一种随机控制方法，在给定边际的情况下实现无套利界限，

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英文标题：
《A stochastic control approach to no-arbitrage bounds given marginals,
  with an application to lookback options》
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作者：
A. Galichon, P. Henry-Labord\\`ere, N. Touzi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider the problem of superhedging under volatility uncertainty for an investor allowed to dynamically trade the underlying asset, and statically trade European call options for all possible strikes with some given maturity. This problem is classically approached by means of the Skorohod Embedding Problem (SEP). Instead, we provide a dual formulation which converts the superhedging problem into a continuous martingale optimal transportation problem. We then show that this formulation allows us to recover previously known results about lookback options. In particular, our methodology induces a new proof of the optimality of Az\\\'{e}ma-Yor solution of the SEP for a certain class of lookback options. Unlike the SEP technique, our approach applies to a large class of exotics and is suitable for numerical approximation techniques.
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中文摘要：
我们考虑在波动不确定性下，允许投资者动态交易标的资产，并静态交易欧洲看涨期权，以获得给定到期日的所有可能冲击的问题。这个问题的经典方法是Skorohod嵌入问题（SEP）。相反，我们提供了一个对偶公式，将超边问题转化为连续鞅最优运输问题。然后我们证明，这个公式允许我们恢复以前已知的关于回望选项的结果。特别是，我们的方法对一类回望选项的SEP的Az\\\'{e}ma Yor解的最优性给出了一个新的证明。与SEP技术不同，我们的方法适用于一大类外显子，并且适用于数值近似技术。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：随机控制 控制方法 无套利 Quantitative Differential

《应用概率年鉴2014》，第24卷，第1期，312–336DOI:10.1214/13-AAP925c数理统计研究所，2014A给定边际的无套利边界的随机控制方法，以及A.Galichon、P.Henry Labord\'ere和N.TouziSciences Po、Soci\'et\'e G\'en\'erale和Ecole Polytechnique提出的回望期权应用。我们考虑了允许动态交易标的资产的投资者在波动性不确定性下的过度边缘化问题，静态地交易欧洲看涨期权，以获得所有可能的罢工，其中一些已经到期。这个问题的经典方法是Skorohod嵌入问题（SEP）。相反，我们提供了一个对偶公式，将超边问题转化为连续鞅最优运输问题。然后我们证明，这个公式允许我们恢复以前已知的关于回望选项的结果。特别是，我们的方法对某一类回望期权的Az’ema–Yor SEP解的最优性给出了新的证明。与SEP技术不同，我们的方法适用于一大类外显子，适用于数值近似技术。1.导言。在一个允许无风险资产（标准化为单位）和某些给定基础资产（无限制）动态交易的金融市场中，资产定价的基本定理本质上表明，没有套利机会相当于存在一个概率测度，在该概率测度下，基础资产过程是一个鞅。参见Kreps[24]、Harrison和Pliska[18]以及Delbaen和Schachermayer[14]。然后，为了进行套期保值，唯一相关的信息是在这种阿马丁格尔测度下资产价格过程的二次变化。

在没有任何关于二次变化的进一步假设的情况下，稳健的超边缘成本降低到一个明显的界限，该界限可在2011年9月获得；2013年2月修订。由Soci’et’eG’en’erale赞助的风险基金会主席金融风险支持，由F’ed’Operation BancaireFran,caise赞助的未来主席衍生品支持，由EDF和CACIB赞助的主席金融和可持续发展支持，以及能源三月金融实验室FiME支持。AMS 2000学科分类。初级49L25，60J60；中学49L20，35K55。关键词和短语。最优控制，波动不确定性，凸对偶。这是数理统计研究所发表在《应用概率年鉴》（Annals of Applied Probability，2014）第24卷第1期312–336中的原始文章的电子版。这本再版在页码和印刷细节上与原版不同。2 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZIbe通过标的资产的静态交易实现；参见Cvitani\'c、Phamand Touzi[12]和Frey[17]。在本文中，我们研究了在无套利的条件下，当金融市场允许欧洲看涨期权的静态交易，以及标的资产的动态交易时，超边际化的问题≥ 0}. 为简单起见，我们考虑了所有可用的欧洲看涨期权具有相同到期日的情况。然而，我们将金融市场理想化，假设所有可能的罢工都有此类欧洲催缴期权。在线性（和连续性）假设下，这意味着尽管过程X的联合分布P未知，但建模者可以访问函数K∈ R+7-→ E[（XT）- K） +]，从而得出随机变量XT的边际分布u，如Breeden和Litzenberger[6]所观察到的。

