规模的多样性带来优势：少数民族游戏的例子

副本解决方案无论我们为代理人的影响选择什么效用函数U（I），计算的关键要素是平均群体的产出ρG，这是稳定化的函数mg，I，见（23）。为了获得这些磁化，必须最小化哈密顿量H（{mg，i}g，i，{au，±1u，g，i}g，i），因为它也是动力学的李雅普诺夫函数，Reember方程（10）。实际计算的技术障碍在于，由于随机策略au、±1g，i，在《弥尔顿论》（11）中包含了一种根深蒂固的无序。解决这种复杂问题的标准程序是复制法[28,29]。为了简单地描述这种方法，考虑一个系统，其哈密顿量Ha（m）依赖于状态变量m，也依赖于随机但猝灭的无序a，以概率P（a）分布。在这种情况下，甚至配分函数Za=Re-βHa（m）dm是arandom变量，自由能Fa=-βlogza。那么，物理相关量就是平均自由能F≡RFaP（a）da。为了简化计算，引入了复制配分函数Z（n）作为该方法的核心概念。它是用相同的无序度a复制系统n次，最后取该无序度Z（n）的平均值来计算的≡ZZnaP（a）da=Ze-βn FaP（a）da（25）正如第二个等式所示，Z（n）也是随机变量Fa的特征函数。因此，对于平均自由能量，它保持SF=-βlimn→然而，这个极限过程只是形式的，我们无法计算一般n的Z（n），除了正整数。Z（n）解析式连续的存在性和唯一性是当代数学物理的一个开放性问题。使用复制法的标准MG的完整解是可用的[30,3 1]，以及MG的各种修正的解[13,14,23,25,33,34,3 5]。

我们直接将这种方法应用到我们的案例中。对于复制配分函数，我们得到了公式z（n）=Xau，sg，j∈-1,+12P NZ-1e-βH（{mf，i}f，i，{au，±1g，j}g，j）Yf，idmf，in（27），其中总和覆盖了猝灭无序的所有可能实现。利用Hubbard-Stratonovich变换，我们引入了辅助变量za∈ R由副本索引a索引∈ {1，…，n}。因此，我们得到以下公式Z（n）=Z中的上一个公式-1ZRe-Pna=1（za）-β2PPna，b=1zazbPg，iIg（1+mag，imbg，i）Yadza！PYa，g，idmag，i（28）为了计算它，有必要引入复制对称ansatz，然后应用鞍点方法。下一个方程是自由能。最后，为了得到哈密顿量H的极小值的公式，必须求出以下极限H=limβ→∞F（29）在不诉诸计算的更多细节的情况下，我们注意到，在核心处有一个辅助量ζ的方程∈ R+通过（12）中定义的α参数化d4ζIg- 2ζIgerf（ζIg）+erf（ζIg）-2ζIg√πe-ζIg= α . （30）一旦找到ζ，我们就可以计算出par ametersQg=Ig的阶数- Igerf（ζIg）+2ζerf（ζIg）-√πIgζe-ζIg，（31）哈密顿量h=N的最小值Qg+Ig1.-[erf（ζIg）]α（32）因此，使用关系式（24）的相互可预测性读取θfg=α2ζIg- ζIgerf（ζIg）-√πe-ζIg××2ζ如果- ζifref（ζIf）-√πe-ζ如果+α - [erf（ζIh）]2α2.- erf（ζIf）λfδfg- IgIf（2- erf（ζIg））（2- erf（ζ-If））[2Ih- Iherf（ζIh）].（33）考虑方程（23），我们得出ρg=erf（ζIg）4ζIg+[erf（ζIf）]2αζ2ζIg- ζIgerf（ζIg）-√πe-ζIg- 搞笑。（34）表达式（34）是我们将在以下部分进一步建立的主要结果。在此之前，我们通过波动率公式（13）完成计算，即σ=搞笑+[erf（ζIg）]4αζ-[erf（ζIg）]2ζ。

（35）在以下两个部分中，我们将首先在临界点分析这些结果，然后深入遍历区域。5.临界行为对于H的最小化，临界行为的分析至关重要。（27）的计算仅在MG的遍历阶段有效，因为它已经在参考文献[9]中进行了检查。其中，获得了敏感性公式χ，在我们的设置中，该公式直接推广到χ=[erf（ζIg）]α- [erf（ζIg）]（36）临界点的特征正是敏感性发散这一事实。因此，可以推断，MG的erg odic相位与α值相关≥ αc的临界值α由αc=[erf（ζcIg）]（37）得到，ζc由上一个方程和（30）得出的方程得出2ζcIg- ζcIgerf（ζcIg）-√πζcIge-ζcIg= 0（38）仅考虑一组参与者，临界系数αc 再次出现0.3374的canonicalMG。通常，对于任何博弈配置{λg，Ig}g，临界值αcis等于或低于此“标准”值，这是由于（37）中erf（x）的凹性。对于α-f，我们用α-f来直接验证它在临界点的可预测性（对于θ-f，我们用α-f来验证它的可预测性，对于θ-g，我们用θ-f来验证它的可预测性）。临界点与（38）的左边成正比，因此θgdoes在这里消失。规范MG临界点的另一个重要特征与参考文献[39]中首次提到的fr ozen试剂的概念有关。如果groupg的代理人i的一种策略明显优于另一种策略，则称其为冻结。因此，在静止点，它保持mg，i=±1。

