一种随机控制方法，在给定边际的情况下实现无套利界限，

观察uu（ξ）=infλ∈∧uUCU（ξ+u（λ）- λ（XT））。对于每个固定λ，如果V（0）：=supP∈P∞EP[ξ+u（λ）- λ（XT）]<∞, 然后是理论的证明。第5节中报告的1适用，我们得到U（ξ+8 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZIu（λ）- λ（XT））=V（0）。另一方面，如果V（0）=∞, 然后从理论证明中得到通知。1不等式U（ξ+u（λ）- λ（XT））≥ V（0）在这种情况下仍然有效，因此U（ξ+u（λ）- λ（XT））=V（0）。备注2.3。作为健全性检查，让我们考虑ξ=g（XT）的情况，对于某个带u（|g|）的一致连续函数gw∞ 和Supp∈P∞EP[|g（XT）|]<∞, 让我们验证一下，如果y表示Uu（ξ）=u（g）。首先，自从g∈ λμUC，我们可以取λ=g，它来自P位置2的对偶公式。1表示Uu（ξ）≤ 微克。另一方面，我很容易看到∈P∞EP[g（XT）]=gconc（X），其中gconc是g的最小凹主。然后，它遵循命题2的对偶公式。1表示Uu（ξ）=infλ∈∧uUCu（λ）+（g）-λ） 浓度（X）≥ infλ∈∧uUCu（λ）+u（g）- λ） =如预期的u（g）。备注2.4。与SEP方法类似，建议2的双重表述。1提供最佳套期保值策略和worstcase模型。这要求我们证明inf-sup问题（λ）解的另一个存在性结果*, P*). 然后λ*是最佳的T-成熟度香草产品，P*最坏的情况是模型与上限相对应。标的资产的最优动态套期保值策略通常由剩余证券ξ表示- λ*（XT）；参见定理的证明2。1在第5节中。备注2.5。命题的杜阿尔公式。1适用于数值逼近。实际上，对于每个固定乘数λ，最大化问题是一个（奇异）随机控制问题，可以通过有限差分或蒙特卡罗方法来近似。

然后，关于λ的优化阶段需要额外的迭代。这个问题在inTan和Bonnans[5]以及Tan和Touzi[38]中得到了解决。与最优运输理论的联系。另一种观点是，可以直接在无套利界限中嵌入BTI的风险中性边际分布由μ给出的校准约束。为了便于与最优运输理论进行比较，本小节的讨论将集中在无套利低保本上。校准调整无套利下限的自然公式如下：l（ξ，u）：=inf{EP[ξ]：P∈ P∞, 十、~δxap~Pu}，（2.8）导数的界给定了边值9，其中δXdenotes与狄拉克m ass在点X处。我们观察到l（ξ，u）与相应的次级套期保值成本一致，在目前的情况下是众所周知的。在这种形式下，p问题表现为最小化耦合准则EP[ξ]，它涉及p下过程X的定律，覆盖所有概率测度p∈ P∞因此，X阁楼0和T的边缘分布是固定的。这是Monge和Kantorovich提出的最优运输问题的一般范围；例如，见Villani[39]和Mikami and Thieulen[26]。受当前金融应用的推动，谭和陶子[38]扩展了康托洛维奇对偶，如下所述。然而，上述问题l（ξ，u）不满足[38]中的假设，即本文献中包含的结果中的n对e适用于我们的上下文。最优运输的经典方法包括利用经典凸对偶理论推导问题（2.8）的adual公式。回想一下，M（R+）表示R+上所有概率度量的集合。

