPT=ξ+KPT≥ ξ、 P-a.s。

每P∈ P∞(ξ).然后V≥ 注意，由于X^Hunder的超可压缩性∈ P∞（ξ） ，我们有v+supP∈P∞（ξ） EP[-[KPT]≥ 晚餐∈P∞（ξ） EP[X^HT- KPT]=支持∈P∞（ξ） EP[ξ]=V。由于KP=0且kpi不变，这意味着x^His是所有P的P-鞅∈ P∞（ξ） 而不减损的过程KPI满足了最低限度的条件INFP∈P∞（ξ） EP[KPT]=0。备注5.1。定理2的一个可能扩展。1可通过更大类别的支付函数ξ获得。实际上，请注意，ξ上的一致连续性假设基本上用于获得（5.3）中定义的动态值过程V的可测性（5.4）。在适用第3节的情况下，需要进行这样的扩展，以避免将我们的框架限制在导致一致连续最优静态对冲λ的措施u上*. 定理2的一个方便的扩展。1，放松一致可积条件，在Possamai、Royer和Touzi[33]中得到，建立在Nutz和van Handel[29]以及Neufeldand Nutz[27]的最新结果基础上。24 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.Touzi致谢。这个版本得益于两位匿名裁判的详细评论。我们由衷地感谢他们的时间和努力，尤其是他们指出了本版本的一些不足之处。参考文献[1]Az\'ema，J.和Yor，M.（1979年）。解决简单的问题。《概率论》第十三卷。数学课堂讲稿。721 90–115. 柏林斯普林格。MR0544782[2]阿兹埃马，J.和约尔，M.（1979年）。斯科罗霍德的问题：“斯科罗霍德问题的简单解决方案”。在S\'eminaire de Probabilit\'es中，第十三章。数学课堂讲稿。721 625–633。柏林斯普林格。MR0544832[3]贝格尔博克，M.，亨利·劳德埃，P.和彭克纳，F.（2011）。

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Henry Labord\'ereGlobal Market Quantitative Research Soci\'et\'e G\'eral17 cours Valmy Paris La D\'efense 7法国邮件：pierre。亨利-labordere@sgcib.comN.TouziCentre de Math\'ematiques Applick\'eesEcole Polytechniquepaileaseau，91128法国邮政：nizar。touzi@polytechnique.edu