在标准MG中，冷冻剂φ的分数在临界点处最大，并且随着α>αc的增加而减少。对于具有非均质撞击的MG中冷冻剂φg组的分数，我们获得φg=1- 参考文献[40]中的erf（ζIg）（39）。那么，冷冻剂的总比例是φ=1- [erf（ζIg）]。（40）从等式（30）中，我们可以看到ζ随着α的增加而增长。因此，即使在具有异质性影响的MG中，冷冻剂的总比率φ在α=αc时最大，并且随着α>αc的增加而减少。Furhtermore，这一观察结果成立，无论实际游戏配置{λg，Ig}g。此外，标准MG中的损失，由波动率σ=-在临界点∏{I}最小。我们将在DMG中证明这一事实。将条件（37）替换为αcinto，并将公式替换为组结果ρg，记住（15），我们在临界点ρg=erf（ζcIg）处得到了一个简化公式2ζcIg- 搞笑-2ζc√πe-ζcIg（41）我们可以证明ρg≤ 0适用于所有群g和所有可能的游戏配置{λg，Ig}气体，只要我们处于临界点。这意味着，对于任意效用函数U（I）（这是非负的字节定义），即使平均概率∏{U（I）}在这里也是负的。然而，在下一节中，我们将看到，对于远离临界点的某些特定效用函数，存在∏{U（I）}>0的博弈配置。远离临界点的正平均值的存在意味着临界点对于MG的广义变量不再是最优的。然而，这种观察取决于所考虑的效用函数。6.两组下一步，我们研究规范MG的最简单推广。我们定义了一个由两组代理（G=2）组成的游戏，并描述了它们的共同居住。首先，我们确定了影响的规模搞笑= 1.

（42）这个特殊的选择建立了与规范MG as的关系搞笑corres在随机猜测代理的游戏中使用了∑。因此，有了这种规范化，我们在规范MG的尺度上工作。我们也更喜欢这种标准化，因为只有在提供了大量组的情况下，游戏的计算才是有效的搞笑< ∞[26].在随后的所有图表中，必须考虑影响I∈ [0，1]因为函数值的其余部分，即参数i>1的部分，是通过（42）通过反转组来确定的。至于变量λ，我们限制自己为λ∈ [0，1）。考虑到归一化（42），可以证明αc（λ，I）沿λ=1线不连续。在图1中，可以清楚地看到，临界值αc（λ，I）确实低于临界值αc 在标准MG中观察到0.3374。我们选择α=0.4进行所有后续计算，以便像前一节所讨论的那样，将s完全保持在遍历阶段。我们的研究结果的主要新颖之处在于，对于某些游戏配置{λg，Ig}g，总体平均结果ρ=∏{1}甚至可以是正的，如图2所示。换句话说，大多数代理人在这些案件中获胜。从分别显示各组ρ和ρ结果的图3和图4中，我们可以推断出这一现象背后的原因。要想获得平均收益，一个群体就必须用海绵垫住另一个群体。在两个小组中，影响力较小的小组总是获胜。事实上，它的积极结果不是很高，但当按各组的比率加权时，它可能会高估另一组的消极结果。在接下来的三个图中，我们绘制了可预测性θ、θ和相互可预测性θ，分别见图5、图6和图7。请注意，θfg的对角线元素的正性是由它们的定义决定的，见（19）。

接下来，我们观察到θ对于游戏的所有配置都是负的。换句话说，对于由两组组成的MG，agg再聚集作用Au和Au是反相关的。在图8中，我们显示了波动率σ=-由（13）定义的∏{I}。σ越接近1，博弈结果就越接近随机猜测的代理的行为。我们观察到这在λ=1和I=0附近成立。换句话说，对于这些博弈参数，代理的协同适应是可行的。然而，在相同的区域，αc几乎为0，这与图1一致。它类似于正则化的一个类似特征，其中σ随着α从αc后退而增长。在这里，情况类似。尽管α在这组计算中是固定的，但αcis在我们感兴趣的区域内减少，因此距离α- α-顺式生长。接下来的三个图表描述了冷冻制剂的比例。我们绘制了它们的总体分数φ、第一组φ中的fro zen试剂分数和第二组φ中的fr臭氧剂分数，分别见图9、图10和图11。对于更高比例的冷冻制剂，我们观察到整体结果也更高，与φ和ρ相比。这也是卡诺尼卡MG中的一个例子，在那里，冷冻剂对平均值更有效。在las t系列图中，我们描述了效用函数U（I）的特定选择对总体平均收益∏{U（I）}的影响方式。图12和图13分别描绘了整体平均值∏{I1/2}和∏{I1/4}。对于效用函数U（I）=I1/4，我们附加图14和图15，分别描绘了两组∏{I1/4}和∏{I1/4}的单独平均值。接下来，我们使用效用函数的不同形状添加另一个平均值∏{I/（I+1）}，见图16。