然后，关于μ的勒让德对偶定义如下：l*（ξ，λ）：=supu∈M（R+{u（λ）- l（ξ，u）}对于所有λ∈ Cb（R+）从R+到R的所有有界连续函数的集合。直接计算l*（ξ，λ）=sup{EP[λ（XT）- ξ] : u ∈ M（R+），P∈ P∞, 十、~δxap~Pu}=sup{EP[λ（XT）- ξ] ：P∈ P∞, 十、~PδX}。观察后一个问题是标准（单数）扩散控制问题。这是很容易检查的l 是凸的。然而，由于在P下X的四次变化没有统一的界∈ P∞, 关于μ，它是否是下半连续的是众所周知的。如果后一种属性是真的，那么等式l**= l 提供l（ξ，u）=supλ∈Cb{u（λ）- l*（ξ，λ）}，形式上（取决于空间选择）是命题2的双重表述的下限类似物。Beiglb¨ock、HenryLabord¨ere和Penkner在e上的平行工作中包含了对这种双重性的离散时间分析[3]。我们还观察到，对于Payoffξ的特殊情况，这种对偶性在以前基于SEP方法的文献中得到了隐式证明；例如，参见Cox、Hobson和Obl\'oj[10]。10 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N.TOUZI3。应用于回望衍生工具。在本节中，我们考虑e维情形d=1。衍生工具的安全性由回望收益ξ=g（X）确定*T） X在哪里*T:=maxt≤TXt（3.1）和G:R-→ R+是一个非递增函数。（3.2）我们的主要兴趣是证明命题2给出的最优上界。1，Uu（ξ）=infλ∈∧uUC{u（λ）+uλ（0，X，X）}再现了与Skorohod嵌入问题的Az\'ema–Yor解相对应的已知界。

这里，uλ是随机控制问题的动态变量uλ（t，x，m）：=s upP的值函数∈P∞EP[g（Mt，x，Mt）- λ（Xt，Xt）]，t≤ T、 （x，m）∈ ,（3.3）在哪里 := {（x，m）∈ R:x≤ m} ，andXt，xu:=x+（Bu- Bt），Mt，x，mu:=m∨ 马克斯特≤R≤uXt，xr，0≤ T≤ U≤ T.当时间原点为零时，我们将简单地写出Xxu:=X0，xuand Mx，mu:=M0，x，mu。在随后的分析中，我们还声称uu（ξ）=infλ∈∧u{u（λ）+uλ（0，X，X）}，（3.4），其中∧u在（2.5）中定义。这源于[33]最近的扩展，该扩展出现在本文修订期间（见备注2.1），并避免对u施加进一步的条件，以确保函数λ*下面的定义（3.14）是一致连续的。3.1. 根据最优停止的公式。我们首先将优化问题uλ转化为有限时间最优停止问题。提议3.1。对于任何λ∈ λμ，函数uλ独立于t和uλ（x，m）=supτ∈T∞EP[g（Mx，mτ）- λ（Xxτ）]∈ ,（3.5）其中T∞是所有停止时间τ的集合，使得停止的进程{Xt∧τ、 t≥ P}0是一致可积的。证据目前的观点是经典的，但我们找不到明确的参考。因此，我们报告其完整性。根据P的定义，衍生工具的界限为11∞, 我们可以把随机控制问题（3.3）写成它的强公式uλ（t，x，m）：=supσ∈∑+EP[g（Mσ，t，x，mT）- λ（Xσ，t，xT）|（Xσ，t，xT，Mσ，t，X，mt）=（X，M）]，其中Xσ，t，xs=X+ZstσrdBr，Mσ，t，X，ms:=M∨ 马克斯特≤R≤sXσ，t，xr，0≤ T≤ s≤ Tand∑+是所有非负逐步可测量过程的集合，RTσsds<∞, 使得过程{Xσ，t，xs，t≤ s≤ T}是一个统一的可积鞅。我们将表示φ（x，m）：=g（m）- λ（x）。（1） 停止时间τ∈ T∞, 我们定义了στt:=1{τ∧（t/（t）-t） ）和Xστt:=RtστsdBs，t∈ [t，t]。