特别是，任何T-到期香草衍生产品，只要g（XT），都可以被欧洲看涨期权组合完美复制，并且具有明确的无套利价格RG du，只要g∈ L（u），可以表示为基础看涨期权给定价格的线性组合。在文献中，这个问题是通过KoroHod嵌入问题（SEP）来经典地解决的，这一问题自然地表现为双宾s施瓦兹时间变化的结果。然而，只有一些特殊的衍生产品符合这种方法的要求，即apayo ff定义的衍生产品，它在雾凇下是不变的。利用SEP技术解决稳健的超边缘问题可以追溯到霍布森[20]的论文。霍布斯在[21]上发表的调查论文信息量很大，包含了该主题的相关参考文献。对于衍生证券G（Xs，s≤ t） 写在标的资产X上，其思想是搜索函数λ和鞅M，使得g（Xs，s≤ （t）≤ λ（Xt）+Mtsothat E[g（Xs，s≤ τ )] ≤Rλdu适用于所有停止时间τ，使得Xτ具有根据欧洲看涨期权确定的分布u，如上所述。然后通过设计λ，M和τ，使g（Xs，s≤τ） =λ（Xτ）+Mτ。在本文中，我们发展了另一种方法，将鲁棒性问题与随机控制的文献联系起来；见弗莱明和索纳[16]。我们的方法包括直接求解鲁棒超边问题，该问题的解提供了上述函数λ和鞅M。

因此，与SEP方法不同，SEP方法要求外来证券的支付在时间变化下保持不变，由于避免了时间变化步骤，因此对衍生证券类别没有限制。此外，我们的方法与最优运输理论有关，事实上，通过自然地强制运输沿着连续鞅进行，为该理论的一个新分支打开了大门。我们的第一个主要结果（见第2.3节和第2.4节）提供了一个基于Kantorovich二元论并遵循Benamou和Brenier[4]精神的截尾超边问题公式；见维拉尼[39]。Davis、Obl\'oj andRaval[13]已经使用了这种双重配方的有限维版本。此外，在以前基于SEP的文献中，对于导数的特殊情况，这种对偶性被隐式证明。因此，我们的对偶结果的重要性在于它的普遍性。此外，与SEP方法类似，对偶问题的解提供了相应的最优混合策略和最坏情况模型。最后，对偶公式适用于数值逼近技术，如Bonnans and Tan[5]和Tan and Touzi[38]所示。我们的下一个关注点是证明这个对偶结果不仅仅是一个理论结果，而且可以应用于实际计算。在本文中，这是在回望导数的背景下证明的，其中鲁棒超边缘问题已知是由SEP[1,2]的Az’ema–Yor解引起的。Hobson[20]提出了一种与该界限相对应的半静态套期保值策略。我们的第二个主要结果，在第3节中报告，通过我们的对偶公式再现了这个界。