对于所有这些效用函数，都出现了∏{U（I）}的新的局部极大值。虽然我们没有明确地解决最大化代理人效用的问题，但我们认为平均利润对影响的计算依赖性可以作为最佳影响的超理性选择的指南。最优解的位置取决于效用函数的形式。因此，效用函数的引入是我们方法的基石之一。7.合作使用我们详细调查了代理人在不同规模上进行的少数群体游戏的修改。这些异质性销售被视为代理商的影响，可以用不同的方式进行解释。在MG的交通量范围内，影响与代理人驾驶的车辆长度相对应。或者，我们可以将其视为一种简单的方法，用于解释经纪人在不同频率下的表现。然后，代理人的影响与代理人参与的时间尺度成正比。根据其影响，这些代理被分为几个组。具有异质影响的MG模型通过使用复制技巧的标准程序进行求解。然后得出各组的平均结果，以及各组之间的相互可预测性。为了正确解释ea ch集团的整体产出，我们引入了代理人影响的效用函数。在交通隐喻中，公用事业公司表示，拥有给定长度的交通工具，预计能获得多少利润。个体群体的平均收益根据其平均结果计算，并考虑效用。对于两组最简单的情况，我们讨论了系统的总体平均性能。

影响力较低的代理总是处于优势，系统的整体利益甚至可能是积极的，这意味着从这个角度来看，MG可能是一个正和博弈。这与通常通过波动性来衡量损失的方法形成了对比，后者强调MG是一个负和博弈。虽然我们在本文中保留了MG的翻译隐喻，但我们相信结果也可以用股票市场的语言来解释。我们认为，如果我们将代理人的影响视为投资者正在玩的资本规模，那么相对结果ρgis更适合描述代理人的利益。真正的投资者确实在竞争最高的相对利益，而不是绝对利益。我们看到，在绝对数目的情况下，具有异质性影响的MG仍然是一个负和博弈，但主观上认为，在w孔系统中平均的药剂相对优势可能是正的。这种观察可能会导致投资者规模的异质性，这是股票市场最基本的特征之一[27]。将效用函数U（I）解释为投资者对资本单位I的主观评价，则∏{U（I）}的通知是一种适合于对这种现象进行更深入分析的工具。综上所述，通过引入代理人影响的多样性，通过非负效用函数衡量的MG中的平均利润可能会将MG变成一个正的博弈，因此多样性意味着对所有人都有利。我们可以推测，这是一种退出机制，有利于出现具有不同影响的群体。一个仍然有待解决的重要问题是，如果每一位代理人都可以自由选择影响，会发生什么。群体规模和群体影响都可以自由调整到最佳状态。

关于纳什均衡的性质的研究将留待将来发表。致谢我们要感谢Y.-C.Zha ng为我们提供了这项研究的原始动机。我们承认荷兰国际集团的建设性言论。Miroslav K\'arn\'y博士。，他帮我们修改了手稿。这项工作是在捷克共和国科学院AV0Z1100520项目中进行的，并得到了捷克共和国MˇSMT（批准号：OC090 78）和GAˇCR（批准号：102/08/0567）的支持。参考文献[1]W.B.阿瑟，美国。经济部。评论（论文和会议记录）84（1994）406。[2] D.查利特和Y-C.张，Physica A 246（1997）407。[3] D.查利特和Y-C.张，Physica A 256（1998）514。[4] N.F.Johnson、S.Jarvis、R.Jonson、P.Cheung、Y.R.Kwong和P.M.Hui，Physica A 258（1998）230。[5] R.萨维特，R.马努卡，R.里奥洛，菲斯。牧师。莱特。82 (1999) 2203.[6] R.N.Mantegna和H.E.Stanley，《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》（剑桥大学出版社，剑桥，1999年）。[7] J.-P.Bouchaud和M.Potters，《金融风险和衍生产品定价理论》（剑桥剑桥大学出版社，2003年）。[8] N.F.Johnson，P.Je fferies和P.M.Hui，《金融市场复杂性》（牛津大学出版社，牛津，2003年）。[9] D.Chall et，M.Marsili和Y-C.Zhang，《少数民族运动会》（牛津大学出版社，牛津，2005年）。[10] A.C.C.Coolen，《少数群体博弈的数学理论》（牛津大学出版社，牛津，2005年）。[11] A.德马蒂诺和M.马西里，J.菲斯。A:是的。Gen.39（2006）R465。[12] F.Slanina和Y-C.Zhang，Physica A 272（1999）257。[13] D.Challet，M.Marsili和Y-C.Zhang，Physica A 276（2000）284。[14] D.Challet，M.Marsili和Y-C.Zhang，Physica A 294（2001）514。[15] F.Slanina，Physica A 286（2000）367。[16] F.Slanina，Physica A 299（2001）334。[17] M.Anghel，Z.Toroczkai，K.E。

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