那么相应的测度Pστ：=Po （Xστ）-1.∈ P∞, andsupτ∈T∞EP[φ（Xτ，Mτ）]≤ 晚餐∈P∞EP[φ（Xτ，Mτ）]。（3.6）（2）为了得到里维尔-se不等式，我们通过Dambis–Dubins–Schwarz定理（参见Karatzas and Shreve[23]，T heorem 3.4.6）观察到（X，M）定律在P=Pσ下∈ P∞与pw下的（Xτ，Mτ）定律相同，其中τ：=RTσtdt是相对于时间变化过滤{FBTt，t的停止时间≥ 0}，Tt:=inf{s:hBis>t}。为了转换到B的规范过滤的上下文中，我们使用了Szpirlaglas和Mazziotto[37]的结果。这使我们可以得出结论，平等适用于（3.6）。鉴于上述结果，我们将问题归结为u（ξ）：=infλ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}，（3.7），其中uλ（X，X）：=supτ∈T∞J（λ，τ），J（λ，τ）：=EP[g（X）*τ) - λ（Xτ）]，并且（2.5）的∧u集在当前上下文中转换为∧u=nλ∈ L（u）：supτ∈T∞E[λ（Xτ）-] < ∞o、 （3.8）3.2。主要结果。分布u的支持端的端点表示为lu：=sup{x:u（[x，∞)) = 1} ru：=inf{x:u（（x，∞)) = 12 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N.Touzite Az\'ema–通过所谓的重心函数b（x）：=R[x，∞)yu（dy）u（[x，∞)){x<ru}+x1{x≥ux}r≥ 0.（3.9）备注3.1。Hobson[20]观察到，重心函数可以交替定义为以下函数β的左连续逆函数。考虑到欧洲电话价格c（x）：=R（y）- x） +u（dy）和x=Ryu（dy），定义函数β（x）：=maxarg miny<xc（y）x- Y为了x∈ [X，ru），（3.10）β（X）=lu代表x∈ [0，X）和β（X）=X代表X∈ [ru，∞).（3.11）在[X，ru）上，β（X）是函数y7的最大极小值-→ c（y）/（x- y） 在(-∞, x） 。那么，β是非减量的，右连续的，并且β（x）<x∈ [X，ru）。

注意β（X）处的th=lu：=sup{x:u（（0，x]）>0}。最后，我们介绍了Hardy–Littlewood变换uHLofu，uHL（[y，∞)) := infξ<yc（y）y- ξ=c（β（y））y- β（y）代表所有y≥ 0，（3.12），其中函数c和β在前面的备注中定义；见Carraro、El Karoui和Obl\'oj[9]中的第4.10（c）条提案。以下结果是[20,32]的组合。我们的目标是直接从命题2的对偶公式推导出来。1.让τ*:= inf{t>0:X*T≥ b（Xt）}（3.13）和λ*（x） ：=ZxluZylug′（b（ξ））b（dξ）b（ξ）- ξdy；x<ru。（3.14）注意λ*∈ [0,∞] 作为非负函数的积分。看到λ*< ∞, 我们用Fubini定理计算λ*（x） =Zxlug′（b（ξ））x- ξb（ξ）- ξb（dξ），我们观察到（x- ξ） /（b（ξ）- ξ） 就在附近lu. 然后λ*（十）≤C（x）[g（b（x））- g（X）]<∞ 对于依赖于x的常数C（x）。定理3.1。让我们∈ M（R），ξ=g（X*T） 对于一些Cnondecreating函数g∈P∞EP[ξ+]∞, 和uHL（g）<∞. uu（ξ）=u（λ）*) + J（λ）*, τ*) = 微升（g）。在接下来的章节中会报告的pro。衍生工具的边界为133.3。上界f或最优上界。在本节中，我们证明uu（ξ）≤ u(λ*) + J（λ）*, τ*).（3.15）我们的第一步是根据Peskir[32]使用以下构造，它为子集∧∧u中的函数λ提供了值函数uλ的猜测：={λ∈ ∧u：λ是凸的。（3.16）利用随机控制理论中的经典工具，期望值函数uλ（x，m）能够求解动态规划方程min{uλ- g+λ，-uλxx}=0开 和（3.17）uλm（m，m）=0表示m∈ R.上述DPE的第一部分是一个ODE，其中m仅作为涉及ODE必须包含的域的参数出现。