特别是，这提供了一种新的表示，即SEP的Az’ema–Yor解决方案实现了某类回望选项的上限。在第4节中，我们还恢复了前向回望选项的稳健超边际成本，这也是在Hobson[20]中推导出来的。第3节和第4节的结果不是新的，本文报告的目的是为了表明最佳运输方法适用于恢复这些已知结果。除了在文献中重新发现以前的研究结果外，我们还想坚持一个事实，即目前的最佳运输方法通过强调超边缘问题来补充SEP方法，其解决方案提供了最佳半静态超边缘策略。这一特点在相关文献[19]中得到了完美的说明，其中：（i）该方法用于提供最佳的半静态超边缘策略；（ii）通过使用（i）中的最优半静态套期保值策略，Obl’ojida和Spoida[31]证明了SEPto的Az’ema–Yor解在多个中间保证金的情况下的扩展。[19,31]的最终结果是之前布朗、霍布森和罗杰斯[7]以及马丹和约尔[25]的结果的延伸。我们还观察到，一般来说，人们不应该期望明确地解决鲁棒超边缘的问题。因此，最优输运方法的一个重要优点是，相应的对偶公式适用于数值近似技术；见Bonnans和Tan4 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N。

TOUZI[5]研究了方差期权的情形，Tan和TOUZI[38]研究了本文所激励的一类最优运输问题。最后，我们想强调的是，通过将鲁棒有界表示为超边问题的值函数，我们隐含地解决了模型不确定性下无套利的重要问题，正如之前文献中讨论的那样；例如，见Cox和Obl\'oj[11]和Davis，Obl\'oj和Raval[13]。事实上，如果套利确实存在，在某种方便定义的弱形式下，价值函数将是有限的。相反，只要价值函数是有限的，金融市场要么承认真正的无模型套利（如果对偶问题成立），要么承认某种方便的弱套利概念。2.衍生证券的模型自由边界。2.1. 概率框架。允许Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，Rd）：ω=0}是具有一致范数kωk的正则空间∞:= sup0≤T≤T |ωT |，正则过程，p维纳测度，F:={Ft}0≤T≤t由B和F+生成的过滤：={F+t，0≤ T≤ T}F的右极限，其中F+T:=Ts>tFs。在本文中，Xis是Rd+中的一些给定初始值，我们表示xt:=X+bt代表t∈ [0，T]。对于S>0d（有限正对称矩阵空间）且满足RT |αS | ds<∞, P-a.s.，我们定义了(Ohm, F） ，Pα：=Po （Xα）-其中Xαt:=X+Ztα1/2rdBr，t∈ [0，T]，P-a.s.那么X是一个Pα-局部鞅。在[34]之后，我们用pst表示所有这些概率测度的集合(Ohm, F） 。四元变量过程hXi=hBi在任何P∈ PS，并在从R+到S>0d的所有非减量连续函数集中取值。

最后，我们从[34]中回忆起∈PSS描述了Blumenthal零一定律（2.1）和鞅表示性质。在本文中，我们将关注子集P∞对所有测度P的考虑，使得X是一个P-一致可积鞅，其值在Rd.导数界中，给出了P中概率测度的限制∞对于一致可积鞅导出的结果，我们随后解释了金融证券的价格过程。2.2. 无模型超套期保值问题。尽管如此，P∈ P∞, 我们表示hlo c（P）：=H∈ H（P）：ZTTr[HTtHtdhBit]<∞, P-a.s。,其中Tr表示跟踪运算符。我们假设利率为零。在s elf融资条件下，对于任何投资组合过程H，投资组合价值过程HT:=Y+ZtHs·dBs，t∈ [0，T]，（2.2）是每个P∈ P∞, 无论何时∈ Hlo c.这个随机积分应该更加强调它对P的依赖性；然而，参见Nutz[28]。设ξ为FT可测随机变量。我们引入了鞅测度的子集∞（ξ） ：={P∈ P∞: EP[ξ-] < ∞}.限制这类模型的原因是，在EP[ξ+]小于∞, P下ξ的套期保值成本预计为-∞当EP[ξ-] = ∞. 通常，为了避免加倍策略，我们引入了一组可容许的投资组合，H（ξ）：={H:H∈ Hlo cand YH是一款适用于所有P∈ P∞(ξ)} .无模型超边缘问题由u（ξ）：=inf{Y:H∈ H（ξ），YH≥ ξ、 全体P-a.s∈ P∞(ξ)}.（2.3）我们称之为无模型超高套利上界，我们还记得它的解释为衍生证券ξ市场价格上的无套利上界，对于有权通过价格过程X.2.3对标的证券进行连续时间交易的投资者。超套期保值界的对偶公式。

我们用UC表示(Ohm十） 所有一致连续映射的集合OhmXto R，其中X∈RDI是一个固定的初始值，以及OhmX:={ω∈ C（[0，T]，Rd+）：ω=X}。以下结果是索纳、图兹和张[35]的直接改编。让ξ∈ 加州大学(Ohm十） 是这样的∈P∞EP[ξ+]∞.ThenU（ξ）=supP∈P∞EP[ξ]。进一步假设U（ξ）是有限的。然后存在一个过程H∈ H（ξ）和一类非减量可预测过程{KP，P∈ P∞（ξ） }，对于所有P，kp=0∈ P∞（ξ） ，s.t.ξ=U（ξ）+ZHt·dBt- KP，所有P的P-a.s∈ P∞(ξ).（2.4）第5节报告了pro。备注2.1。Denis和Martini[15]在有界波动情况下得到了与定理2.1类似的对偶表示。然而，请注意，[15]中的非支配奇异测度族不包括在我们的SETP中，并且不允许存在最优超级套期保值策略。在修改本文时，Nutz和von Handel[29]以及Neufeld和Nutz[27]提出的鲁棒超边缘问题的新方法允许对定理2进行扩展。1.Possamai、Royer和Touzi[33]著。校准调整无套利限制。在本节中，我们专门讨论一维情况。这与实物金融市场上对普通期权的一维实际处理是一致的。我们假设，除了原始证券的连续时间交易外，投资者还可以在T-到期欧式看涨期权或看跌期权上持有所有可能的K≥ 0.然后，从Breeden和Litzenberger[6]中，投资者可以确定在定价测度为某个概率测度的情况下，非衍生资产的T-边际分布∈ M（R），R上所有概率测度的集合。备注2.2。

就目前的财务应用而言，Measureu支持R+。然而，我们考虑的是一般情况∈ M（R），以便将我们的结果与塞普的Az’ema–Yor解进行比较。对于任意标量函数λ∈ L（u），由p ayo offλ（XT）定义的T-到期欧洲衍生工具具有一个不模糊的无套利价格u（λ）=Zλdu衍生工具界限，给定边际7，并且可以通过购买和持有一个欧洲所有行权的看涨期权和看跌期权组合来完美复制，行权K的密度λ′（K）为行权K（从分布的意义上理解λ′）。见卡尔和周[8]。特别是，考虑到标的资产的现货价格X>0，概率度量u必须满足yzxu（dx）=X。我们现在通过考虑静态交易欧式看涨期权的额外可能性，定义了无套利上限的改进。设∧u：=nλ∈ L（u）：补充∈P∞EP[λ（XT）-] < ∞oand（2.5）∧uUC：=∧u∩ UC（R），其中UC（R）是R toR中所有一致连续映射的集合。总而言之λ∈ λ，我们表示ξλ：=ξ- λ（X）。改进的无套利上界由uu（ξ）：=inf{Y:λ ∈ λuuC和H∈ H（ξλ），（2.6）YH，λ≥ ξ、 全体P-a.s∈ P∞（ξλ）}，式中YH，λ表示在原始证券中连续交易H，以及在到期欧洲看涨期权中静态交易λ且具有所有出击YH，λ：=YH的自我融资策略的投资组合价值- u（λ）+λ（XT），（2.7）表示投资者有可能在时间0购买任何衍生证券，并以u（λ）的价格支付λ（XT）。下一个结果是直接应用定理2。1.提议2.1。让我们∈ M（R）和ξ∈ 加州大学(Ohm十） Wissupp∈P∞EP[ξ+]∞. ThenUu（ξ）=infλ∈∧UCsupP∈P∞{u（λ）+EP[ξ- λ（XT）]}。证据