由于我们仅限于凸λ，我们可以猜测公式vψ（x，m）：=g（m）的解- λ（x）∧ ψ（m））- λ′（ψ（m））（x- 十、∧ ψ（m）），（3.18）也就是说，vψ（x，m）=g（m）- λ（x）代表x≤ ψ（m）由x在ψ（m）点的切线给出∈ [ψ（m），m]。为了以后的使用，我们在forx上观察th∈ [ψ（m），m]，vψ（x，m）=g（m）- λ（ψ（m））+Zxψ（m）y{λ′（y）（x）- y） }dy（3.19）=g（m）- λ（x）+Zxψ（m）（x）- y） x的λ′′（dy）∈ [ψ（m），m]，其中λ′是凸函数λ的二阶导数测度。接下来我们选择函数ψ，以满足（3.17）中的纽曼n条件。假设λ是光滑的，我们通过直接计算得到自由边界ψ必须验证普通微分方程（ODE）λ′（ψ（m））ψ′（m）=g′（m）m- ψ（m）表示所有m∈ R.（3.20）出于技术原因，我们需要在轻松的意义上考虑这首颂歌。这与Peskir[32]和Obl\'oj[30]的分析形成了对比。由于λ是凸的，它的二阶导数λ′被定义为R+上的测度。然后我们引入了ODE（3.20）的弱公式，Zψ（B）λ′（dy）=ZBg′（m）m- ψ（m）dm表示所有B∈ B（R）（3.21）14 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.Touzi我们介绍了（3.20），ψλ：={ψ右连续体ou s:（3.21）保持和（3.22）ψ（m）<m的所有松弛解的集合∈ R} 。备注3.2。为了以后使用，我们观察到（3.21）意味着所有函数ψ∈ ψλ是不变的。的确，对我来说≤ y、 根据f rom（3.21），再加上g in（3.2）的不减量和λ的凸性，ψ（y）=（λ′）-1.λ′（ψ（y）+Zyyg′（m）m- ψ（m）dm≥ (λ′)-1（λ′（ψ（y）+）≥ ψ（y），其中（λ′）-1是非减量函数λ′的右连续逆。然后，通过直接积分得到函数x7-→ λ（x）-ZxXZψ-1（y）Xg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξdy是一个函数，其中ψ-1是ψ的右倒数。

这源于上述函数在广义导数意义下的直接微分。当前问题的一个显著特征是，对于ODE（3.20）或其松弛（3.21），不存在自然边界条件。下面的结果通过考虑可能的非光滑函数λ，扩展了Peskir[32]中证明的优雅极大值原理的简单部分。我们强调这样一个事实，即我们的方法不需要Peskir最大原则的全部力量。引理3.1。让λ∈^∧u和ψ∈ ψλ可以是任意的。那么uλ≤ vψ。证据我们将证明分为三个步骤：（1）我们首先证明vψ在对角线上的m是可微的，对于所有m，vψm（m，m）=0∈ R.（3.23）的确，因为ψ∈ ψλ，由Remark3得出。2λ（x）=c+cx+ZxXZψ-1（y）Xg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξdy对于一些标量常数c，c。把这个表达式代入（3.18），我们可以看到vψ（x，m）=g（m）-c+cψ（m）+Zψ（m）XZψ-1（y）Xg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξdy导数边界给定15-c+ZmXg′（ξ）ξ- ψ（ξ）dξ（十）- ψ（m））=g（m）- C- cx+ZmXg′（ξ）ξ- ψ(ξ)(ψ(ξ) - x） dξ，其中最后一个等式来自富比尼定理以及g是非减量且ψ（ξ）<ξ的事实。由于g是可微分的，（3.23）之后是关于m.（2）的直接微分，对于任意的停止时间τ∈ T∞, 我们引入了停止时间τn:=τ∧ inf{t>0:|Xt- x |>n}。由于vψ在x中是凹的，由于λ的凸性，它由it^o–Tanaka公式得出vψ（x，m）≥ vψ（Xτn，Mτn）-Zτnvψx（Xt，Mt）dBt-Zτnvψm（Xt，Mt）dMt≥ g（Mτn）- λ（Xτn）-Zτnvψx（Xt，Mt）dBt-Zτnvψm（Xt，Mt）dmtb由vψ≥ G- λ. 注意（Mt- Xt）dMt=0。然后根据纽曼条件（3.23），我们得到vψm（Xt，Mt）dMt=vψm（Mt，Mt）dMt=0。以最后一个不等式中的期望值为例，我们看到vψ（x，m）≥ Ex，m[g（mτn）- λ（Xτn）]。（3.24）（3）我们最终将限值视为n→ ∞ 在上一次的不平等中。

首先，重新命名（Xt）∧τ） t≥0是一个均匀可积鞅。然后，通过Jensen不等式，λ（Xτn）≤ E[λ（Xτ）|Fτn]。自λ（Xτ）-∈ L（P），这意味着e[λ（Xτn）]≤ E[λ（Xτ）]，其中我们还使用了条件透视的塔特性。然后我们从（3.24）推导出vψ（x，m）≥ 画→∞Ex，m[g（mτn）- λ（Xτ）]=Ex，m[g（mτ）- λ（Xτ）]，由过程M和函数g的不减损以及单调收敛定理。利用τ的任意性∈ T∞, 最后一个不等式表明vψ≥ uλ。我们的下一个结果涉及函数φ（x，m）：=c（x）- c（x）1m<Xm- x（3.25）与c（x）：=（x- x） +，（x，m）∈ 我们记得c（x）：=R（ξ）- x） +u（dξ）是（给定的）带有strike x.引理3.2的欧洲买入价。对于λ∈^∧u和ψ∈ ψλ，我们有u（λ）+uλ（X，X）≤ g（X）+Z~n（ψ（m），m）g′（m）dm。16 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD\'ERE和N.TOUZIProof。（1） 让α∈ R+是λ的任意可微点。那么λ（x）=λ（α）+λ′（α）（x- α） +Zxα（x- y） λ′′（dy）。关于μ的积分- δX取α<X，这提供了u（λ）- λ（X）=λ′（α）Zxu（dx）- 十、+ZZxα（x- y） λ′′（dy）(u - δX）（dx）=-ZXα（X- y） λ′′（dy）+Z{x≥α} Zxα（x- y） +λ′′（dy）u（dx）+Z{x<α}Zαx（y）- x） λ′′（dy）u（dx）。然后把α送到lμ，根据λ的凸性和单调收敛定理，μ（λ）- λ（X）=Z（c）- c） （y）λ′′（dy）。（2） 通过引理3中的不等式。1，连同（3.19），我们现在计算u（λ）+uλ（X，X）≤ g（X）+Z（c（y）- c（y）（1{y<X}- 1{ψ（X）<y<X}）λ′（dy）=g（X）+Z（c（y）- c（y）1{y<ψ（X）}）λ′′（dy）。接下来，我们在分布意义上使用ψ满足的ODE（3.20）。这证明了μ（λ）+uλ（X，X）≤ g（X）+Zc（ψ（m））- c（ψ（m））1{m<X}m- ψ（m）g′（m）dm。这里，我们观察到最后一个积分的端点可以取0和∞ 通过被积函数的非负性。现在我们有了所有的成分，可以用（3.9）的重心函数b来明确地表示上界（3.15）。引理3.3。

对于一个非减量的Cpayo off函数g，我们有infλ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≤ 微升（g）。给出了边际证明的导数界限。自^∧起 λu，我们根据引理3计算。2λ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≤ infλ∈^∧u{u（λ）+uλ（X，X）}（3.26）≤ inf（g）+λ∈^∧uinfψ∈ψλZ~n（ψ（m），m）g′（m）dm。在接下来的两个步骤中，我们证明了（3.26）右手边的最后一个极小化问题可以通过积分内的点态极小化来解决。然后，在步骤（3）中，我们计算诱导上界。（1） 总而言之λ∈^∧u和ψ∈ ψλ，Z~n（ψ（m），m）g′（m）dm≥Zinfξ<mа（ξ，m）g′（m）dm。观察c（x）≥ c（x）表示所有x≥ 0和limx→0c（x）- c（x）=0。另一方面，对于m<X（3.27），它遵循Remark3。1.infξ<m k（ξ，m）=infξ<mc（ξ）m- ξ=c（β（m））m- β（m）代表m≥ X.（3.28）乘以（3.27）和（3.28），我们得到了下界zа（ψ（m），m）g′（m）dm≥Z~n（β（m），m）g′（m）dm。（2） 我们现在观察到，在前一步中通过逐点极小化得到的函数β求解ODE（3.21）。因此，为了完成证明，仍需验证λ*∈^Λu. λ的凸性*这是显而易见的。而且，由于λ*≥ 0，我们只需要证明λ*∈ L（u）。通过引理3.2证明的第（1）步，我们简化为验证rc（x）（λ）*)′′（dx）<∞. 因为，根据定义，λ*用ψ=b满足常微分方程（3.21）-1，我们直接计算zc（x）（λ）*)′′（dx）=Zc（b）-1（m）m- B-1（m）g′（m）dm=Zg′（m）uHL（[m，∞)) dm<∞我们假设uHL（g）<∞.18 A.GALICHON，P.HENRY-LABORD`ERE和N.TOUZI（3）Fr om（3.26）以及前面两个步骤，我们已经得到了λ∈∧u{u（λ）+uλ（X，X）}≤ g（X）+Zc（β（X））X- β（x）g′（x）dx=g（x）+ZuHL（[y，∞))g′（x）dx=uHL（g），通过零件直接积分。3.4。完成理论证明3。1.